2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題33 多角度破解多變元范圍問題.doc

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專題33 多角度破解多變元范圍問題 【熱點聚焦與擴展】 在近幾年的高考題目中，有些多變元（量）確定范圍問題，一般地可利用已知條件進行消元，從而將多變量表達式轉(zhuǎn)化為一元表達式，便于求得范圍（最值），且消元的方法較多.另外，某些題目也可以利用數(shù)形結(jié)合法求解.本專題重點說明從消元、數(shù)形結(jié)合等角度解答此類問題. （一）消元法： 1、消元的目的：若表達式所含變量個數(shù)較多，則表達式的范圍不易確定（會受多個變量的取值共同影響），所以如果題目條件能夠提供減少變量的方式，則通常利用條件減少變量的個數(shù)，從而有利于求表達式的范圍（或最值），消元最理想的狀態(tài)是將多元表達式轉(zhuǎn)為一元表達式，進而可構(gòu)造函數(shù)求得值域 2、常見消元的方法： （1）利用等量關(guān)系消元：若題目中出現(xiàn)了變量間的關(guān)系（等式），則可利用等式進行消元，在消元的過程中要注意以下幾點： ① 要確定主元：主元的選取有這樣幾個要點：一是主元應該有比較明確的范圍（即稱為函數(shù)的定義域）；二是構(gòu)造出的函數(shù)能夠解得值域（函數(shù)結(jié)構(gòu)不復雜） ② 若被消去的元帶有范圍，則這個范圍由主元承擔.例如選擇為主元，且有，則除了滿足自身的范圍外，還要滿足（即解不等式） （2）換元：常見的換元有兩種： ①整體換元：若多元表達式可通過變形，能夠?qū)⒛骋粋€含多變量的式子視為一個整體，則可通過換元轉(zhuǎn)為一元表達式，常見的如等，例如在中，可變形為，設，則將問題轉(zhuǎn)化為求的值域問題 注：在整體換元過程中要注意視為整體的式子是否存在范圍，即要確定新元的范圍 ②三角換元：已知條件為關(guān)于的二次等式時，可聯(lián)想到三角公式，從而將的表達式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達式來求得范圍.因為三角函數(shù)公式的變形與多項式變形的公式不同，所以在有些題目中可巧妙的解決問題，常見的三角換元有： 平方和：聯(lián)想到正余弦平方和等于1，從而有： 推廣： 平方差：聯(lián)想到正割（） 與正切（）的平方差為1，則有， 推廣： 注：若有限定范圍時，要注意對取值的影響，一般地，若的取值范圍僅僅以象限為界，則可用對應象限角的取值刻畫的范圍 3、消元后一元表達式的范圍求法： （1）函數(shù)的值域——通過常見函數(shù)，或者利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)值域 （2）均值不等式：若表達式可構(gòu)造出具備使用均值不等式（等）的條件，則可利用均值不等式快速得到最值. （3）三角函數(shù)： ① 形如的形式：則可利用公式轉(zhuǎn)化為的形式解得值域（或最值） ② 形如：則可通過換元將其轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)函數(shù)進行求解 ③ 形如：，可聯(lián)想到此式為點和定點連線的斜率，其中為單位圓上的點，通過數(shù)形結(jié)合即可解得分式范圍 （二）放縮消元法 1、放縮法求最值的理論基礎： 不等式的傳遞性：若，則 2、常見的放縮消元手段： （1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個變量間的不等關(guān)系，則可利用這個關(guān)系進行放縮消元 （2）配方法：通過利用“完全平方式非負”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式，然后令其等于0，達到消元的效果 （3）均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達到消元的效果 （4）主元法：將多元表達式視為某個變量（即主元）的函數(shù)，剩下的變量視為常數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達到消元的效果. 3、放縮消元過程中要注意的地方： （1）在放縮過程中應注意所求最值與不等號方向的對應關(guān)系，例如：若求最小值，則對應的不等號為“”；若求最大值，則對應的不等號為“”.放縮的方向應與不等號的方向一致 （2）對進行放縮消元后的式子，要明確是求其最大值還是最小值.放縮法求最值的基礎是不等式的傳遞性，所以在求最值時要滿足其不等號的方向一致.若將關(guān)于 的表達式進行放縮消去，得到，例如，則下一步需要求出的最小值（記為），即，通過不等式的傳遞性即可得到.