《名師伴你行》人教A版函數(shù)學案一指數(shù)與指數(shù)冪的運算.ppt

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學點一 學點二 學點三 學點四 1 正整數(shù)指數(shù)冪 一個數(shù)a的n次冪等于n個a的乘積 記作an 它的運算性質(zhì) am an am an a 0 m n am n ab n a 0 2 n次方根的定義 如果xn a 那么x叫做 其中n 1 且n N 3 根式 形如的式子叫做根式 這里n叫做 叫做被開方數(shù) 4 根式的性質(zhì) 1 2 3 當n為偶數(shù)時 當n為奇數(shù)時 am n am n amn anbn a的n次方根 0 根指數(shù) a a a 5 乘方與開方 求a的n次冪的運算叫做乘方運算 求a的n次方根的運算叫做開方運算 乘方運算與開方運算互為 6 整數(shù)指數(shù)冪 1 一個實數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪的意義是an a a a n個a R n N 且n 1 2 一個非零實數(shù)的零次冪的意義是 a 0 但00沒有意義 3 一個非零實數(shù)的負整數(shù)指數(shù)冪的意義是 a 0 n N n 1 但0 n n N 沒有意義 7 分數(shù)指數(shù)冪 1 正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是 a 0 m n N 且n 1 逆運算 2 正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是 a 0 m n N 且n 1 3 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0的負分數(shù)指數(shù)冪 8 有理指數(shù)冪的運算性質(zhì) 如果a 0 b 0 r s Q 那么ar as ar s ab r 9 根式的運算 可以先把根式化成分數(shù)指數(shù)冪 然后利用的運算性質(zhì)進行運算 10 無理指數(shù)冪的含義 如 它是一個確定的實數(shù) 可以看成由以的一串不足近似值和相應的一串過剩近似值為指數(shù)的有理指數(shù)冪的值的結(jié)果 0 沒有意義 有理數(shù)指數(shù)冪 從兩邊無限逼近 學點一根式運算 求下列各式的值 1 2 3 4 分析 將根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式 利用分數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)計算是根式運算中經(jīng)常采用的方法 解析 1 原式 34 3 3 2 原式 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 原式 評析 根式的運算一般化為分數(shù)指數(shù)冪的形式 由分數(shù)指數(shù)冪運算公式化簡求值 4 原式 化簡下列各式 1 2 a 0 b 0 3 4 計算下列各式 1 2 3 學點二分數(shù)指數(shù)冪的運算 分析 負化正 大化小 根式化分數(shù)指數(shù)冪 小數(shù)化分數(shù) 是簡化運算的常用技巧 1 原式 2 原式 0 4 1 1 2 4 2 3 0 1 評析 一般地 進行指數(shù)冪運算時 化負指數(shù)為正指數(shù) 化根式為分數(shù)指數(shù) 化小數(shù)為分數(shù)進行運算 便于進行乘 除 乘方 開方運算 以達到化繁為簡的目的 計算下列各式 1 2 3 解析 1 原式 7 3 3 3 23 2 3 3 2 3 7 3 3 3 2 2 3 3 3 7 3 6 3 2 3 3 0 2 原式 0 5 4 2 1 2 2 4 3 102 2 64 20 10 10 42 3 原式 學點三求值問題 已知a a 3 求下列各式的值 1 a a 1 2 a2 a 3 分析 從已知條件中解出a的值 然后再代入求值 這種方法是不可取的 而應設法從整體尋求結(jié)果與條件a a 3的聯(lián)系 進而整體代入求值 評析 對 條件求值 問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系 然后采取 整體代換 或 求值后代換 兩種方法求值 解析 1 將a a 3兩邊平方 得a a 1 2 9 即a a 1 7 2 將上式平方 有a2 a 2 2 49 a2 a 2 47 3 由于a a a 3 a 3 a a 1 1 7 1 8 1 已知x x 3 求的值 2 已知2a 2 a 3 求8a 8 a 3 已知a2x 1 求的值 1 由x x 3得x x 1 2 9 即x x 1 7 x2 x 2 2 49 