天津大學微積分幾何應用.ppt

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第一節(jié) 機動目錄上頁下頁返回結束 定積分的元素法 一 什么問題可以用定積分解決 二 如何應用定積分解決問題 第六章 表示為 一 什么問題可以用定積分解決 1 所求量U是與區(qū)間 a b 上的某函數f x 有關的 2 U對區(qū)間 a b 具有可加性 即可通過 大化小 常代變 近似和 取極限 定積分定義 機動目錄上頁下頁返回結束 一個整體量 二 如何應用定積分解決問題 第一步利用 化整為零 以常代變 求出局部量的 微分表達式 第二步利用 積零為整 無限累加 求出整體量的 積分表達式 這種分析方法成為元素法 或微元分析法 元素的幾何形狀常取為 條 帶 段 環(huán) 扇 片 殼等 近似值 精確值 第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束 四 旋轉體的側面積 補充 三 平行截面面積為已知函數的立體體積 旋轉體的體積 第二節(jié) 一 平面圖形的面積 二 平面曲線的弧長 機動目錄上頁下頁返回結束 定積分在幾何學上的應用 第六章 一 平面圖形的面積 1 直角坐標情形 設曲線 與直線 及x軸所圍曲 取x為積分變量 則 機動目錄上頁下頁返回結束 邊梯形面積為A 右下圖所示圖形面積為 例1 計算兩條拋物線 在第一象限所圍 所圍圖形的面積 解 由 得交點 機動目錄上頁下頁返回結束 例2 計算拋物線 與直線 的面積 解 由 得交點 所圍圖形 為簡便計算 選取y作積分變量 則有 機動目錄上頁下頁返回結束 例3 求橢圓 解 利用對稱性 所圍圖形的面積 有 利用橢圓的參數方程 應用定積分換元法得 當a b時得圓面積公式 機動目錄上頁下頁返回結束 一般地 當曲邊梯形的曲邊由參數方程 給出時 按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數值 則曲邊梯形面積 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 求由擺線 的一拱與x軸所圍平面圖形的面積 解 機動目錄上頁下頁返回結束 2 極坐標情形 求由曲線 及 圍成的曲邊扇形的面積 在區(qū)間 上任取小區(qū)間 則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為 所求曲邊扇形的面積為 機動目錄上頁下頁返回結束 對應 從0變 例5 計算阿基米德螺線 解 點擊圖片任意處播放開始或暫停 機動目錄上頁下頁返回結束 到2 所圍圖形面積 例6 計算心形線 所圍圖形的 面積 解 利用對稱性 心形線目錄上頁下頁返回結束 例7 計算心形線 與圓 所圍圖形的面積 解 利用對稱性 所求面積 機動目錄上頁下頁返回結束 例8 求雙紐線 所圍圖形面積 解 利用對稱性 則所求面積為 思考 用定積分表示該雙紐線與圓 所圍公共部分的面積 機動目錄上頁下頁返回結束 答案 二 平面曲線的弧長 當折線段的最大 邊長 0時 折線的長度趨向于一個確定的極限 即 并稱此曲線弧為可求長的 定理 任意光滑曲線弧都是可求長的 證明略 機動目錄上頁下頁返回結束 則稱 1 曲線弧由直角坐標方程給出 弧長元素 弧微分 因此所求弧長 P168 機動目錄上頁下頁返回結束 二 平面曲線的弧長 2 曲線弧由參數方程給出 弧長元素 弧微分 因此所求弧長 機動目錄上頁下頁返回結束 3 曲線弧由極坐標方程給出 因此所求弧長 則得 弧長元素 弧微分 自己驗證 機動目錄上頁下頁返回結束 例9 兩根電線桿之間的電線 由于其本身的重量 成懸鏈線 求這一段弧長 解 機動目錄上頁下頁返回結束 下垂 懸鏈線方程為 例10 求連續(xù)曲線段 解 的弧長 機動目錄上頁下頁返回結束 例11 計算擺線 一拱 的弧長 解 機動目錄上頁下頁返回結束 例12 求阿基米德螺線 相應于0 2 一段的弧長 解 P349公式39 小結目錄上頁下頁返回結束 三 立體的體積1平行截面面積為已知函數的立體體積 設所給立體垂直于x軸的截面面積為A x 則對應于小區(qū)間 的體積元素為 因此所求立體體積為 機動目錄上頁下頁返回結束 上連續(xù) 例13 一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心 并 與底面交成 角 解 如圖所示取坐標系 則圓的方程為 垂直于x軸的截面是直角三角形 其面積為 利用對稱性 計算該平面截圓柱體所得立體的體積 機動目錄上頁下頁返回結束 思考 可否選擇y作積分變量 