2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點(diǎn)11 二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】

2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點(diǎn)11 二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】,查漏補(bǔ)缺,2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點(diǎn)11,二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】,2022,年中,數(shù)學(xué),三輪,沖刺,過關(guān),回歸,教材,難點(diǎn),11,二次,函數(shù),幾何,綜合,應(yīng)用,補(bǔ)缺 回歸教材重難點(diǎn)11 二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中二次函數(shù)章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的相對比較綜合，把二次函數(shù)圖像與性質(zhì)結(jié)合起來，聯(lián)系幾何圖形的性質(zhì)綜合考查。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過熟練二次函數(shù)性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為解答題的壓軸題。1.幾何圖形存在性問題；2.最值問題（長度、面積）；3.證明定值問題；4.相似問題1（2021甘肅蘭州中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作軸分別交線段，拋物線于點(diǎn)，連接當(dāng)時，求的面積；（3）如圖2，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；第1頁/共8頁點(diǎn)在拋物線上，連接，當(dāng)平分時，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)2（2021遼寧沈陽中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B坐標(biāo)是拋物線與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，連接（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（2）直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為直線上一動點(diǎn)當(dāng)?shù)拿娣e等于面積的2倍時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；在的條件下，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時，過點(diǎn)Q作直線l垂直于，直線交直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)G在直線上，且時，請直接寫出的長第2頁/共8頁3（2021四川德陽中考真題）如圖，已知：拋物線yx2+bx+c與直線l交于點(diǎn)A（1，0），C（2，3），與x軸另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點(diǎn)P，使ACP的內(nèi)心在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)M，使MBNAPC？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由4（2021貴州畢節(jié)中考真題）如圖，拋物線與軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對稱軸為直線，項(xiàng)點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為_，點(diǎn)D的坐標(biāo)為_，拋物線的解析式為_；（2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量：滿足時，函數(shù)y的最小值為，求m的值；（3）P是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由第3頁/共8頁5（2021湖南湘西中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請?jiān)趻佄锞€的對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時的最小值；（4）點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由6（2021山東淄博中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接（1）若，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)位于直線上方的拋物線上，當(dāng)面積最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)（在拋物線上）點(diǎn)（在拋物線的對稱軸上），使得以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由第4頁/共8頁7（2021山東棗莊一模）如圖1，直線yx4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C（0，4），ABO從點(diǎn)，開始沿射線AB方向以每秒個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為DEF（點(diǎn)A，B，O的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），平移時間為t（0t4）秒，射線DF交x軸于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)M，連接ME(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)tanEMF時，請求出t的值；(3)如圖2，點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的，連接OM，NF，OM與NF相交于點(diǎn)P，當(dāng)NPFP時，請直接寫出t的值8（2021江蘇淮安二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，作PDx軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m求PE+EG的最大值；連接DF、DG，若FDG45，求m的值第5頁/共8頁9（2022浙江嘉興一中一模）如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點(diǎn)E(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，連接PB，PC，當(dāng)SPBCSABC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的動點(diǎn)，在射線ED上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與OBC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由10（2022重慶模擬預(yù)測）如圖1，