同理，若放縮后得到：，則需要求出的最大值（記為），即，然后通過不等式的傳遞性得到 （3）在放縮的過程中，要注意每次放縮時等號成立的條件能夠同時成立，從而保證在不等式中等號能夠一直傳遞下去 （三）數(shù)形結(jié)合法 1、數(shù)形結(jié)合的適用范圍： （1）題目條件中含有多個不等關(guān)系，經(jīng)過分析后可得到關(guān)于兩個變量的不等式組 （2）所求的表達式具備一定的幾何意義（截距，斜率，距離等） 2、如果滿足以上情況，則可以考慮利用數(shù)形結(jié)合的方式進行解決 3、高中知識中的“線性規(guī)劃”即為數(shù)形結(jié)合求多變量表達式范圍的一種特殊情形，其條件與所求為雙變量的一次表達式 4、有些利用數(shù)形結(jié)合解決的題目也可以使用放縮消元的方式進行處理，這要看所給的不等條件（尤其是不等號方向）是否有利于進行放縮. 【經(jīng)典例題】 例1. 已知函數(shù)，對任意的，存在，使得，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知，可得：，考慮進行代入消元，但所給等式中無論用哪個字母表示另一個字母，形式都比較復雜不利于求出最值.所以可以考慮引入新變量作為橋梁，分別表示， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 答案：D. 例2. 若實數(shù)滿足條件，則的取值范圍是_________ 【答案】 【解析】思路一：考慮所求式子中可變?yōu)?，所以原式變形為：，可視為關(guān)于的二次函數(shù)，設，其幾何含義為與連線的斜率，則由雙曲線性質(zhì)可知該斜率的絕對值小于漸近線的斜率，即，則 思路二：本題也可以考慮利用三角換元.設，從而原式轉(zhuǎn)化為：，由可知的范圍為 答案： 例3. 對于，當非零實數(shù)滿足且使最大時，的最小值是________ 【答案】 【解析】思路：首先要尋找當最大時，之間的關(guān)系，以便于求多元表達式的范圍 從方程入手，向靠攏進行變形，在利用取得最大值時的關(guān)系對所求進行消元求最值. （等號成立條件： 最大值是，從而可得： 解得： 答案：的最小值為 例4. 設實數(shù)滿足，則的取值范圍是__________ 【答案】 點睛：1.（*）為均值不等式的變形： ； 2.主元變?yōu)閍. 例5.【2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研（二）】已知為正實數(shù)，且，則的最小值為____． 【答案】. 【解析】分析：先通過結(jié)合基本不等式求出，再開方得到的最小值. 詳解：由題得， 代入已知得， 兩邊除以得 當且僅當ab=1時取等. 所以 即的最小值為. 故答案為： 點睛：本題的難點在要考慮到通過變形轉(zhuǎn)化得到，再想到兩邊除以得，重點考查學生的邏輯分析推理轉(zhuǎn)化的能力. 例6.設集合中的最大元素與最小元素分別為，則的值為____________ 【答案】 例7．設實數(shù)滿足，則的最大值為__________ 【答案】 【解析】思路：由可聯(lián)想到與的關(guān)系，即，所以，然后可利用進一步放縮消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值為，其中等號成立條件為： 答案： 點睛：本題也可從入手，進行三角換元：，由可得，然后根據(jù)不等號的方向進行連續(xù)放縮，消去 即可得到最值： . 例8. 設，且，則的最大值是____________ 【答案】12 【解析】思路：本題雖然有3個變量，但可通過進行消元，觀察所求式子項的次數(shù)可知消去更方便，從而可得.然后可使用“主元法”進行處理，將視為主元， 設 為的極小值點 其中 設 若 可得： . 例9.【2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研（二）】已知函數(shù)若存在實數(shù)，滿足，則的最大值是____． 【答案】. ∵存在實數(shù)a＜b＜c，滿足f（a）=f（b）=f（c）， ∴a+b=﹣6， ∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc， 由函數(shù)圖象可知：＜c＜e2， 設g（c）=（c﹣6）lnc，則=lnc+1﹣， 顯然在（，e2]上單調(diào)遞增， ∵=2﹣＜0，=3﹣＞0， ∴在（，e2]上存在唯一一個零點，不妨設為c0， 在g（c）在（，c0）上單調(diào)遞減，在（c0，e2]上單調(diào)遞增， 又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0， ∴g（c）的最大值為g（e2）=2e2﹣12． 