2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點05 解直角三角形的實際應(yīng)用-【查漏補缺】

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2.特殊角的三角函數(shù)值的計算3.解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡腳問題）（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式（2）把坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡度i與坡角之間的關(guān)系為：i=h/l=tan（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題1（2021山東青島中考真題）某校數(shù)學(xué)社團開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動，準備測量一棟大樓的高度如圖所示，其中觀景平臺斜坡的長是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測得路燈項端處的俯角是試求大樓的高度第1頁/共14頁（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】96米【分析】延長AE交CD延長線于M，過A作ANBC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長，即可求解【詳解】延長交于點，過點作，交于點，由題意得，四邊形為矩形，.在中，.在中，.答：大樓的高度約為96米.【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵第2頁/共14頁2（2021四川內(nèi)江中考真題）在一次課外活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度如圖所示，測得斜坡的坡度，坡底的長為8米，在處測得樹頂部的仰角為，在處測得樹頂部的仰角為，求樹高（結(jié)果保留根號）【答案】米【分析】作BFCD于點F，設(shè)DF=x米，在直角DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長，在直角DCE中表示出CE的長，然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值，進而求得CD的長【詳解】解：作于點，設(shè)米，在中，則（米，且AE=8 在直角中，米，在直角中，米，即解得：，則米答：的高度是米【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵第3頁/共14頁3（2021甘肅蘭州中考真題）避雷針是用來保護建筑物、高大樹木等避免雷擊的裝置如圖，小陶同學(xué)要測量垂直于地面的大樓頂部避雷針的長度（，三點共線），在水平地面點測得，點與大樓底部點的距離，求避雷針的長度（結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【分析】根據(jù)，然后根據(jù)即可得出答案【詳解】解：，即，解得：m，即，解得：m，m 【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問題是解答此題的關(guān)鍵4（2021遼寧盤錦中考真題）如圖，小華遙控無人機從點A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機飛行方向與水平方向的夾角為37，小華在點A測得大廈底部N的俯角為31，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6米，且，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)據(jù)：cos310.86， tan310.60， cos370.80， tan370.75）【答案】38米第4頁/共14頁【分析】過作于，易證，得，則，再由銳角三角函數(shù)求出，然后在中，由銳角三角函數(shù)定義求出的長即可【詳解】解：過作于，如圖所示：則，由題意得：，在中，在中，即無人機飛行的距離約是【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明是解題的關(guān)鍵5（2021江蘇淮安中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C的仰角為28、鐵塔底部D的俯角為40，求鐵塔CD的高度（參考數(shù)據(jù)：sin280.47，cos280.8，tan280.53，sin400.64，cos400.77，tan400.84）【答案】68.5m第5頁/共14頁【分析】過A作AECD，垂足為E分別在RtAEC和RtAED中，由銳角三角函數(shù)定義求出CE和DE的長，然后相加即可【詳解】解：如圖，過A作AECD，垂足為E則AE50m，在RtAEC中，CEAEtan28500.5326.5（m），在RtAED中，DEAEtan40500.8442（m），CDCEDE26.54268.5（m）答：鐵塔CD的高度約為68.5m【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，求出CE、DE的長是解題的關(guān)鍵6（2022重慶模擬預(yù)測）如圖，重慶是著名的山城，為了測量坡度為的斜坡BC上的建筑物AB的高度，一個數(shù)學(xué)興趣小組站在山腳點C處沿水平方向走了6米到達點D，再沿斜坡DF行走26米到達點F，再向前走了20米到達一個比較好的測量點G，在G點測量得建筑物底部B的仰角為26.5，建筑物頂部A的仰角為30，已知斜坡DF的坡度為1：2.4，測量員的身高忽略不計，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H在同一平面內(nèi)，ABCD于點H，DEFG于點E(1)求點G到山腳C的水平距離；(2)求建筑物AB的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin26.50.45，cos26.50.89，tan26.50.50，）第6頁/共14頁【答案】(1)點G到山腳C的水平距離是50米；(2)建筑物AB的高度約是8.5米【分析】(1)連接BG，分別過點H、C作HNEG于點N，CMEG于點M，根據(jù)坡比可得DE和EF的長度，再由MG=ME+EF+FG來求解；(2)根據(jù)坡度比，由的正切得出BH的長度，再根據(jù)的正切可得到AB的值【詳解】(1)解：如圖，連接BG，分別過點H、C作HNEG于點N，CMEG于點M，由題意可得，CD6米，DF26米，F(xiàn)G20米HNEG，CMEG，斜坡DF的坡度為1：2.4，DF26米，設(shè)DEx米，則EF2.4米，由勾股定理可得x2+（2.4x）2262，解得x10，DE10米，EF24米MECD6米，MGME+EF+FG6+24+2050（米），答：點G到山腳C的水平距離是50米；(2)解：HNEG，CMEG，HNCMDE10米，設(shè)BHx斜坡BC的坡度為，HCx米，NGMN+MGHC+MGx+50，HNx+10BGN26.5，tan26.550.5，解得x45，即BN45+1055（米），NG60+50110（米）AGN30，tan30，解得AB8.5，第7頁/共14頁答：建筑物AB的高度約是8.5米【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)成直角三角形7（2021河南模擬預(yù)測）2021年4月4日，中國海軍組織遼寧艦航母編隊在臺灣周邊海域進行訓(xùn)練包括遼寧艦在內(nèi)的6艘解放軍軍艦沿沖繩本島與宮古島之間海域南下，向太平洋駛?cè)ィ⒃谠搮^(qū)域設(shè)立禁飛禁航區(qū)，如圖，該區(qū)域為不規(guī)則四邊形，點A在點B正西200km處，點D在點A正北方，且在點B的西偏北60方向上，點C在點B的北偏東24方向且距點B為300km，則這片禁飛禁航區(qū)的面積是多少？