2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題33 多角度破解多變元范圍問題.doc

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專題33 多角度破解多變元范圍問題 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 在近幾年的高考題目中，有些多變元（量）確定范圍問題，一般地可利用已知條件進(jìn)行消元，從而將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元表達(dá)式，便于求得范圍（最值），且消元的方法較多.另外，某些題目也可以利用數(shù)形結(jié)合法求解.本專題重點(diǎn)說明從消元、數(shù)形結(jié)合等角度解答此類問題. （一）消元法： 1、消元的目的：若表達(dá)式所含變量個(gè)數(shù)較多，則表達(dá)式的范圍不易確定（會受多個(gè)變量的取值共同影響），所以如果題目條件能夠提供減少變量的方式，則通常利用條件減少變量的個(gè)數(shù)，從而有利于求表達(dá)式的范圍（或最值），消元最理想的狀態(tài)是將多元表達(dá)式轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，進(jìn)而可構(gòu)造函數(shù)求得值域 2、常見消元的方法： （1）利用等量關(guān)系消元：若題目中出現(xiàn)了變量間的關(guān)系（等式），則可利用等式進(jìn)行消元，在消元的過程中要注意以下幾點(diǎn)： ① 要確定主元：主元的選取有這樣幾個(gè)要點(diǎn)：一是主元應(yīng)該有比較明確的范圍（即稱為函數(shù)的定義域）；二是構(gòu)造出的函數(shù)能夠解得值域（函數(shù)結(jié)構(gòu)不復(fù)雜） ② 若被消去的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān).例如選擇為主元，且有，則除了滿足自身的范圍外，還要滿足（即解不等式） （2）換元：常見的換元有兩種： ①整體換元：若多元表達(dá)式可通過變形，能夠?qū)⒛骋粋€(gè)含多變量的式子視為一個(gè)整體，則可通過換元轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，常見的如等，例如在中，可變形為，設(shè)，則將問題轉(zhuǎn)化為求的值域問題 注：在整體換元過程中要注意視為整體的式子是否存在范圍，即要確定新元的范圍 ②三角換元：已知條件為關(guān)于的二次等式時(shí)，可聯(lián)想到三角公式，從而將的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式來求得范圍.因?yàn)槿呛瘮?shù)公式的變形與多項(xiàng)式變形的公式不同，所以在有些題目中可巧妙的解決問題，常見的三角換元有： 平方和：聯(lián)想到正余弦平方和等于1，從而有： 推廣： 平方差：聯(lián)想到正割（） 與正切（）的平方差為1，則有， 推廣： 注：若有限定范圍時(shí)，要注意對取值的影響，一般地，若的取值范圍僅僅以象限為界，則可用對應(yīng)象限角的取值刻畫的范圍 3、消元后一元表達(dá)式的范圍求法： （1）函數(shù)的值域——通過常見函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)值域 （2）均值不等式：若表達(dá)式可構(gòu)造出具備使用均值不等式（等）的條件，則可利用均值不等式快速得到最值. （3）三角函數(shù)： ① 形如的形式：則可利用公式轉(zhuǎn)化為的形式解得值域（或最值） ② 形如：則可通過換元將其轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行求解 ③ 形如：，可聯(lián)想到此式為點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率，其中為單位圓上的點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合即可解得分式范圍 （二）放縮消元法 1、放縮法求最值的理論基礎(chǔ)： 不等式的傳遞性：若，則 2、常見的放縮消元手段： （1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個(gè)變量間的不等關(guān)系，則可利用這個(gè)關(guān)系進(jìn)行放縮消元 （2）配方法：通過利用“完全平方式非負(fù)”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式，然后令其等于0，達(dá)到消元的效果 （3）均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達(dá)到消元的效果 （4）主元法：將多元表達(dá)式視為某個(gè)變量（即主元）的函數(shù)，剩下的變量視為常數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達(dá)到消元的效果. 3、放縮消元過程中要注意的地方： （1）在放縮過程中應(yīng)注意所求最值與不等號方向的對應(yīng)關(guān)系，例如：若求最小值，則對應(yīng)的不等號為“”；若求最大值，則對應(yīng)的不等號為“”.放縮的方向應(yīng)與不等號的方向一致 （2）對進(jìn)行放縮消元后的式子，要明確是求其最大值還是最小值.放縮法求最值的基礎(chǔ)是不等式的傳遞性，所以在求最值時(shí)要滿足其不等號的方向一致.若將關(guān)于 的表達(dá)式進(jìn)行放縮消去，得到，例如，則下一步需要求出的最小值（記為），即，通過不等式的傳遞性即可得到.同理，若放縮后得到：，則需要求出的最大值（記為），即，然后通過不等式的傳遞性得到 （3）在放縮的過程中，要注意每次放縮時(shí)等號成立的條件能夠同時(shí)成立，從而保證在不等式中等號能夠一直傳遞下去 （三）數(shù)形結(jié)合法 1、數(shù)形結(jié)合的適用范圍： （1）題目條件中含有多個(gè)不等關(guān)系，經(jīng)過分析后可得到關(guān)于兩個(gè)變量的不等式組 （2）所求的表達(dá)式具備一定的幾何意義（截距，斜率，距離等） 2、如果滿足以上情況，則可以考慮利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決 3、高中知識中的“線性規(guī)劃”即為數(shù)形結(jié)合求多變量表達(dá)式范圍的一種特殊情形，其條件與所求為雙變量的一次表達(dá)式 4、有些利用數(shù)形結(jié)合解決的題目也可以使用放縮消元的方式進(jìn)行處理，這要看所給的不等條件（尤其是不等號方向）是否有利于進(jìn)行放縮. 【經(jīng)典例題】 例1. 已知函數(shù)，對任意的，存在，使得，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知，可得：，考慮進(jìn)行代入消元，但所給等式中無論用哪個(gè)字母表示另一個(gè)字母，形式都比較復(fù)雜不利于求出最值.所以可以考慮引入新變量作為橋梁，分別表示， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 答案：D. 例2. 若實(shí)數(shù)滿足條件，則的取值范圍是_________ 【答案】 【解析】思路一：考慮所求式子中可變?yōu)?，所以原式變形為：，可視為關(guān)于的二次函數(shù)，設(shè)，其幾何含義為與連線的斜率，則由雙曲線性質(zhì)可知該斜率的絕對值小于漸近線的斜率，即，則 思路二：本題也可以考慮利用三角換元.設(shè)，從而原式轉(zhuǎn)化為：，由可知的范圍為 答案： 例3. 