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A（2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），(1)求二次函數(shù)解析式；(2)如圖2，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，PDy軸交BC于D，PEBC交x軸于點(diǎn)E，求PD+BE第6頁/共8頁的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)PD+BE取最大值時，連接PC，將繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至；將原拋物線沿射線CA方向平移個單位長度得到新拋物線，點(diǎn)M在新拋物線的對稱軸上，點(diǎn)N為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，N，D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)11（2022重慶模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖像開口向上，對稱軸為直線，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OBOC，連接AC(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，P為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEx軸交直線AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AFAC交直線PE于點(diǎn)F，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D是拋物線y的頂點(diǎn)，將拋物線y沿著射線AC平移得到，為拋物線的頂點(diǎn)，過作x軸于點(diǎn)M在平移過程中，是否存在以D、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由第7頁/共8頁第8頁/共8頁回歸教材重難點(diǎn)11 二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中二次函數(shù)章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的相對比較綜合，把二次函數(shù)圖像與性質(zhì)結(jié)合起來，聯(lián)系幾何圖形的性質(zhì)綜合考查。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過熟練二次函數(shù)性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為解答題的壓軸題。1.幾何圖形存在性問題；2.最值問題（長度、面積）；3.證明定值問題；4.相似問題1（2021甘肅蘭州中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作軸分別交線段，拋物線于點(diǎn)，連接當(dāng)時，求的面積；（3）如圖2，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；第1頁/共34頁點(diǎn)在拋物線上，連接，當(dāng)平分時，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）；（3）或；或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)以及已知條件，將的坐標(biāo)代入即可求得的值，進(jìn)而求得拋物線的解析式；（2）依題意根據(jù)（1）的解析式求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，據(jù)此求得，根據(jù)進(jìn)而求得的坐標(biāo)，根據(jù)即可求得的面積；（3）過作軸，分點(diǎn)在軸上方和下方兩種情況討論，證明，設(shè)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入（1）中拋物線解析式中即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)情形2，方法同情形1；分當(dāng)不平行于軸和軸兩種情況討論，當(dāng)當(dāng)不平行于軸時，過點(diǎn)作交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明進(jìn)而可得的坐標(biāo)，當(dāng)軸時，結(jié)合已知條件即可求得的坐標(biāo)【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，解得，（2）由，令，解得，當(dāng)時，,則；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，令，解得第2頁/共34頁，將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段，設(shè)，點(diǎn)在拋物線上，解得（舍）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)同理可得第3頁/共34頁點(diǎn)在拋物線上，解得（舍去），綜上所述，或；當(dāng)不平行于軸時，過點(diǎn)作交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，平分，,，當(dāng)不平行于軸時，重合，第4頁/共34頁， 當(dāng)軸時，如圖，此時則綜上所述，當(dāng)平方時，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，正切的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵2（2021遼寧沈陽中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B坐標(biāo)是拋物線與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，連接（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（2）直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為直線上一動點(diǎn)當(dāng)?shù)拿娣e等于面積的2倍時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；在的條件下，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時，過點(diǎn)Q作直線l垂直于，直線交直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)G在直線上，且時，請直接寫出的長第5頁/共34頁【答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）（2，1）或；或【分析】（1）將和代入利用系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后將一般式化為頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出的面積，設(shè)利用求得；利用列出方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)聯(lián)立直線和的關(guān)系式，求出的坐標(biāo)，從而求得【詳解】解（1）由題意得，（2）如圖1，作于，直線，可設(shè)，第6頁/共34頁，或或如圖2，設(shè)，由得，化簡，得，作于，即：，第7頁/共34頁設(shè)直線是：，解得，由，解得，綜上，的長為或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)及相似三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵將點(diǎn)的坐標(biāo)化成長度，轉(zhuǎn)化成圖形的相似等知識3（2021四川德陽中考真題）如圖，已知：拋物線yx2+bx+c與直線l交于點(diǎn)A（1，0），C（2，3），與x軸另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點(diǎn)P，使ACP的內(nèi)心在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)M，使MBNAPC？