2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 講明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

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三 反證法與放縮法1反證法(1)反證法證明的定義：先假設要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不成立，從而證明原命題成立(2)反證法證明不等式的一般步驟： 假設命題不成立；依據(jù)假設推理論證；推出矛盾以說明假設不成立，從而斷定原命題成立2放縮法(1)放縮法證明的定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的(2)放縮法的理論依據(jù)有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量；同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較利用反證法證明問題例1已知f(x)x2pxq.求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.思路點撥“至少有一個”的反面是“一個也沒有”證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|1,4b(1c)1,4c(1d)1，4d(1a)1，則有a(1b)，b(1c)，c(1d)，d(1a).，.又，.將上面各式相加得22，矛盾4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)這四個數(shù)不可能都大于1.3已知函數(shù)yf(x)在R上是增函數(shù)，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求證：ab.證明：假設ab.當ab時，ab則有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾當ab時，af(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾故假設不成立故a(xyz)思路點撥解答本題可對根號內的式子進行配方后再用放縮法證明證明 x.同理可得 y，z，由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加得：(xyz)(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點及已知條件(條件不等式)，審慎地采取措施，進行恰當?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導致推證的失敗(2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項或負項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項或某項換以較大或較小的數(shù)，從而達到證明不等式的目的4已知a，b是正實數(shù)，且ab1，求證：.證明：因為，所以原不等式得證5已知nN，求證：2.證明：因為，所以n2n，又因為n2n6，a，b，c均小于0，a2，b2，c2，abc6，這與假設矛盾，則選C.5M與1的大小關系為_解析：M1，即M1.共210項答案：M1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)證明：假設a，b，c，d都是非負數(shù)由abcd1，知a，b，c，d0,1從而ac，bd.acbd1.即acbd1.與已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)9求證：2.證明：因為，所以1122.10已知， 且sin()2sin .求證，則sin cos cos sin 2sin ，所以cos sin (2cos )sin ，即.因為，且，所以sin sin .從而1，即cos 2cos ，即cos cos 2，這是不可能的，所以不成立由可知假設不成立，故原結論成立