2018-2019年高中數學 第一章 計數原理 1-2-2-2 組合的綜合應用隨堂達標驗收 新人教A版選修2-3.doc

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1-2-2-2 組合的綜合應用 1某地招募了20名志愿者，他們編號分別為1號，2號，19號，20號，如果要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預備服務工作，其中兩個編號較小的人在一組，兩個編號較大的人在另一組，那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取種數是()A16 B21 C24 D90解析分2類：第1類，5號與14號為編號較大的一組，則另一組編號較小的有C6種選取方法第2類，5號與14號為編號較小的一組，則編號較大的一組有C15種選取方法由分類加法計數原理得，共有CC61521(種)選取方法答案B2把5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案有()A80種 B120種 C140種 D50種解析當甲組中有3人，乙、丙組中各有1人時，有CC20(種)不同的分配方案；當甲組中有2人，乙組中也有2人，丙組中只有1人時，有CC30(種)不同的分配方案；當甲組中有2人，乙組中有1人，丙組中有2人時，有CC30(種)不同的分配方案；由分類加法計數原理共有CCCCCC80(種)不同的分配方案答案A3若從1,2,3，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有()A60種 B63種 C65種 D66種解析從1,2,3，9這9個數中取出4個不同的數，其和為偶數的情況包括：取出的4個數都是偶數，取法有C1(種)；取出的4個數中有2個偶數、2個奇數，取法有CC60(種)；取出的4個數都是奇數，取法有C5(種)根據分類加法計數原理，滿足題意的取法共有160566(種)答案D4在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_種(用數字作答)解析把8張獎券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有C種分法，再分給4人有CA種分法，所以不同獲獎情況種數為ACA243660(種)答案60課內拓展課外探究1幾何組合應用問題(1)解決幾何圖形中的組合問題，首先應注意運用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理如平面上不共線的m個點構成多少個三角形，即在m個元素中取出3個元素的組合數(除去共線的情況)就是三角形的個數空間由不共面的n個點構成多少個四面體，即與在n個元素中取出4個元素的組合數(除去共面的情況)相等，如求組成多少對異面直線問題，也可以構造四面體模型加以處理此外，解決幾何問題，必須注意幾何問題本身的限制條件如共線、共面、交點等要注意分清“對應關系”，如不共線的三點對應一個三角形，不共面的四點確定一個四面體等等，解題時可借助圖形來幫助思考，并善于將幾何性質用于解題之中(2)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法(3)在處理幾何問題中的組合應用問題時，應先明確幾何中的點、線、面及構造模型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關系，將幾何問題抽象成組合問題來解決利用組合知識解決與幾何有關的問題，要注意：將已知條件中的元素的特征搞清，是用直接法還是間接法；要使用分類方法，至于怎樣確定分類的標準，這是一個難點，要具體問題具體分析；常用間接法解決該類問題 如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有_條這些直線中共有f(n)對異面直線，則f(4)_，f(n)_(答案用數字或n的解析式表示)解析n棱錐共n1個頂點，依兩點確定一條直線，有C條直線f(4)表示四棱錐中的異面直線的對數，如圖，每條側棱和底面上不共頂點的兩條底邊、一條對角線共形成3對異面直線，即f(4)4312對；同理，一條側棱與底面上n2條底邊異面，又與C(n1)1條底面對角線異面，即與這條側棱異面的直線有C(n1)1(n2)C條，故n條側棱形成的異面直線的對數f(n).答案12點評這里是用組合知識來解答立體幾何中的問題，其中由簡單到復雜，由特例到一般的推理方法及用特例來檢驗一般的方法都要注意掌握 在MON的邊OM上有5個異于點O的點，在邊ON上有4個異于點O的點，以這10個點(含O)為頂點，可以得到多少個三角形？解解法一：(直接法)分幾種情況考慮：O為頂點的三角形中，必須另外兩個頂點分別在OM、ON上，所以有CC個，O不為頂點的三角形中，兩個頂點在OM上，一個頂點在ON上的有CC個，一個頂點在OM上，兩個頂點在ON上的有CC個因為這是分類問題，所以用分類計數原理，共有CCCCCC541045690(個)解法二：(間接法)先不考慮共線點的問題，從10個不同元素中任取三個的組合數是C，但其中OM上的6個點(含O)中任取三點不能得到三角形，ON上的5個點(含O)中任取3點也不能得到三角形，所以共可以得到CCC個三角形，即CCC120201090(個)點評解答幾何組合應用問題的思考方法與一般的組合應用題基本一樣，只要把圖形中隱含的條件視為有限制條件的組合應用題即可計算時可用直接法，也可用間接法要注意在限制條件較多的情況下，需要分類計算符合題意的組合數2構造組合模型排列、組合應用題的背景豐富、千奇百怪、情景陌生、無特定的模式和規(guī)律可循，因此必須認真審題，把握問題的本質特征，化歸為排列、組合的常規(guī)模型進而求解 某城市一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)約用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端路燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，那么熄燈方法共有()AC種 BA種 CC種 DA種解析“亮燈”“滅燈”元素之間互異，可視為互異的元素，不考慮順序，屬于組合問題“滅燈”不相鄰，應采取“插空法”分兩步完成：第一步，安排9盞亮燈，因為亮燈相同，只是位置不同，共有C種；第二步，將3盞熄滅的燈插到8個空里，有C種；根據分步乘法計數原理，共有CCC種熄燈方法故選擇A.答案A點評本題通過構造組合模型，利用“插空法”，使問題順利地解決 設集合A1,2,3,4,5,6,7，映射f：AA滿足f(1)f(2)f(3)f(4)，則這樣的映射f的個數為()ACA BC C77 DC73解析先從集合A中任取4個不同的元素作為一個組合，并按從小到大的順序賦為1,2,3,4在映射f下的象，有C種方法，再依次為5,6,7確定象，有73種方法，故滿足題意的映射f的個數為C73.故選D.答案D