對于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)滿足且使最大時(shí)，的最小值是________ 【答案】 【解析】思路：首先要尋找當(dāng)最大時(shí)，之間的關(guān)系，以便于求多元表達(dá)式的范圍 從方程入手，向靠攏進(jìn)行變形，在利用取得最大值時(shí)的關(guān)系對所求進(jìn)行消元求最值. （等號成立條件： 最大值是，從而可得： 解得： 答案：的最小值為 例4. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是__________ 【答案】 點(diǎn)睛：1.（*）為均值不等式的變形： ； 2.主元變?yōu)閍. 例5.【2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研（二）】已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為____． 【答案】. 【解析】分析：先通過結(jié)合基本不等式求出，再開方得到的最小值. 詳解：由題得， 代入已知得， 兩邊除以得 當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時(shí)取等. 所以 即的最小值為. 故答案為： 點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在要考慮到通過變形轉(zhuǎn)化得到，再想到兩邊除以得，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯分析推理轉(zhuǎn)化的能力. 例6.設(shè)集合中的最大元素與最小元素分別為，則的值為____________ 【答案】 例7．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________ 【答案】 【解析】思路：由可聯(lián)想到與的關(guān)系，即，所以，然后可利用進(jìn)一步放縮消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值為，其中等號成立條件為： 答案： 點(diǎn)睛：本題也可從入手，進(jìn)行三角換元：，由可得，然后根據(jù)不等號的方向進(jìn)行連續(xù)放縮，消去 即可得到最值： . 例8. 設(shè)，且，則的最大值是____________ 【答案】12 【解析】思路：本題雖然有3個(gè)變量，但可通過進(jìn)行消元，觀察所求式子項(xiàng)的次數(shù)可知消去更方便，從而可得.然后可使用“主元法”進(jìn)行處理，將視為主元， 設(shè) 為的極小值點(diǎn) 其中 設(shè) 若 可得： . 例9.【2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研（二）】已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是____． 【答案】. ∵存在實(shí)數(shù)a＜b＜c，滿足f（a）=f（b）=f（c）， ∴a+b=﹣6， ∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc， 由函數(shù)圖象可知：＜c＜e2， 設(shè)g（c）=（c﹣6）lnc，則=lnc+1﹣， 顯然在（，e2]上單調(diào)遞增， ∵=2﹣＜0，=3﹣＞0， ∴在（，e2]上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為c0， 在g（c）在（，c0）上單調(diào)遞減，在（c0，e2]上單調(diào)遞增， 又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0， ∴g（c）的最大值為g（e2）=2e2﹣12． 故答案為：2e2﹣12 點(diǎn)睛: （1）本題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),其一是能夠很熟練準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖像；其二是從圖像里能發(fā)現(xiàn)a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能夠想到構(gòu)造函數(shù)g（c）=（c﹣6）lnc，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.（2）本題要求函數(shù)的圖像和性質(zhì)掌握的比較好，屬于中檔題. 例10.【2018屆衡水金卷信息卷四】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且實(shí)數(shù)， 滿足不等式，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 又的幾何意義是表示平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)Q(a,b)與定點(diǎn)P(2,3)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合易知最大， 最小，由方程組 所以的取值范圍為，故選C. 點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于能夠數(shù)形結(jié)合，看到不等式要聯(lián)想到二元一次不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，看到不等式要聯(lián)想到二次不等式對應(yīng)的曲線區(qū)域.如果這個(gè)地方不能想到數(shù)形結(jié)合，本題突破就不容易.數(shù)學(xué)的觀察想象是數(shù)學(xué)能力的一個(gè)重要部分,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,要有意識的培養(yǎng)和運(yùn)用. 【精選精練】 1．【2018屆四川省綿陽市三診】若曲線的一條切線是，則的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 2.【2018屆安徽省“皖南八?！钡谌危?月）聯(lián)考】已知函數(shù)，若滿足，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由已知條件可得，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，從而將題中的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二元一次不等式組，畫出相應(yīng)的可行域，之后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定最優(yōu)解的位置，從而求得范圍. 最小值，在點(diǎn)處取得最大值，而邊界值取不到，故答案是，故選C. 點(diǎn)睛：該題屬于利用題的條件，求得約束條件，確定可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)是分式形式的，屬于斜率型的，結(jié)合圖形，求得結(jié)果. 3．【2018屆東北三省三校（哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)）三?！恳阎瘮?shù) ，函數(shù) 有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為 ， ， ， ，則 的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)對稱性可得，且，，再根據(jù)韋達(dá)定理可得，利用基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果. 