故答案為：2e2﹣12 點睛: （1）本題有三個關(guān)鍵點,其一是能夠很熟練準確地畫出函數(shù)的圖像；其二是從圖像里能發(fā)現(xiàn)a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能夠想到構(gòu)造函數(shù)g（c）=（c﹣6）lnc，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.（2）本題要求函數(shù)的圖像和性質(zhì)掌握的比較好，屬于中檔題. 例10.【2018屆衡水金卷信息卷四】已知函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且實數(shù)， 滿足不等式，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 又的幾何意義是表示平面區(qū)域內(nèi)的動點Q(a,b)與定點P(2,3)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合易知最大， 最小，由方程組 所以的取值范圍為，故選C. 點睛：本題的難點在于能夠數(shù)形結(jié)合，看到不等式要聯(lián)想到二元一次不等式對應的平面區(qū)域，看到不等式要聯(lián)想到二次不等式對應的曲線區(qū)域.如果這個地方不能想到數(shù)形結(jié)合，本題突破就不容易.數(shù)學的觀察想象是數(shù)學能力的一個重要部分,在平時的學習中,要有意識的培養(yǎng)和運用. 【精選精練】 1．【2018屆四川省綿陽市三診】若曲線的一條切線是，則的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 2.【2018屆安徽省“皖南八?！钡谌危?月）聯(lián)考】已知函數(shù)，若滿足，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由已知條件可得，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，從而將題中的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二元一次不等式組，畫出相應的可行域，之后結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義，確定最優(yōu)解的位置，從而求得范圍. 最小值，在點處取得最大值，而邊界值取不到，故答案是，故選C. 點睛：該題屬于利用題的條件，求得約束條件，確定可行域，結(jié)合目標函數(shù)是分式形式的，屬于斜率型的，結(jié)合圖形，求得結(jié)果. 3．【2018屆東北三省三校（哈爾濱師范大學附屬中學）三?！恳阎瘮?shù) ，函數(shù) 有四個不同的零點，從小到大依次為 ， ， ， ，則 的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)對稱性可得，且，，再根據(jù)韋達定理可得，利用基本不等式，結(jié)合選項可得結(jié)果. 詳解： 函數(shù) ，函數(shù) 的零點， 就是的圖象與交點的橫坐標， 是方程的兩根， 關(guān)于對稱， ，且，， ， ，只有選項符合題意，故選A. 點睛：本題主要考查函數(shù)的零點、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及基本不等式求最值，屬于難題. 函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)有零點函數(shù)在軸有交點方程有根函數(shù)與有交點. 4．【遼寧省部分重點中學協(xié)作體2018年高三模擬】直線與圓有公共點，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】分析：由可得，換元、配方后利用二次函數(shù)求解即可. 詳解：因為直線與圓有公共點， 設，則， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得時，，故選B. 點睛：本題主要考查曲直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求范圍，首先確定函數(shù)的定義域，然后準確地找出其單調(diào)區(qū)間 ，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的最值即可. 5．【2018屆山西省榆社中學診斷】設函數(shù)，若互不相等的實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：不失一般性可設，利用，結(jié)合圖象可得的范圍及，，將所求式子轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，運用對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍. ，則的范圍是，故選B． 