2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題5.1 解直角三角形精講深剖學(xué)案.doc

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第1講 解直角三角形 三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識(shí)，也蘊(yùn)含了深刻的思想，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實(shí)掌握三角形的相關(guān)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 【知識(shí)梳理】 知識(shí)點(diǎn)1. 三角形及其性質(zhì) （1）由不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，稱為三角形； （2）三角形的內(nèi)角和是180，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； （3）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊． 知識(shí)點(diǎn)2. 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c. (1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2； (2)兩個(gè)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90； (3)邊角之間的關(guān)系：sin A＝，cos A＝，tan A＝； sin B＝，cos B＝，tan B＝. （4）三角函數(shù)值之間的關(guān)系 ①同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝. ②互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：若∠A＋∠B＝90，則sin A＝cos B或sin B＝cos A. （5）特殊銳角的三角函數(shù)值 α sin α cos α tan α 30 45 1 60 直角三角形是一種特殊的三角形，因?yàn)橛泄垂啥ɡ砑颁J角三角函數(shù)的運(yùn)用，使它的邊角關(guān)系更加豐富，同時(shí)也為高中學(xué)習(xí)解三角形和三角函數(shù)，提供了很好的階梯。 【典例解析】1.在Rt△ABC中，∠C＝90，若AB＝4，sin A＝，求斜邊上的高CD. 【分析】在Rt△ABC中，由AB與sin A的值，求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)， 再根據(jù)面積法求出斜邊上的高CD的長(zhǎng)． 【解析】 sin A＝，AB＝4，∴BC＝ABsin A＝.由勾股定理可得AC＝， 由面積法，∵ABCD＝ACBC，∴CD＝. 【解題反思】解直角三角形時(shí)，結(jié)合圖形，盡可能使用題目中給出的原始數(shù)據(jù)，一般常把銳角三角函數(shù)與勾股定理結(jié)合使用. 【典例解析】2.天塔是天津市的標(biāo)志性建筑之一．某校數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量天塔的高度．如圖，他們?cè)邳c(diǎn)A處測(cè)得天塔的最高點(diǎn)C的仰角為45，再往天塔方向前進(jìn)至點(diǎn)B處測(cè)得天塔的最高點(diǎn)C的仰角為54，AB＝112 m．根據(jù)這個(gè)興趣小組測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算天塔的高度CD.(tan 36≈0.73，結(jié)果保留整數(shù)) 【分析】在等腰三角形ADC中，AD＝CD，而AD＝AB＋BD＝112＋BD，所以BD＝CD－112，故又可以在直角三角形BDC中，利用∠BCD的正切把BD和CD聯(lián)系在一起． 【解題反思】仰角、俯角問題是常見的實(shí)際問題，一般題目中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的仰角、俯角或一個(gè)仰角、一個(gè)俯角.解決此類問題時(shí)，一般是先設(shè)出未知數(shù)，用同一個(gè)未知數(shù)表示問題中不同的未知量，然后根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程求解. 【變式訓(xùn)練】1.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AB＝8，∠ABD＝30，∠CAD＝45，求BC的長(zhǎng)． 【分析】問題為求BC，結(jié)合AD⊥BC，可轉(zhuǎn)化到圖中的Rt△ABD和Rt△ADC中分別解直角三角形求得； 【解析】∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB＝∠ADC＝90. 在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30， ∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4. 在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45， ∴DC＝AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝4＋4. 【點(diǎn)評(píng)】解三角形問題需增強(qiáng)圖形的觀察能力，將所求的線段分解是一種常見的思路。 【變式訓(xùn)練】2.將一副三角板如圖所示疊放在一起，求的值. 【分析】由問題所求的線段比分別在兩個(gè)三角形中，需聯(lián)系相似將線段比轉(zhuǎn)化為可求出得線段比； 【點(diǎn)評(píng)】問題較為復(fù)雜時(shí)，圖形觀察提供了很好的解題直覺，本題運(yùn)用相似完成了線段比的轉(zhuǎn)換，然后再運(yùn)用解直角三角形解決。 【變式訓(xùn)練】3.某學(xué)校校門是伸縮門(如圖①)，伸縮門中的每一行菱形有20個(gè)，每個(gè)菱形邊長(zhǎng)為30厘米．校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)為60(如圖②)；校門打開時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)從60縮小為10(如圖③)．問：校門打開了多少米？ (結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin 5≈0.087 2，cos 5≈0.996 2， sin 10≈0.173 6，cos 10≈0.984 8) ∴校門打開的寬度為6－1.046 4＝4.953 6≈5(米)．故校門打開了5米． 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于應(yīng)用性問題，需通過閱讀題意，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決。