（參考數(shù)據(jù)；sin540.809，cos540.588，tan541.376，1.732）【答案】這片禁飛禁航區(qū)的面積約為83180km2【分析】觀察圖形，禁航區(qū)的面積等于ABD與CDB面積之和如圖，過C點作CEBD于E，利用銳角三角函數(shù)分別解RtABD和RtBCE，根據(jù)得到的邊長求出三角形面積相加即可【詳解】解：如圖，過C點作CEBD于E，在RtABD中，ABD60，AB200km，BDA90ABD30，AD200（km），BD2AB400（km），SABDABAD200200200001.73234640（km2），在RtBCE中，CBE24+3054，CECBsin543000.809242.7（km），SCDBBDCE400242.748540（km2），S四邊形ABCDSABD+SBCD34640+4854083180（km2），即這片禁飛禁航區(qū)的面積約為83180km2第8頁/共14頁【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)解直角三角形、方位角、求不規(guī)則圖形面積等知識點，根據(jù)題目中描述的方位角得到圖中三角形相應(yīng)角的度數(shù)是解題的基礎(chǔ)，熟練掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵8（2021海南海口市第十四中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，2020年5月5日，我國載人空間站工程研制的長征五號運載火箭在海南文昌首飛成功運載火箭從地面O處發(fā)射，當火箭到達A時，地面D處的雷達站測得AD5000米，仰角為30，3秒后，火箭直線上升到點B處，此時地面C處的雷達站測得B處的仰角為45若C、D兩處相距460米（參考數(shù)據(jù)：）(1)求火箭從A到B處的平均速度（結(jié)果精確到米/秒）；(2)求地面C處的雷達站測得BC的距離【答案】(1)457米/秒；(2)（2500460）米【分析】（1）在兩個直角三角形中求出AO、BO，進而計算出AB，最后求出速度即可；（2）根據(jù)線段的和差和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】(1)設(shè)ABx米，在RtAOD中，sin30，OD50002500（米），在RtOBC中，tan451，即x+25002500460，解得：x1370，火箭從A到B處的平均速度為457米/秒，答：火箭從A到B處的平均速度為457米/秒；(2)由（1）知，OD2500（米），CD460米，OCODCD（2500460）米，OCB45，OBOC（2500460）米，第9頁/共14頁故地面C處的雷達站測得BC的距離為（2500460）=（2500460）米【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是抽象出直角三角形，利用直角三角形解決問題9（2021山東青島一模）如圖，為固定電線桿CM，其自身需植入地下1.5米，且由兩根互相垂直的拉線AC與BC協(xié)助固定A、D、B在同一直線上(1)若電線桿地面上部分CD高為h米，CAB，請用h與三角函數(shù)的代數(shù)式表示BC的長度為 ；(2)若CAB25，電線桿CM為11.5米，求兩處固定點A、B之間的距離是多少？（結(jié)果精確到1米）（sin25，cos25，tan25）【答案】(1)；(2)27米【分析】（1）證明BCDCAB，再根據(jù)求解即可；（2）分別求出AD，DB，可得結(jié)論【詳解】(1)解：CDAB，ACB90，ADC90，CAB+ACD90，ACD+BCD90，BCDCAB，在RtBCD中，故答案為：(2)解：CM11.5米，DM1.5米，CD10（米），在RtADC中，（米），在RtCDB中，（米），（米）故兩處固定點A、B之間的距離是27米【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，靈活運用解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵10（2021山東東營二模）小明與小華在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，想要測量他們家對面商業(yè)大廈的高MN，如圖所示，小明爬到居民樓窗臺B處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角1的度數(shù)為60，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)于是，他倆又上了幾層樓來到窗臺C處測得大廈底部M第10頁/共14頁的俯角2的度數(shù)為30，已知A，B，C三點共線，CAAM，NMAM，AB18m，BC6m，試求商業(yè)大廈的高MN【答案】90m【分析】過點作于點，過點作于點，可得四邊形和四邊形均為矩形，再通過解直角三角形，即可求得【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，四邊形和四邊形均為矩形，在中，在中，由矩形性質(zhì)可知：，第11頁/共14頁 答：商業(yè)大廈的高為【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵11（2021江蘇沭陽縣懷文中學(xué)二模）脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活如圖是政府給貧困戶新建的房屋，如圖是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋頂A的仰角為35，此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達點D時，又測得屋檐E點的仰角為60，房屋的頂層橫梁EF12m，EFCB，AB交EF于點G（點C，D，B在同一水平線上）（參考數(shù)據(jù)：sin350.6，cos350.8，tan350.7，1.7）(1)求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；(2)求房屋的高AB（結(jié)果精確到1m）【答案】(1)4.2m；(2)14m【分析】（1）根據(jù)題意得到AGEF，EG=EF，AEG=ACB=35，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）過E作EHCB于H，設(shè)EH=x，解直角三角形即可得到結(jié)論【詳解】（1）房屋的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，EFBC，AGEF，EG=EF，AEG=ACB=35，在RtAGE中，AGE=90，AEG=35，tanAEG=tan35= ，EG=6，AG=60.7=4.2（米）；答：屋頂?shù)綑M梁的距離AG約為4.2米；(2)過E作EHCB于H，第12頁/共14頁設(shè)EH=x，在RtEDH中，EHD=90，EDH=60，tanEDH= ， ，在RtECH中，EHC=90，ECH=35， ， ，CH-DH=CD=8米，解得：x9.52（米），AB=AG+BG=9.52+4.2=13.7214（米），答：房屋的高AB約為14米【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵是借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形第13頁/共14頁第14頁/共14頁