圓的標(biāo)準方程.doc

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第四章 圓與方程 4.1 圓的方程 4.1.1 圓的標(biāo)準方程 教材分析 本節(jié)內(nèi)容數(shù)學(xué)必修2 第四章第一節(jié)的起始課，是在學(xué)習(xí)了直線的有關(guān)知識后學(xué)習(xí)的，圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中就已學(xué)過圓的定義．這節(jié)課主要是根據(jù)圓的定義，推出圓的標(biāo)準方程，并會求圓的標(biāo)準方程．本節(jié)課的教學(xué)重點是圓的標(biāo)準方程的理解、掌握；難點是會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法，幾何法求圓的標(biāo)準方程．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問題的能力，使學(xué)生加深對數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)意識． 課時分配 本節(jié)內(nèi)容用1課時的時間完成，主要講解圓的標(biāo)準方程的推導(dǎo)和應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 重點: 圓的標(biāo)準方程的理解、掌握． 難點：會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準方程． 知識點：會求圓的標(biāo)準方程. 能力點：根據(jù)不同的已知條件求圓的標(biāo)準方程. 教育點：嘗試用代數(shù)方法解決幾何問題探究過程，體會數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法的思想方法. 自主探究點：點與圓的位置關(guān)系的判斷方法. 考試點：會求圓的標(biāo)準方程. 易錯易混點：不同的已知條件，如何恰當(dāng)?shù)那髨A的標(biāo)準方程. 拓展點：如何根據(jù)不同的條件，靈活適當(dāng)?shù)剡x取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的標(biāo)準方程． 知識結(jié)構(gòu) 平面直角坐標(biāo)系 圓的方程 圓的標(biāo)準方程 圓的一般方程 直線與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系 點與圓的位置關(guān)系 直線與圓的方程的簡單應(yīng)用 坐標(biāo)法 教具準備 多媒體課件和三角板 課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué) 一、引入新課 問題 1：圓在我們的生活中無處不在，日出東方，車行天下，這些都是圓的具體表現(xiàn)形式.請同學(xué)們思考一個問題：車輪為何設(shè)計為圓形，而不是其他的形狀？ 學(xué)生回答：若是方形，走起來顛簸，不舒服；不是圓形，轉(zhuǎn)不起來. 老師點評：正是圓，可以讓車輪上的每一點到軸心的距離相等，才保證了輪子轉(zhuǎn)起來而不顛簸. 【設(shè)計意圖】通過對問題的思考讓學(xué)生體會圓的性質(zhì)，回顧圓的定義. 【設(shè)計說明】通過實例引入問題，緊扣問題的本質(zhì)提出矛盾問題，引發(fā)學(xué)生興趣并自然切入圓的定義. 問題 2：圓是如何定義的？ 學(xué)生回答：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓． 【設(shè)計意圖】回顧圓的定義便于問題3的回答． 【設(shè)計說明】回顧圓的定義，通過分析定義引導(dǎo)學(xué)生分析問題3. 問題3：在平面直角坐標(biāo)系中，兩點確定一條直線，一點和傾斜角也可以確定一條直線，那么在什么條件下可以確定一個圓？ 【設(shè)計意圖】使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，結(jié)合圓的定義回答出確定圓的兩個要素——圓心（定位）和半徑（定形）． 【設(shè)計說明】教師引導(dǎo)，學(xué)生回答． 問題4：在平面直角坐標(biāo)系中，直線可以用一個二元一次方程表示，圓也可以用一個方程來表示嗎？如果能，這個方程又有什么特征呢？ 【設(shè)計意圖】使學(xué)生在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，探索新知，引出本課題． 【設(shè)計說明】教師指出：建立圓的方程正是我們本節(jié)課要探究的問題．并板書本節(jié)課題：圓的標(biāo)準方程. 二、探究新知 問題5：類比直線點斜式方程的推導(dǎo)方法，你能否總結(jié)出求曲線的方程的一般步驟？ 師生共同回顧和探究：教師引導(dǎo)學(xué)生回答如何求曲線的方程． (1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意點M的坐標(biāo)； (2)寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)|}； (3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0； (4)化方程f(x,y)=0為最簡形式； (5)說明化簡后的方程就是所求曲線的方程． 