則x2 x 2 2 45 又 x x 3 x x x x 1 1 3 3 7 1 3 15 3 2 8a 8 a 2a 3 2 a 3 2a 2 a 22a 2 2a 1 3 2a 2 a 2 3 3 32 3 18 3 a2x a 2x 1 1 1 1 1 1 2 1 學點四化簡 化簡下列各式 1 x 1 x x0 x x 2 分析 抓住題中各式的結(jié)構特點 可分別用立方差和立方和公式化簡 解析 1 原式 2 原式 評析 解題時 要注意從整體上把握代數(shù)式的結(jié)構特點 先化簡 后計算 化簡下列各式 1 2 3 1 解法一 化去負指數(shù)后解 原式 解法二 利用運算性質(zhì)解 原式 解法三 利用倒數(shù)的性質(zhì)解 原式 2 原式 3 原式 2 6 3 4a 2 在進行指數(shù)冪運算時 應注意什么問題 1 化簡要求同初中要求 注意結(jié)果形式的統(tǒng)一 即結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù) 也不能既有分母 又含有負分數(shù) 2 一般地 進行指數(shù)冪運算時 化負指數(shù)為正指數(shù) 化根式為分數(shù)指數(shù)冪 化小數(shù)為分數(shù) 化底數(shù)為指數(shù)等 便于進行乘 除 乘方 開方運算 以達到化繁為簡的目的 1 怎樣才能更好的學好指數(shù)及運算 1 先復習初中學過的整數(shù)指數(shù)冪的概念及運算 對于指數(shù)冪an 當指數(shù)n擴大到有理數(shù)時 要注意底數(shù)a的變化范圍 如當n 0時 底數(shù)a 0 當n為負整數(shù)指數(shù)時 底數(shù)a 0 當n為分數(shù)時 底數(shù)a 0 2 學習本學案內(nèi)容要結(jié)合對比法 揭示其內(nèi)涵與外延及其與舊概念的聯(lián)系 運用有理指數(shù)冪運算性質(zhì)進行化簡 求值 要掌握解題技巧 如湊完全平方 尋求同底冪等方法 1 正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)都是積 商 冪的形式 而不是和 差的形式 防止出現(xiàn) am an am n am bn am n 等錯誤 關于n次方根的定義和性質(zhì) 可以理解為平方根和立方根的推廣 根號也可以認為是由平方根號 立方根號推廣而來的 理解n次方根的意義時 要把n按奇偶分類 并且在實數(shù)范圍內(nèi) 正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù) 負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù) 零的奇次方根是 類比立方根 正數(shù)的偶次方根有兩個 它們互為相反數(shù) 負數(shù)的偶次方根沒有意義 零的偶次方根是零 即當n為正偶數(shù)時 na有意義的條件是a 0 類比平方根 關于及根式的性質(zhì)要理解好以下幾點 1 n N 且n 0 2 當n為奇數(shù)時 對任意a R都有意義 并且表示a在實數(shù)范圍內(nèi)的唯一的一個n次方根 即 n a 3 當n為偶數(shù)時 只有當a 0時才有意義 a 0 表示a在實數(shù)范圍內(nèi)的一個正的n次方根 也叫n次算術根 但a還有另一個負的n次方根是 即 n a 4 n與的意義不同 對任意a R都有意義 當n為奇數(shù)時 a 當n為偶數(shù)時 a 4 根式的化簡與計算 1 化簡根式的過程類似于化簡二次根式 注意運用根式的性質(zhì)和乘法公式 提取或合并同類根式 分母有理化 并且應化為最簡根式 2 根式的計算應在化簡后進行 要結(jié)合根式的性質(zhì)分清奇次根式和偶次根式 當根號不能去掉時 一般保留根號 如果需要去掉根號 可用計算器求出近似值 5 an n Z 的意義 不能簡單地理解成n個a相乘 應分清n是正整數(shù) 零還是負整數(shù) 若n 0 則a 0 否則an沒有意義 的意義 不能理解為個a相乘 它是根式的一種新的寫法 在規(guī)定 和 a 0 m n N n 1 后 根式和分數(shù)指數(shù)冪可以互化 它們表示相同意義的量 7 an n Q 的意義 應按有理數(shù)n分類理解 隨著n的范圍由正整數(shù)范圍到整數(shù)范圍到有理數(shù)范圍的不斷擴大 底數(shù)a的范圍也在不斷地縮小 但對于a 0時 an都有意義 對于a 0時 n不能為0 負整數(shù) 負分數(shù) 否則沒有意義 8 有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)是積 商 冪的形式 而不是和 差的形式 并且把正整數(shù)指數(shù)冪的五條運算性質(zhì)推廣到有理指數(shù)冪 祝同學們學習上天天有進步