此時截面面積函數是什么 如何用定積分表示體積 提示 機動目錄上頁下頁返回結束 垂直x軸的截面是橢圓 例14 計算由曲面 所圍立體 橢球體 解 它的面積為 因此橢球體體積為 特別當a b c時就是球體體積 機動目錄上頁下頁返回結束 的體積 當考慮連續(xù)曲線段 軸旋轉一周圍成的立體體積時 有 當考慮連續(xù)曲線段 繞y軸旋轉一周圍成的立體體積時 有 機動目錄上頁下頁返回結束 2 旋轉體的體積 例15 計算由橢圓 所圍圖形繞x軸旋轉而 轉而成的橢球體的體積 解 方法1利用直角坐標方程 則 利用對稱性 機動目錄上頁下頁返回結束 方法2利用橢圓參數方程 則 特別當b a時 就得半徑為a的球體的體積 機動目錄上頁下頁返回結束 例16 計算擺線 的一拱與y 0 所圍成的圖形分別繞x軸 y軸旋轉而成的立體體積 解 繞x軸旋轉而成的體積為 利用對稱性 機動目錄上頁下頁返回結束 繞y軸旋轉而成的體積為 注意上下限 注 注目錄上頁下頁返回結束 分部積分 注 利用 偶倍奇零 柱殼體積 說明 柱面面積 機動目錄上頁下頁返回結束 偶函數 奇函數 機動目錄上頁下頁返回結束 例17 設 在x 0時為連續(xù)的非負函數 且 形繞直線x t旋轉一周所成旋轉體體積 證明 證 利用柱殼法 則 機動目錄上頁下頁返回結束 故 例18 求曲線 與x軸圍成的封閉圖形 繞直線y 3旋轉得的旋轉體體積 94考研 解 利用對稱性 故旋轉體體積為 在第一象限 機動目錄上頁下頁返回結束 四 旋轉體的側面積 設平面光滑曲線 求 積分后得旋轉體的側面積 它繞x軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的側面積 側面積元素 機動目錄上頁下頁返回結束 側面積元素 的線性主部 若光滑曲線由參數方程 給出 則它繞x軸旋轉一周所得旋轉體的 不是薄片側面積 S的 機動目錄上頁下頁返回結束 注意 側面積為 例19 計算圓 x軸旋轉一周所得的球臺的側面積S 解 對曲線弧 應用公式得 當球臺高h 2R時 得球的表面積公式 機動目錄上頁下頁返回結束 例20 求由星形線 一周所得的旋轉體的表面積S 解 利用對稱性 繞x軸旋轉 星形線目錄上頁下頁返回結束 內容小結 1 平面圖形的面積 邊界方程 參數方程 極坐標方程 2 平面曲線的弧長 曲線方程 參數方程方程 極坐標方程 弧微分 直角坐標方程 上下限按順時針方向確定 直角坐標方程 注意 求弧長時積分上下限必須上大下小 機動目錄上頁下頁返回結束 3 已知平行截面面面積函數的立體體積 旋轉體的體積 繞x軸 4 旋轉體的側面積 側面積元素為 注意在不同坐標系下ds的表達式 繞y軸 柱殼法 機動目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 1 用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長s 提示 交點為 弧線段部分 直線段部分 機動目錄上頁下頁返回結束 以x為積分變量 則要分 兩段積分 故以y為積分變量 2 試用定積分求圓 繞x軸 上 半圓為 下 求體積 提示 方法1利用對稱性 機動目錄上頁下頁返回結束 旋轉而成的環(huán)體體積V及表面積S 方法2用柱殼法 說明 上式可變形為 機動目錄上頁下頁返回結束 此式反映了環(huán)體微元的另一種取法 如圖所示 求側面積 利用對稱性 機動目錄上頁下頁返回結束 上式也可寫成 它也反映了環(huán)面微元的另一種取法 分析曲線特點 2 解 與x軸所圍面積 由圖形的對稱性 也合于所求 為何值才能使 與x軸圍成的面積等 機動目錄上頁下頁返回結束 故 3 求曲線 圖形的公共部分的面積 解 與 所圍成 得 所圍區(qū)域的面積為 機動目錄上頁下頁返回結束 設平面圖形A由 與 所確定 求 圖形A繞直線x 2旋轉一周所得旋轉體的體積 提示 選x為積分變量 旋轉體的體積為 4 機動目錄上頁下頁返回結束 若選y為積分變量 則 備用題 解 1 求曲線 所圍圖形的面積 顯然 面積為 同理其它 機動目錄上頁下頁返回結束 又 故在區(qū)域 作業(yè) P2792 1 3 3 4 5 2 3 8 2 9 10 22 25 27 30 第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束 面積及弧長部分 體積及表面積部分 P27913 14 15 1 4 17 18 補充題 設有曲線 過原點作其切線 求 由此曲線 切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一 周所得到的旋轉體的表面積