其中步驟(1)(3)(4)必不可少.下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標(biāo)準方程． 【設(shè)計意圖】圓的標(biāo)準方程的推導(dǎo)是學(xué)生第一次接觸的曲線方程的推導(dǎo)問題，通過引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)曲線方程的推導(dǎo)步驟，提高學(xué)生對求曲線方程問題的理解. 【設(shè)計說明】系統(tǒng)總結(jié)求曲線方程的步驟，幫助學(xué)生掌握求圓的標(biāo)準方程的方法. 問題6：已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為（其中、、都是常數(shù)，），如何確定圓的方程？ 教師：對于這一問題而言？是否已經(jīng)建立了坐標(biāo)系？ 學(xué)生：已經(jīng)建立了坐標(biāo)系. 教師：設(shè)M(x,y)是圓上任意一點，根據(jù)圓的定義如何建立x,y滿足的關(guān)系式？ y x O A M 學(xué)生：寫出圓上的點的集合P={M||MC|=r}，利用兩點間的距離公式，寫出點M的坐標(biāo)適合的條件： ． 教師：如何進一步化簡上述關(guān)系式得出圓的方程？ 學(xué)生：學(xué)生自己化簡得出圓的方程為． 【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓的標(biāo)準方程，讓學(xué)生掌握圓的標(biāo)準方程的推導(dǎo)方法． 【設(shè)計說明】讓學(xué)生自己化簡得出結(jié)論便于學(xué)生理解記憶． 三、理解新知 圓的標(biāo)準方程：，其中圓心為，半徑為． 教師強調(diào)：熟記圓的標(biāo)準方程的結(jié)構(gòu)特點，并能觀察出圓心和半徑． 教師：那么確定圓的標(biāo)準方程需要幾個獨立條件？ 學(xué)生：只要、、三個量確定了且，圓的方程就給定了． 教師：圓心在原點圓的方程是什么？ 學(xué)生： 【設(shè)計意圖】便于學(xué)生理解掌握圓的標(biāo)準方程，為準確地運用新知，作必要的鋪墊． 【設(shè)計說明】學(xué)生自己歸納總結(jié)． 基礎(chǔ)檢測： 1. 圓的圓心A的坐標(biāo)為______,半徑為________. 2. 圓的圓心和半徑分別是？ 【設(shè)計意圖】熟練掌握圓的標(biāo)準方程與圓心坐標(biāo),半徑長的關(guān)系． 【設(shè)計說明】學(xué)生口答． 四、運用新知 例1.寫出圓心為,半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上． 分析：判斷圓心是否在圓上，可以從計算點到圓心的距離入手． 【設(shè)計意圖】圓的標(biāo)準方程的直接應(yīng)用，并會判斷點與圓的位置關(guān)系． 【設(shè)計說明】培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和良好的解題習(xí)慣． 探究：怎樣判斷點在圓上？圓內(nèi)？還是圓外？ （1），點在圓外; （2），點在圓上; （3），點在圓內(nèi). 【設(shè)計意圖】學(xué)生自己探討發(fā)現(xiàn)點與圓的位置關(guān)系的判定方法，從而歸納出下列結(jié)論． 【設(shè)計說明】培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力 練習(xí)： 1.點與圓的位置關(guān)系（ ） Ａ．在圓外 Ｂ．在圓上 Ｃ．在圓內(nèi) Ｄ．在圓上或圓外 2.求經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3)的圓的標(biāo)準方程． 3.求以點為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準方程． 【設(shè)計意圖】根據(jù)圓心和半徑熟練寫出圓的標(biāo)準方程． 【設(shè)計說明】學(xué)生爬黑板． 例2.的三個頂點的坐標(biāo)是，求它的外接圓的方程． 師生共同分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓．從圓的標(biāo)準方程 可知，要確定圓的標(biāo)準方程，可用待定系數(shù)法確定三個參數(shù)． 解法一：設(shè)所求圓的方程是 (1) 因為都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程（1）．于是 所以，的外接圓的方程為 ． 【設(shè)計意圖】掌握待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準方程． 【設(shè)計說明】學(xué)生自己運算解決． 教師：除上述方法求圓的標(biāo)準方程外還有沒有其它方法？ 教師畫圖引導(dǎo)． O x y L1 L2 M A B C D E 讓學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：還可利用幾何法求的外接圓的方程． 教師：確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大?。敲慈绾未_定圓心？ 學(xué)生探討發(fā)現(xiàn)：弦的垂直平分線與弦的垂直平分線的交點即為圓心． 教師：如何確定半徑？ 學(xué)生：圓心M與圓上任一點的距離即為半徑． 