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）存在符合條件的點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為，【分析】（1）把點(diǎn)A，C代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）先作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，然后連接AC并延長交拋物線與點(diǎn)P，根據(jù)對稱性可知P第8頁/共34頁為所求的點(diǎn)；（3）根據(jù)勾股定理先求出APC的正切值，再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2-2m-3），利用MBN=APC列出關(guān)于m的方程，求出m，即可確定M的坐標(biāo)【詳解】解：（1）把點(diǎn)，代入，得到方程組：，解得，拋物線的解析式為；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則，連接并延長與拋物線交與點(diǎn)，由圖形的對稱性可知為所求的點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，由題意得：，解得：，直線的解析式為，將直線和拋物線的解析式聯(lián)立得：解得（舍去）或，；（3）存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，由勾股定理得，同理可求得，第9頁/共34頁，設(shè)點(diǎn)，則，解得或，當(dāng)時，當(dāng)，存在符合條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為，【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是要會用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，第二問中三角形的內(nèi)角到三邊的距離是相等的，可考慮作關(guān)于軸的對稱圖形，此方法比較簡潔，當(dāng)題目中出現(xiàn)相等的角時，一般要考慮它們的三角函數(shù)值相等4（2021貴州畢節(jié)中考真題）如圖，拋物線與軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對稱軸為直線，項(xiàng)點(diǎn)為D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為_，點(diǎn)D的坐標(biāo)為_，拋物線的解析式為_；（2）當(dāng)二次函數(shù)的自變量：滿足時，函數(shù)y的最小值為，求m的值；（3）P是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值為或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1），（2，2）第10頁/共34頁【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸及點(diǎn)B坐標(biāo)可求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸可求出b的值，把點(diǎn)A或B的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求出C的值，通過配方可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線開口向上，分兩種情況討論求解即可；（3）設(shè)P（1，t），由為斜邊，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可【詳解】解：（1）拋物線的對稱軸為x=2，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），且點(diǎn)A在B點(diǎn)的左側(cè)，A（1，0）又x= 把A（1，0）代入得， 拋物線的解析式為頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，-1）故答案為：（1，0），（2，-1），；（2）拋物線開口向上，當(dāng)時，y隨x的增大而減?。划?dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)，即時， 解得，（舍去）或當(dāng)時，解得，或（舍去）所以，m的值為或（3）假設(shè)存在，設(shè)P（2，t）當(dāng)時，如圖，過點(diǎn)C作CGPE于點(diǎn)G，則CG=2，PG=3-t第11頁/共34頁 ， ，即 整理得， 解得，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的根且符合題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），（2，2）綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1），（2，2）【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活應(yīng)用以上知識解決問題是本題的關(guān)鍵5（2021湖南湘西中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請?jiān)趻佄锞€的對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時的最小值；（4）點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時第12頁/共34頁的最小值為；（4）存在，或【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)直線的解析式為，然后把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入求解即可；（3）由題意易得點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時，即為BC的長，然后問題可求解；（4）由題意可設(shè)點(diǎn)，然后可分當(dāng)AC為對角線時，當(dāng)AM為對角線時，當(dāng)AN為對角線時，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可進(jìn)行求解【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，解得：，拋物線的解析式為；（2）由（1）可得拋物線的解析式為，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，直線的解析式為；（3）由拋物線可得對稱軸為直線，由題意可得如圖所示：連接BP、BC，點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，第13頁/共34頁，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