點睛：本題考查函數(shù)式取值范圍的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應用． 6．【2018屆安徽省“皖南八?！钡谌危?月）聯(lián)考】若均為任意實數(shù)，且，則 的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：該題可以看做是圓上的動點到曲線上的動點的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動點的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個點應該滿足與圓心的連線與曲線在該點的切線垂直的問題來解決，從而求得切點坐標，即滿足條件的點，代入求得結(jié)果. 詳解：由題意可得，其結(jié)果應為曲線上的點與以為圓心，以為半徑的圓上的點的距離的平 點睛：解決該題的關(guān)鍵是分析清式子代表的意義，再者就是什么時候滿足距離最小，之后應用導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，應用兩點斜率坐標公式求得直線的斜率，兩條直線垂直，斜率乘積等于-1.從而求得結(jié)果. 7．【2018屆四川省南充市高三第三次聯(lián)合診】已知函數(shù)的兩個極值分別為， ，若， 分別在區(qū)間與內(nèi)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)導函數(shù)的兩個根的分布建立a、b的約束條件，然后利用線性規(guī)劃的方法求出目標函數(shù)的取值范圍即可． 詳解：∵函數(shù) ∴的兩個根為， ， ∵， 分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi) ∴? 做出可行域如圖所示，令，平移直線. 經(jīng)過點A(-1,0)時， 最小為：2；經(jīng)過點B(-3,1)時，z最大為：7 ∴b?2a∈(2,7)， 故選A. 點睛：解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)根的分布問題，對于二次函數(shù)的研究一般從以幾個方面研究： 一是，開口； 二是，對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系； 三是，判別式，決定于x軸的交點個數(shù)； 四是，區(qū)間端點值. 8．【2018屆華大新高考聯(lián)盟4月檢測】對，，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 上恒成立，即函數(shù)在 上單調(diào)遞增，則的最小值為. 故選C. 9．【2018屆高三下學期第二次調(diào)研】已知函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為2，則的最小值是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 【答案】B 所以的最小值為，故選B. 10．【2018屆陜西省延安市高三高考模擬】已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為__________． 【答案】9 【解析】試題分析：已知函數(shù)的表達式，可求出再根據(jù)1 的妙用，為乘以，最終應用均值不等式求得最值. 詳解：已知函數(shù)，，,,所以，則+ 點睛：這個題目考查了分段函數(shù)的性質(zhì)及應用，以及雙變量的最值求法，即均值不等式中1的妙用.解決二元最值或者范圍問題，常用的方法有：不等式的應用，線規(guī)的應用，二元化一元等方法. 11．【2018屆浙江省寧波市高三5月模擬】已知實數(shù)滿足：， .則的最小值為______． 【答案】6. 【解析】分析: 不妨設是中的最小者，即，把已知轉(zhuǎn)化為， 且，.再利用一元二次方程的根來分析求的最小值. 又當,時，滿足題意. 故中最小者的最大值為.　(1)　　　　　　　 因為，所以為全小于0或一負二正. 1)若為全小于0，則由（1）知，中的最小者不大于，這與矛盾. 2）若為一負二正，設，則 當,時， 滿足題設條件且使得不等式等號成立． 故的最小值為6. 點睛：本題解題的關(guān)鍵難在轉(zhuǎn)化，先要消元，通過已知的分析轉(zhuǎn)化得到b+c的表達式和a的范圍，再利用函數(shù)分析求的最小值. 12.【2018年4月2018屆高三第二次全國大聯(lián)考】已知函數(shù)的定義域為,值域為,則的值為___________. 【答案】 【解析】因為,所以,所以.①當時,由題意,得,即,兩式相減并化簡得,又因為,所以此時不存在滿足條件的；②當滿足條件的唯一,所以.