解法二：（師生共同完成） 因為，所以線段的中點的坐標(biāo)為，直線的斜率， 因此線段的垂直平分線的方程是 ， 即 ， 同理可得線段的垂直平分線的方程是 ． 圓心的坐標(biāo)是方程組 的解． 解此方程組，得 ， 所以圓心的坐標(biāo)是． 圓心的圓的半徑長 ． 所以，的外接圓的方程為 ． 總結(jié)歸納：（教師啟發(fā)，學(xué)生自己比較、歸納）比較例2得出外接圓的標(biāo)準方程的兩種求法： 方法一：代數(shù)法—待定系數(shù)法； 方法二：幾何法—數(shù)形結(jié)合． 【設(shè)計意圖】結(jié)合例2的理解，學(xué)生自己歸納出求任意三角形外接圓的標(biāo)準方程的兩種方法，并比較兩種方法的優(yōu)劣． 【設(shè)計說明】學(xué)生自己歸納總結(jié)． 練習(xí)：課本第120頁，例3（不看課本，結(jié)合例2的理解，學(xué)生自己解決例3） A B C D O x y l 已知圓心為的圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，求圓心為的圓的標(biāo)準方程． （給學(xué)生充分思考的時間，教師引導(dǎo)．） 教師：本題求圓的標(biāo)準方程，能否用上述兩種不同方法解決？ 學(xué)生：學(xué)生畫圖思考． 教師：找兩位同學(xué)分別用兩種不同的方法到黑板上解該題． 【設(shè)計意圖】結(jié)合對例2的理解，學(xué)生根據(jù)不同的條件，靈活適當(dāng)?shù)剡x取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的標(biāo)準方程，并比較兩種方法的優(yōu)劣． 【設(shè)計說明】學(xué)生爬黑板板書解題過程，以規(guī)范學(xué)生的解題步驟． 五、課堂小結(jié) 教師提問：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答： 1．知識：（1）圓的標(biāo)準方程及其結(jié)構(gòu)特點； 　　 （2）點與圓的位置關(guān)系的判定； 　　　?。?）求圓的標(biāo)準方程的方法：①待定系數(shù)法；②幾何法. 2．思想：數(shù)形結(jié)合的思想． 教師總結(jié): 圓的標(biāo)準方程的推導(dǎo)方法用到了前面學(xué)過的知識，提醒學(xué)生: 在學(xué)習(xí)新知時，也要經(jīng)常復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容,“溫故而知新”．在應(yīng)用中增強對知識的理解，及時查缺補漏,從而更好地運用知識,解題要有目的性，加強對數(shù)學(xué)知識、思想方法的認識與自覺運用． 【設(shè)計意圖】加強對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)． 六、布置作業(yè) 1．書面作業(yè) 必做題： P124習(xí)題4.1 A組 第2，3，4題 選做題： P124習(xí)題4.1 A組 第5題 2．課外思考 圓的標(biāo)準的方程形式是，該式展開后形式是什么？展開后的形式都表示圓嗎？ 【設(shè)計意圖】設(shè)計書面作業(yè)必做題，是引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)，再作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.書面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠根據(jù)不同的條件，靈活適當(dāng)?shù)剡x取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的標(biāo)準方程；選做題是鼓勵學(xué)有余力的同學(xué)進一步加深本節(jié)內(nèi)容的理解；課外思考的安排，是讓學(xué)生理解圓除了標(biāo)準形式，還有一般形式，起讓學(xué)生課下探索發(fā)現(xiàn)、預(yù)習(xí)新課的作用． 七、教后反思 1.本教案的亮點是圓的標(biāo)準方程的推導(dǎo)以及任意三角形外接圓的標(biāo)準方程的兩種方法的得出，都是在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上得到，不是生硬的拋出，而是水到渠成．例題也是變講為練，都是學(xué)生在獨立或小組討論中解決的，很好的調(diào)動學(xué)生的積極性與主動性，提高了學(xué)生的解題能力． 2.由于各校的情況不同，建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須在公式的推導(dǎo)過程上下足功夫． 3.本節(jié)課的弱項是課容量大，時間所限，在課堂上沒有充分暴露學(xué)生的思維過程，感覺一節(jié)課下來比較緊，學(xué)生理解不透徹． 八、板書設(shè)計 4.1.1 圓的標(biāo)準方程 一、知識點 1．圓的標(biāo)準方程的推導(dǎo)： 2．圓的標(biāo)準方程及結(jié)構(gòu)特征： 其中圓心為A(a,b)，半徑為r． 強調(diào)：（1）熟記圓的標(biāo)準方程的結(jié)構(gòu)特點； （2）確定圓的標(biāo)準方程的三個獨立條件—a，b，r； （3）特別地，圓心在原點圓的方程是： 3．點與圓的位置關(guān)系的判定方法： 二、應(yīng)用 例1. 練習(xí)：1． 2． 3． 例2. 解法一： 解法二： 練習(xí)：課本第120頁，例3 課堂小結(jié)：