2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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三反證法與放縮法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解反證法的理論依據(jù)，掌握反證法的基本步驟，會(huì)用反證法證明不等式.2.理解用放縮法證明不等式的原理，會(huì)用放縮法證明一些不等式知識(shí)點(diǎn)一反證法思考什么是反證法？用反證法證明時(shí)，導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能？答案(1)反證法就是在否定結(jié)論的前提下推出矛盾，從而說(shuō)明結(jié)論是正確的(2)矛盾可以是與已知條件矛盾，也可以是與已知的定義、定理矛盾梳理反證法(1)反證法的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立(2)反證法證明不等式的一般步驟：假設(shè)命題不成立；依據(jù)假設(shè)推理論證；推出矛盾以說(shuō)明假設(shè)不成立，從而斷定原命題成立知識(shí)點(diǎn)二放縮法思考放縮法是證明不等式的一種特有的方法，那么放縮法的原理是什么？答案不等式的傳遞性；等量加(減)不等量為不等量梳理放縮法(1)放縮法證明的定義證明不等式時(shí)，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的這種方法稱(chēng)為放縮法(2)放縮法的理論依據(jù)不等式的傳遞性等量加(減)不等量為不等量同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較類(lèi)型一反證法證明不等式例1設(shè)a0，b0，且ab，證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立證明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1可知，ab22，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)等號(hào)成立(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立，則由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立反思與感悟當(dāng)待證不等式的結(jié)論為否定性命題時(shí)，常用反證法來(lái)證明，對(duì)結(jié)論的否定要全面不能遺漏，最后的結(jié)論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設(shè)矛盾跟蹤訓(xùn)練1設(shè)0a2,0b2,0c2，求證：(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能都大于1.證明假設(shè)(2a)c，(2b)a，(2c)b都大于1，即(2a)c1，(2b)a1，(2c)b1，則(2a)c(2b)a(2c)b1，(2a)(2b)(2c)abc1.0a2,0b2,0c2，(2a)a21，同理(2b)b1，(2c)c1，(2a)a(2b)b(2c)c1，(2a)(2b)(2c)abc1，這與式矛盾(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能都大于1.例2已知f(x)x2pxq，求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|2，而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，矛盾，|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.反思與感悟(1)當(dāng)欲證明的結(jié)論中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時(shí)，若正面難以找到解題的突破口，可轉(zhuǎn)換視角，用反證法證明(2)在用反證法證明的過(guò)程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過(guò)程中必須使用這個(gè)增加的條件，否則將無(wú)法推出矛盾跟蹤訓(xùn)練2若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x，求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于零證明假設(shè)a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，則abc0，而abcx22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)23，30，且(x1)2(y1)2(z1)20，abc0，這與abc0矛盾，因此假設(shè)不成立a，b，c中至少有一個(gè)大于0.類(lèi)型二放縮法證明不等式例3已知實(shí)數(shù)x，y，z不全為零，求證：(xyz)證明x.同理可得y，z.由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號(hào)，所以三式相加，得(xyz)反思與感悟(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點(diǎn)及已知條件(條件不等式)，謹(jǐn)慎地采取措施，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會(huì)導(dǎo)致推證的失敗(2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換成較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的跟蹤訓(xùn)練3求證：12(nN且n2)證明k(k1)k2k(k1)(kN且k2)，即(kN且k2)分別令k2,3，n，得1，將這些不等式相加，得1，即1，1111，即12(nN且n2)成立.1用放縮法證明不等式時(shí)，下列各式正確的是()A.B.Cx2x3x23D|a1|a|1答案D解析對(duì)于A，x的正、負(fù)不定；對(duì)于B，m的正、負(fù)不定；對(duì)于C，x的正、負(fù)不定；對(duì)于D，由絕對(duì)值三角不等式知，D正確2用反證法證明命題“a，b，c全為0”時(shí)，其假設(shè)為()Aa，b，c全不為0Ba，b，c至少有一個(gè)為0Ca，b，c至少有一個(gè)不為0Da，b，c至多有一個(gè)不為0答案C3如果abab，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是_答案a0，b0，ab解析由及知a0，b0，又abab，即()2()0.ab，a0，b0，ab.4已知0a3,0b3,0c3.求證：a(3b)，b(3c)，c(3a)不可能都大于.證明假設(shè)a(3b)，b(3c)，c(3a).因?yàn)閍，b，c均為小于3的正數(shù)，所以，從而有.但是.