詳解： 函數(shù) ，函數(shù) 的零點(diǎn)， 就是的圖象與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 是方程的兩根， 關(guān)于對稱， ，且，， ， ，只有選項(xiàng)符合題意，故選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及基本不等式求最值，屬于難題. 函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點(diǎn)問題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)在軸有交點(diǎn)方程有根函數(shù)與有交點(diǎn). 4．【遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2018年高三模擬】直線與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】分析：由可得，換元、配方后利用二次函數(shù)求解即可. 詳解：因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)， 設(shè)，則， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，，故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查曲直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求范圍，首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間 ，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的最值即可. 5．【2018屆山西省榆社中學(xué)診斷】設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：不失一般性可設(shè)，利用，結(jié)合圖象可得的范圍及，，將所求式子轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，運(yùn)用對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍. ，則的范圍是，故選B． 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)式取值范圍的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 6．【2018屆安徽省“皖南八?！钡谌危?月）聯(lián)考】若均為任意實(shí)數(shù)，且，則 的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問題來解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果. 詳解：由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平 點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵是分析清式子代表的意義，再者就是什么時(shí)候滿足距離最小，之后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，應(yīng)用兩點(diǎn)斜率坐標(biāo)公式求得直線的斜率，兩條直線垂直，斜率乘積等于-1.從而求得結(jié)果. 7．【2018屆四川省南充市高三第三次聯(lián)合診】已知函數(shù)的兩個(gè)極值分別為， ，若， 分別在區(qū)間與內(nèi)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根的分布建立a、b的約束條件，然后利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可． 詳解：∵函數(shù) ∴的兩個(gè)根為， ， ∵， 分別在區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi) ∴? 做出可行域如圖所示，令，平移直線. 經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)時(shí)， 最小為：2；經(jīng)過點(diǎn)B(-3,1)時(shí)，z最大為：7 ∴b?2a∈(2,7)， 故選A. 點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是處理二次函數(shù)根的分布問題，對于二次函數(shù)的研究一般從以幾個(gè)方面研究： 一是，開口； 二是，對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系； 三是，判別式，決定于x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； 四是，區(qū)間端點(diǎn)值. 8．【2018屆華大新高考聯(lián)盟4月檢測】對，，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 上恒成立，即函數(shù)在 上單調(diào)遞增，則的最小值為. 故選C. 9．【2018屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研】已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為2，則的最小值是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 【答案】B 所以的最小值為，故選B. 10．【2018屆陜西省延安市高三高考模擬】已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為__________． 【答案】9 【解析】試題分析：已知函數(shù)的表達(dá)式，可求出再根據(jù)1 的妙用，為乘以，最終應(yīng)用均值不等式求得最值. 詳解：已知函數(shù)，，,,所以，則+ 點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，以及雙變量的最值求法，即均值不等式中1的妙用.解決二元最值或者范圍問題，常用的方法有：不等式的應(yīng)用，線規(guī)的應(yīng)用，二元化一元等方法. 11．【2018屆浙江省寧波市高三5月模擬】已知實(shí)數(shù)滿足：， .則的最小值為______． 【答案】6. 【解析】分析: 不妨設(shè)是中的最小者，即，把已知轉(zhuǎn)化為， 且，.再利用一元二次方程的根來分析求的最小值. 又當(dāng),時(shí)，滿足題意. 故中最小者的最大值為.　(1)　　　　　　　 因?yàn)椋詾槿∮?或一負(fù)二正. 1)若為全小于0，則由（1）知，中的最小者不大于，這與矛盾. 2）若為一負(fù)二正，設(shè)，則 當(dāng),時(shí)， 滿足題設(shè)條件且使得不等式等號成立． 故的最小值為6. 點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵難在轉(zhuǎn)化，先要消元，通過已知的分析轉(zhuǎn)化得到b+c的表達(dá)式和a的范圍，再利用函數(shù)分析求的最小值. 12.【2018年4月2018屆高三第二次全國大聯(lián)考】已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則的值為___________. 【答案】 【解析】因?yàn)?所以,所以.①當(dāng)時(shí),由題意,得,即,兩式相減并化簡得,又因?yàn)?所以此時(shí)不存在滿足條件的；②當(dāng)滿足條件的唯一,所以.