時，即為BC的長，此時BC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，的最小值為，點(diǎn)P在直線BC上，把代入得：，；（4）存在，理由如下：由題意可設(shè)點(diǎn)，當(dāng)以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可分：當(dāng)AC為對角線時，如圖所示：連接MN，交AC于點(diǎn)D，四邊形ANCM是平行四邊形，點(diǎn)D為AC、MN的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即，解得：，；當(dāng)AM為對角線時，同理可得：，即，第14頁/共34頁解得：，；當(dāng)AN為對角線時，同理可得：，即，解得：，；綜上所述：當(dāng)以、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵6（2021山東淄博中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接（1）若，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)位于直線上方的拋物線上，當(dāng)面積最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)（在拋物線上）點(diǎn)（在拋物線的對稱軸上），使得以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形時，點(diǎn)，【分析】（1）由題意易得，則有，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；（2）由（1）可得，然后可求出線段BC的解析式為，過點(diǎn)P作PEy軸，交BC于點(diǎn)E，設(shè)，則有，進(jìn)而可根據(jù)鉛垂法進(jìn)行求解點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由題意易得，拋物線的對稱軸為，則可得，點(diǎn)第15頁/共34頁F的橫坐標(biāo)為，當(dāng)以GB為矩形的對角線時，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而可得，然后根據(jù)相似三角形可求解；當(dāng)以GB為矩形的對邊時，最后分類求解即可【詳解】解：（1），把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：，解得：，拋物線解析式為；（2）由（1）可得拋物線解析式為，設(shè)線段BC的解析式為，把點(diǎn)B、C代入得：，解得：，線段BC的解析式為，過點(diǎn)P作PEy軸，交BC于點(diǎn)E，如圖所示：設(shè)，則有，設(shè)的面積為S，由鉛垂法可得PCB的面積可以點(diǎn)B、C的水平距離為水平寬，PE為鉛垂高，則有：，當(dāng)a=2時，S有最大值，第16頁/共34頁點(diǎn)；（3）存在，理由如下：由題意可把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線得：，聯(lián)立拋物線與直線BG的解析式得：，解得：，由拋物線可得對稱軸為，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，當(dāng)以GB為矩形的對角線時，如圖所示：根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，即為，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，即，且四邊形是矩形，點(diǎn)E、F分別落在x軸的兩側(cè)才能構(gòu)成矩形，即，分別作EHx軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)G、B作過點(diǎn)F與x軸平行的直線的垂線，分別交于點(diǎn)M、N，如圖，四邊形是矩形，第17頁/共34頁，即，解得：（負(fù)根舍去），；當(dāng)以GB為矩形的邊時，不存在以點(diǎn)E、F、G、B頂點(diǎn)的四邊形為矩形；綜上所述：當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形時，點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵7（2021山東棗莊一模）如圖1，直線yx4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C（0，4），ABO從點(diǎn)，開始沿射線AB方向以每秒個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為DEF（點(diǎn)A，B，O的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），平移時間為t（0t4）秒，射線DF交x軸于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)M，連接ME(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)tanEMF時，請求出t的值；(3)如圖2，點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的，連接OM，NF，OM與NF相交于點(diǎn)P，當(dāng)NPFP時，請直接寫出t的值【答案】(1)y= ；(2)或 ；(3) .【分析】（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m4），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），用含m的式子表示出DM的長，求出DM1或7，分類討論即可求解；（3）連接OF，過點(diǎn)N作NHMF交OM于Q，交OB于H，證明四邊形OADF是平行四邊形，得到FG第18頁/共34頁OGt，利用SAS證明PQNPMF，得到NQME，證明OQHOMG，得到2（），即可求解【詳解】(1)將y0代入yx4，得x40，x4，B（4，0），拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（4，0）和點(diǎn)C（0，4），拋物線的解析式為y；(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m4），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），DM（）（m4），ABO平移得到DEF，DFEF4，tanEMF，MF3，如圖3，當(dāng)M位于EF上方時，MDDF+MF7，7，解得：m1，m2（不合題意，舍去），如圖4，當(dāng)M位于EF下方時，MDDFMF1，第19頁/共34頁1，解得：m不合題意，舍去）或，tm，t或，(3)連接OF，過點(diǎn)N作NHMF交OM于Q，交OB于H，將x0代入yx4，解得：y4，A（0，4），B（4，0），OAOB4，AOB90，OAB45，由平移知OAFD，OAFD，四邊形OADF是平行四邊形，OFAD t，OFDOAD45，OGF90，F(xiàn)GOGt，MFMGFG，NHMF，PQNPMF，PNQPFM，PNPF，PQNPMF（SAS），NQMF ，第20頁/共34頁由題意得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的，N（，），QHNHNQ，QHMG，OQHOMG，OHQOGM，OQHOMG， ，MG2QH，2（），解得：t1，t2（不符合題意，舍去），t【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題8（2021江蘇淮安二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，作PDx軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m求PE+EG的最大值；連接DF、DG，若FDG45，求m的值【答案】(1)yx2+2x3；(2)；-1或【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將B（1，0），C（0，3）代入yx2+bx+c，解方程組求出b、c即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，過點(diǎn)E作EKy軸于點(diǎn)K，設(shè)P（m，m2+2m3），則E（m，m3），從而得出EG，運(yùn)用二次函數(shù)求最值方法即可；第21頁/共34頁作EKy軸于K，F(xiàn)My軸于M，直線EG與x軸交于點(diǎn)N先證明DGFEGD，可得出DG2FGEG（m）2m，再運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可【詳解】(1)拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），C（0，3），解得：，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：yx2+2x3；(2)當(dāng)y0時，x2+2x30，解得：x13，x21，A（3，0），設(shè)直線AC的解析式為ykx+n，把A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，直線AC的解析式為：yx3，OAOC3，OACOCA45，過點(diǎn)E作EKy軸于點(diǎn)K，EGAC，KEGKGE45，EGEKOD，設(shè)P（m，m2+2m3），則E（m，m3），PEm3（m2+2m3）m23m，PE+EGPE+2ODm23m2mm25m（m+）2+，由題意有3m0，且30，10，當(dāng)m時，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值為；作EKy軸于K，F(xiàn)My軸于M，記直線EG與x軸交于點(diǎn)N，EKy軸，PDx軸，KEG45，DEGDNE45，DEDNKGEONG45，OGON，yx2+2x3的對稱軸為直線x1，MF1，KGF45，GFMF，F(xiàn)DG45，F(xiàn)DNDEG又DGFEGD，DGFEGD，DG2FGEG（m）2m，在RtONG中，OGON|ODDN|ODDE|m（m+3）|2m3|，ODm，在RtODG中，DG2OD2+OG2m2+（2m+3）25m2+12m+9，第22頁/共34頁5m2+12m+92m，解得m11，m2【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式、線段和最短問題、相似三角形，能夠靈活使用方程思想解決問題是解題的關(guān)鍵，常用勾股定理、相似比列方程9（2022浙江嘉興一中一模）如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點(diǎn)E(1)求拋物線的表達(dá)式；第23頁/共34頁(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，連接PB，PC，當(dāng)SPBCSABC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的動點(diǎn)，在射線ED上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與OBC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1)；(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）；(3)存在，（3，8）或或（3，11）【分析】（1）直接將A（2，0）和點(diǎn)B（8，0）代入yx2+bx+c（a0），解出b，c的值即可得出答案；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過點(diǎn)P作PGx軸，交x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，根據(jù)三角形PBC的面積列關(guān)于t的方程，解出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MNEM，MNNE，NEEM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關(guān)系，即可得出答案【詳解】(1)解：拋物線yx2+bx+c過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（8，0），拋物線解析式為：；(2)解：當(dāng)x0時，y8，C（0，8），直線BC解析式為：yx+8， 14過點(diǎn)P作PGx軸，交x軸于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，F(xiàn)（t，t+8），即 ，t11，t27，P1（1，10.5），P2（7，4.5）；(3)解：存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3，8），或（3，11）C（0，8），B（8，0），COB90，第24頁/共34頁OBC為等腰直角三角形，拋物線的對稱軸為，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，又點(diǎn)E在直線BC上，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5，E（3，5），設(shè)，當(dāng)MNEM，EMN90，NMECOB，則， 解得或（舍去），此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，8），當(dāng)MEEN，當(dāng)MEN90時，則，解得：或（舍去），此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)MNEN，MNE90時，此時MNE與COB相似，此時的點(diǎn)M與點(diǎn)E關(guān)于的結(jié)果（3，8）對稱，設(shè)M（3，m），則m885，解得m11，M（3，11）；此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，11）；第25頁/共34頁故在射線ED上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與OBC相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（3，8）或或（3，11）【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，涉及二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，解答類似題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線10（2022重慶模擬預(yù)測）如圖1，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A（2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），(1)求二次函數(shù)解析式；(2)如圖2，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，PDy軸交BC于D，PEBC交x軸于點(diǎn)E，求PD+BE的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)PD+BE取最大值時，連接PC，將繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至；將原拋物線沿射線CA方向平移個單位長度得到新拋