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專題檢測（十） 數(shù) 列
A組——“6＋3＋3”考點(diǎn)落實(shí)練
一、選擇題
1．(2019屆高三武漢調(diào)研)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則a1＝( )
A．－2 B．－1
C. D.
解析：選B 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，
得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，
解得q＝－1(舍去)或q＝，
將q＝代入S2＝3a2＋2中，得a1＋a1＝3a1＋2，
解得a1＝－1.
2．已知數(shù)列{an}滿足＝，且a2＝2，則a4等于( )
A．－ B．23
C．12 D．11
解析：選D 因?yàn)閿?shù)列{an}滿足＝，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，公比為2，則a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.
3．(2019屆高三西安八校聯(lián)考)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：選C 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7
S5，
所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，
所以S12S13<0，即滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為12，故選C.
4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2 019＝( )
A．1 B．－2
C．3 D．－3
解析：選A 因?yàn)閍n＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，
所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3)．
所以an＋3＝－an(n∈N*)，所以an＋6＝－an＋3＝an，
故{an}是以6為周期的周期數(shù)列．
因?yàn)? 019＝3366＋3，
所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故選A.
5．(2018鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知f(x)＝數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an＝f(n)，且{an}是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(1,3) D．(3，＋∞)
解析：選D 因?yàn)閍n＝f(n)，且{an}是遞增數(shù)列，
所以則得a>3.故選D.
6．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則＋＋…＋＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：選C 由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，
則a2－a1＝1＋1，
a3－a2＝2＋1，
a4－a3＝3＋1，
…，
an－an－1＝(n－1)＋1，
以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，
把a(bǔ)1＝1代入上式得，an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，
＝＝2，
則＋＋…＋＋＝2＋＋…＋＋＝2＝.
二、填空題
7．(2018全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________.
解析：∵Sn＝2an＋1，∴當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－1.
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1為－1，公比q為2的等比數(shù)列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
答案：－63
8．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前3天所織布的總尺數(shù)為________．
解析：設(shè)該女子第一天織布x尺，
則＝5，解得x＝，
所以該女子前3天所織布的總尺數(shù)為＝.
答案：
9．(2019屆高三福建八校聯(lián)考)在數(shù)列中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：
①k不可能為0；
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.
其中所有正確判斷的序號是________．
解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以①正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯誤；當(dāng)是等比數(shù)列，且公比q＝1時，不是等差比數(shù)列，所以③錯誤；數(shù)列0,1,0,1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以④正確．
答案：①④
三、解答題
10．(2018全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解：(1)設(shè){an}的公差為d，
由題意得3a1＋3d＝－15.
又a1＝－7，所以d＝2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，
所以當(dāng)n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16.
11．(2018成都第一次診斷性檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
∵a2＝3，S4＝16，
∴a1＋d＝3,4a1＋6d＝16，
解得a1＝1，d＝2.
∴an＝2n－1.
(2)由題意，bn＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝
＝.
12．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn－2an＝n－4.
(1)證明{Sn－n＋2}為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)證明：當(dāng)n＝1時，由Sn－2an＝n－4，得a1＝3.
∴S1－1＋2＝4.
當(dāng)n≥2時，Sn－2an＝n－4可化為Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4，
即Sn＝2Sn－1－n＋4，
∴Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]．
∴{Sn－n＋2}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，
∴Sn＝2n＋1＋n－2.
于是Tn＝S1＋S2＋…＋Sn
＝22＋1－2＋23＋2－2＋…＋2n＋1＋n－2
＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
＝＋－2n
＝2n＋2＋－4.
∴數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn為2n＋2＋－4.
B組——大題專攻補(bǔ)短練
1．(2018全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式．
(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sm＝63，求m.
解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.
2．(2018濰坊統(tǒng)考)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－λ(λ>0，n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求an；
(2)若λ＝4，bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.
解：(1)∵Sn＝2an－λ，當(dāng)n＝1時，得a1＝λ，
當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－λ，
∴Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，
∴數(shù)列{an}是以λ為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an＝λ2n－1.
(2)∵λ＝4，∴an＝42n－1＝2n＋1，
∴bn＝
∴T2n＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n＋2n＋1
＝(22＋24＋…＋22n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)
＝＋
＝＋n(n＋2)，
∴T2n＝＋n2＋2n－.
3．(2018廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝，n∈N*.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)T2n＝－＋－＋…＋－，求T2n.
解：(1)證明：由an＋1＝，得＝＝＋，
所以－＝.
又a1＝1，則＝1，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．
(2)設(shè)bn＝－＝，
由(1)得，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，
所以－＝－，
即bn＝＝－，
所以bn＋1－bn＝－＝－＝－.
又b1＝－＝－＝－，
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－，公差為－的等差數(shù)列，
所以T2n＝b1＋b2＋…＋bn＝－n＋＝－(2n2＋3n)．
4．(2018石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋.
(1)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，
又bn＝，∴bn＋1－bn＝，
由a1＝1，得b1＝1，
累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，
即bn－b1＝＝1－，
∴bn＝2－.
(2)由(1)可知an＝2n－，
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，
則Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋，②
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，
∴Tn＝4－.
易知數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)，
∴Sn＝n(n＋1)－4＋.
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