量子力學(xué)的五大公設(shè).ppt

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量子力學(xué)的五大公設(shè) 一 量子態(tài) 波函數(shù) 公設(shè) 波函數(shù)公設(shè) 一個微觀粒子的狀態(tài)可以由波函數(shù)完全來描述 波函數(shù)的模方為粒子的概率密度 波函數(shù)滿足歸一化條件 波函數(shù)三個標準條件有限性 單值性和連續(xù)性 二 量子運動方程公設(shè)薛定諤方程 薛定諤方程 注意 薛定諤方程是建立起來的 而不是推導(dǎo)出來的 它是量子力學(xué)中的一個基本假設(shè) 地位等同于牛頓力學(xué)中的牛頓方程 它的正確性由方程得出的結(jié)論與實驗比較來驗證 定態(tài)薛定諤方程 定態(tài)含義作用在粒子上的勢場是不隨時間改變的 定態(tài)波函數(shù) 1 在定態(tài)中 幾率密度和幾率流密度不隨時間改變 定態(tài)的性質(zhì) 2 任何不顯含t的力學(xué)量平均值與t無關(guān) 3 任何不顯含t的力學(xué)量的測量概率分布也不隨時間改變 三 算符公設(shè) 任意可觀測的力學(xué)量 都可以用相應(yīng)的線性厄米算符來表示 在態(tài)中測量力學(xué)量A 五 全同性原理公設(shè) 以后再學(xué) 態(tài)疊加原理 若 1 2 n 是體系的一系列可能的狀態(tài) 則這些態(tài)的線性疊加 C1 1 C2 2 Cn n 其中C1 C2 Cn 為復(fù)常數(shù) 也是體系的一個可能狀態(tài) 處于 態(tài)的體系 部分的處于 1態(tài) 部分的處于 2態(tài) 部分的處于 n 4 通過歸一化確定歸一化系數(shù)Cn 求解定態(tài)問題的具體步驟如下 1 列出定態(tài)Schr dinger方程 3 根據(jù)波函數(shù)三個標準條件求解能量E的本征值問題 得 本征值 E1 E2 En 本征函數(shù) 1 2 n 2 求解S 方程 寫出通解 一 一維自由粒子的波函數(shù) 對應(yīng)于一個能量本征值 有兩個本征態(tài) p 0 除外 因此其能級是二重簡并的 哈密頓量 波函數(shù) 能量 二 一維無限深勢阱 哈密頓量 本征波函數(shù) 本征能量 三 一維線性諧振子 線性諧振子的Hamilton量 歸一化系數(shù) 本征波函數(shù) 本征能量 厄密多項式的遞推關(guān)系 基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù) x 的遞推關(guān)系 已知H0 1 H1 2 H2 2 H1 2nH0 4 2 2 四 平面轉(zhuǎn)子的能量本征值與本征態(tài) 平面轉(zhuǎn)子的哈密頓算符為 平面轉(zhuǎn)子的哈密頓算符本征值 相應(yīng)的本征函數(shù) 對應(yīng)于一個能量本征值 有兩個本征態(tài) m 0 除外 因此其能級是二重簡并的 五 空間剛性轉(zhuǎn)子的能量本征值與本征函數(shù) 空間轉(zhuǎn)子的哈密頓算符為 空間剛性轉(zhuǎn)子能量本征值 能級是 2l 1 度簡并的 相應(yīng)的波函數(shù)為 例1 證明 在本征態(tài)Ylm下 證法一 由于在本征態(tài)Ylm中 測量力學(xué)量lz有確定值 欲保證不等式成立 必有 同理 利用測不準關(guān)系 法二 同理 利用求平均值的方法 例2 共同本征態(tài)Ylm下 求測不準關(guān)系 解 由例1可知 等式兩邊右乘 將上式兩邊在Ylm態(tài)下求平均 將上式兩邊在Ylm態(tài)下求平均 則測不準關(guān)系 例3 一電荷為e的一維線性諧振子受恒定弱電場 作用 電場沿正x方向 其勢場為 求能量本征值和本征函數(shù) 解 定態(tài)Schr dinger方程 令 所求的解為 例4若在一維無限深勢阱中運動的粒子的量子數(shù)為n 求 1 距勢阱內(nèi)左壁寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率 2 n取何值時 在此區(qū)域內(nèi)找到粒子的幾率最大 3 當時 這個幾率的極限是多少 這個結(jié)果與經(jīng)典情況比較 說明了什么問題 例5一約束在平面上沿一定半徑繞z軸 垂直平面 轉(zhuǎn)動的平面子 處于態(tài)中 試確定在此態(tài)中能量及角動量的可能取值及其相應(yīng)的幾率 并求平均值 例4 解 一維無限深勢阱本征值和本征函數(shù) 距勢阱內(nèi)左壁1 4寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率 當取最大值 當n趨于無窮時此值為1 4說明粒子均勻分布于勢阱內(nèi)和經(jīng)典結(jié)果一致 例5 解 平面剛性轉(zhuǎn)子體系能量的本征值和本征函數(shù)為 求得 角動量的可能值為 0 相應(yīng)的幾率為2 3 1 3 1 3 能量的可能取值為相應(yīng)幾率為2 31 3