物線，點(diǎn)M在新拋物線的對稱軸上，點(diǎn)N為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，N，D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)【答案】(1)；(2)當(dāng)時，PD+BE的最大值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）(3)當(dāng)以點(diǎn)M，N，D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（， ）或（，）或（，）或（，）【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），然后利用待定系數(shù)法求解即可；第26頁/共34頁（2）過P作PFx軸交BC于點(diǎn)F，則四邊形PEBF為平行四邊形，從而得到PD+BEPD+PF，求出直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，），則，再求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），得到，則，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分三種情況以MN為對角線時，如圖，有，以為對角線時，如圖，有，以為對角線時，如圖，有，由此討論求解即可【詳解】(1)解：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），OC3，OB6，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（6，0）設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)C（0，3）代入解析式為，拋物線的解析式為；(2)解：過P作PFx軸交BC于點(diǎn)F，PEBC，四邊形PEBF為平行四邊形，PFBE，PD+BEPD+PF，設(shè)直線BC的解析式為，則，解得：，直線BC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，），PFx軸，點(diǎn)F和點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），第27頁/共34頁當(dāng)m3時，的最大值為，此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）；（3）由（2）中得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，），PCD繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到，C（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3），A（2，0），C（0，3），拋物線沿射線CA方向平移，拋物線向左平移了1個單位長度，向下平移了個單位長度，平移后拋物線的對稱軸為直線設(shè)點(diǎn)M（1，y），N（m，n，C（3，0），（，3），以MN為對角線時，如圖，有，解得：或，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）；以MC為對角線時，如圖，第28頁/共34頁有，解得：，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；以MD為對角線時，如圖，有，解得：，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)M，N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）；或（，）或（，）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合和一次函數(shù)綜合、二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及平移、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的相關(guān)知識，并會用含由未知數(shù)的式子表示函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)11（2022重慶模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖像開口向上，對稱軸為直線，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OBOC，連接AC第29頁/共34頁(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，P為直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEx軸交直線AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AFAC交直線PE于點(diǎn)F，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D是拋物線y的頂點(diǎn)，將拋物線y沿著射線AC平移得到，為拋物線的頂點(diǎn)，過作x軸于點(diǎn)M在平移過程中，是否存在以D、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1)；(2)P（，）(3)存在，（2，）或（，）或（，）【分析】（1）利用對稱軸為直線，可求得A（，0），再根據(jù)OBOC，可得C（0， ），再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）如圖1，設(shè)PE交x軸于點(diǎn)H，運(yùn)用待定系數(shù)法可得：直線AC的解析式為，設(shè)P（t，），則E（t，），H（t，0），運(yùn)用勾股定理可得，利用，可求得，再利用，建立方程求解即可；（3）利用待定系數(shù)法求得直線DD的解析式，設(shè)（m，），則M（m，0），可得出：，根據(jù)以D、D、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，分三種情況：或或，分別建立方程求解即可【詳解】(1)解：對稱軸為直線，與x軸交于A、B（，0）兩點(diǎn)，A（，0），OB，OBOC，C（0，），第30頁/共34頁設(shè)拋物線為，將C（0，）代入，得：，解得：，該拋物線的解析式為；(2)解：如圖3，設(shè)PE交x軸于點(diǎn)H，設(shè)直線AC的解析式為，A（，0），C（0，）， ，解得： ，直線AC的解析式為，設(shè)P（t，），則E（t，），H（t，0），EH， ，AFAC， ，即， ，解得：，（舍去），又，P（，）；第31頁/共34頁(3)解：存在以D、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形如圖2，點(diǎn)D是拋物線y的頂點(diǎn)，將拋物線y沿著射線AC平移得到，D為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將D（，）代入，得：，解得：，直線的解析式為，設(shè)（m，），則M（m，0），以D、M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，或或，當(dāng)時，解得：，（舍去），（，）；當(dāng)時，解得：，（舍去），（，）；當(dāng)時，解得：，（舍去），（，）；第32頁/共34頁綜上，的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線的平移變換，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)，靈活運(yùn)用分類討論思想是解題關(guān)鍵第33頁/共34頁第34頁/共34頁