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，中取等號(hào)顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題得證1常見(jiàn)的涉及反證法的文字語(yǔ)言及其相對(duì)應(yīng)的否定假設(shè)常見(jiàn)詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)唯一一個(gè)不是不可能全都是否定假設(shè)一個(gè)也沒(méi)有有兩個(gè)或兩個(gè)以上沒(méi)有或有兩個(gè)或兩個(gè)以上是有或存在不全不都是2.放縮法證明不等式常用的技巧(1)增項(xiàng)或減項(xiàng)(2)在分式中增大或減小分子或分母(3)應(yīng)用重要不等式放縮，如a2b22ab，ab2，(a，b，c0)(4)利用函數(shù)的單調(diào)性等一、選擇題1P(a，b，c均為正數(shù))與3的大小關(guān)系為()AP3BP3CP3DP3答案C解析P3.2設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，ax，by，cz，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A至少有一個(gè)不大于2B都小于2C至少有一個(gè)不小于2D都大于2答案C解析假設(shè)a，b，c都小于2，則abc6，又abcxyz6，與abc6矛盾所以a，b，c至少有一個(gè)不小于2.A、B、D可用特殊值法排除故選C.3已知a0，b0，c0，且a2b2c2，則anbn與cn(n3，nN)的大小關(guān)系為()AanbncnBanbncnCanbncnDanbncn答案B解析a2b2c2，221，01,01，yx，yx均為減函數(shù)當(dāng)n3時(shí)，有n2，n2，nn221，anbncn.4設(shè)x0，y0，A，B，則A與B的大小關(guān)系為()AABBABCABDAB答案D解析x0，y0，AB.5對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與ab及ac中至少有一個(gè)成立；ac，bc，ab不能同時(shí)成立其中判斷正確的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3答案C解析對(duì)于，假設(shè)(ab)2(bc)2(ca)20，這時(shí)abc，與已知矛盾，故(ab)2(bc)2(ca)20，故正確；對(duì)于，假設(shè)ab與ab及ac都不成立，這時(shí)abc，與已知矛盾，故ab與ab及ac中至少有一個(gè)成立，故正確；對(duì)于，顯然不正確6設(shè)a，b，c是正數(shù)，Pabc，Qbca，Rcab，則“PQR0”是“P，Q，R同時(shí)大于零”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析必要性顯然成立充分性：若PQR0，則P，Q，R同時(shí)大于零或其中有兩個(gè)負(fù)的，假設(shè)其中有兩個(gè)負(fù)的成立，不妨設(shè)P0，Q0，R0，因?yàn)镻0，Q0，即abc，bca.所以abbcca.所以b0，與b0矛盾，故假設(shè)不成立，故充分性成立二、填空題7若A，則A與1的大小關(guān)系為_(kāi)答案A1解析A1.共210個(gè)8用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：則ABC9090C180，這與三角形的內(nèi)角和為180矛盾，故結(jié)論錯(cuò)誤所以一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)直角假設(shè)ABC有兩個(gè)直角，不妨設(shè)AB90.上述步驟的正確順序是_答案解析由反證法的證明題步驟可知，正確順序應(yīng)該是.9已知aR，則，從大到小的順序?yàn)開(kāi)答案解析因?yàn)?，2，所以22，所以 .10某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題：函數(shù)f(x)在0,1上有意義，且f(0)f(1)，如果對(duì)于不同的x1，x20,1，滿(mǎn)足|f(x1)f(x2)|x1x2|，求證：|f(x1)f(x2)|，那么它的反設(shè)應(yīng)該是_答案存在x1，x20,1且x1x2滿(mǎn)足|f(x1)f(x2)|x1x2|，使|f(x1)f(x2)|成立三、解答題11實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足abcd1，且acbd1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)，證明假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)由abcd1知，a，b，c，d0,1從而ac，bd，acbd1，即acbd1，與已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)12設(shè)n是正整數(shù)，求證：1.證明由2nnkn(k1,2，n)，得，當(dāng)k1時(shí)，當(dāng)k2時(shí)，當(dāng)kn時(shí)，1.原不等式成立13設(shè)a，bR,0x1,0y1，求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b必存在滿(mǎn)足條件的x，y，使|xyaxby|成立證明假設(shè)對(duì)一切0x1,0y1，結(jié)論不成立，則有|xyaxby|.令x0，y1，得|b|；令x1，y0，得|a|；令xy1，得|1ab|.又|1ab|1|a|b|1，這與上式矛盾故假設(shè)不成立，原命題結(jié)論正確四、探究與拓展14完成反證法證題的全過(guò)程題目：設(shè)a1，a2，a7是由數(shù)字1,2，7任意排成的一個(gè)數(shù)列，求證：乘積p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù)證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因?yàn)?個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有(a11)(a22)(a77)為_(kāi)而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.與矛盾，故p為偶數(shù)答案a11，a22，a77奇數(shù)0解析由假設(shè)p為奇數(shù)可知，(a11)，(a22)，(a77)均為奇數(shù)，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)相矛盾15已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，an13an1.(1)證明：是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明：.證明(1)由an13an1，得an13.又a1，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列所以an，因此an的通項(xiàng)公式為an.(2)由(1)知，因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n123n1，所以.于是1.所以.