2018-2019學年高中數學 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第1課時 基本不等式練習 新人教A版必修5.doc

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第三章　3.4　第1課時 基本不等式 A級　基礎鞏固 一、選擇題 1．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　D　) A．[0,2]　　　　　　　　 B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] [解析]　∵2x>0,2y>0，∴2x＋2y≥2＝2(當且僅當2x＝2y時，等號成立)， ∴≤，∴2x＋y≤，∴x＋y≤－2． 2．(2018－2019學年度山東昌樂一中高二月考)設a，b滿足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，則＋的最小值為(　A　) A． B． C． D．4 [解析]　∵2a＋3b＝6，∴＋＝1， ∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝＋2＝， 當且僅當＝，即a＝b＝時，等號成立． 3．(2018－2019學年度江西戈陽一中高二月考)下列結論正確的是(　D　) A．當x＞0，x≠1時，lgx＋≥2 B．當x≥2時，x＋的最小值為2 C．當x∈R時，x2＋1＞2x D．當x＞0時，＋的最小值為2 [解析]　當0＜x＜1時，lgx＜0，排除A；當x≥2時，y＝x＋單調遞增，ymin＝2＋＝，排除B；當x＝1時，x2＋1＝2x，排除C，故選D． 4．函數f(x)＝的最大值為(　B　) A． B． C． D．1 [解析]　令t＝(t≥0)，則x＝t2，∴f(x)＝＝． 當t＝0時，f(x)＝0； 當t>0時，f(x)＝＝． ∵t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值為． 5．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差數列，x、c、d、y成等比數列，則的最小值是(　D　) A．0 B．1 C．2 D．4 [解析]　由等差、等比數列的性質得 ＝＝＋＋2≥2＋2＝4.當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，∴所求最小值為4． 6．設函數f(x)＝2x＋－1(x<0)，則f(x)(　A　) A．有最大值 B．有最小值 C．是增函數 D．是減函數 [解析]　∵x<0，∴f(x)＝2x＋－1 ≤－2－1 ＝－2－1， 等號在－2x＝，即x＝－時成立． ∴f(x)有最大值． 二、填空題 7．若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是__[，＋∞)__． [解析]　令f(x)＝(x>0) ＝≤＝， 當且僅當x＝，即x＝1時等號成立， ∴a≥f(x)max＝． 8．已知正數x、y滿足x＋2y＝2，則的最小值為__9__． [解析]　因為x、y為正數，且x＋2y＝2，所以＝(＋)(＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當x＝4y＝時，等號成立，所以的最小值為9． 三、解答題 9．已知x>0，y>0． (1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值； (2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值． [解析]　(1)∵x>0，y>0， 由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2． 又∵2x＋5y＝20， ∴20≥2， ∴≤，∴xy≤10， 當且僅當2x＝5y時，等號成立． 由，解得． ∴當x＝5，y＝2時，xy有最大值10． 這樣u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1． ∴當x＝5，y＝2時，umax＝1． (2)由已知，得xy＝100， 5x＋2y≥2＝2＝20． ∴當且僅當5x＝2y＝，即當x＝2， y＝5時，等號成立． 所以5x＋2y的最小值為20． 10．已知直角三角形兩條直角邊的和等于10 cm，求面積最大時斜邊的長． [解析]　設一條直角邊長為x cm，(02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2， ∴a＋b>a2＋b2，故選D． 解法二：取a＝，b＝，則a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，顯然最大． 2．(2018－2019學年度福建莆田一中高二月考)某工廠第一年產量為A，第二年的增長率為a, 第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則(　B　) A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥ [解析]　∵這兩年的平均增長率為x ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由題設a＞0，b＞0． ∴1＋x＝≤ ＝1＋，∴x≤， 等號在1＋a＝1＋b即a＝b時成立．∴選B． 3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y為正數)，若a⊥b，則xy的最大值是(　A　) A． B．－ C．1 D．－1 [解析]　由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2． ∴xy＝x(2－2x)＝≤()2＝，等號成立時2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值為． 二、填空題 4．已知函數y＝x－4＋(x>－1)，當x＝a時，y取得最小值b，則a＋b＝__3__． [解析]　y＝x－4＋＝x＋1＋－5， 因為x>－1，所以x＋1>0，>0， 所以由均值不等式得y＝x＋1＋－5 ≥2－5＝1， 當且僅當x＋1＝，即x＝2時，等號成立，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3． 5．已知x＜，則函數y＝4x－2＋的最大值是__1__． [解析]　∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋ ＝4x－5＋＋3＝3－ ≤3－2＝1， 等號在5－4x＝，即x＝1時成立． 三、解答題 6．已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求(a＋)2＋(b＋)2的最小值． [解析]　(a＋)2＋(b＋)2 ＝a2＋b2＋＋＋4＝(a2＋b2)(1＋)＋4 ＝(1－2ab)(1＋)＋4， ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴ab≤()2＝， ∴1－2ab≥1－＝，且≥16,1＋≥17． ∴原式≥17＋4＝(當且僅當a＝b＝時，等號成立)，∴(a＋)2＋(b＋)2的最小值是． C級　能力拔高 1．求函數y＝1－2x－的值域． [解析]　y＝1－2x－＝1－(2x＋)． ①當x>0時，2x＋≥2＝2． 當且僅當2x＝，即x＝時取等號． ∴y＝1－(2x＋)≤1－2． ②當x<0時，y＝1＋(－2x)＋(－)． ∵－2x＋(－)≥2＝2． 當且僅當－2x＝－時，即x＝－時取等號． ∴此時y＝1－2x－≥1＋2 綜上知y∈(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)． ∴函數y＝1－2x－的值域為(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)． 2．某商場預計全年分批購入每臺2 000元的電視機共3 600臺．每批都購入x臺(x是自然數)且每批均需付運費400元．貯存購入的電視機全年所需付的保管費與每批購入電視機的總價值(不含運費)成正比．若每批購入400臺，則全年需用去運輸和保管總費用43 600元．現在全年只有24 000元資金可以支付這筆費用，請問，能否恰當安排每批進貨數量，使資金夠用？寫出你的結論，并說明理由． [解析]　設總費用為y元(y＞0)，且將題中正比例函數的比例系數設為k，則y＝400＋k(2 000x)，依條件，當x＝400時，y＝43 600，可得k＝5%， 故有y＝＋100x ≥2＝24 000(元)． 當且僅當＝100x，即x＝120時取等號． 所以只需每批購入120臺，可使資金夠用．