2019高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 3.3 雙曲線 3.3.2 雙曲線的簡單性質課件 北師大版選修2-1.ppt

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3 2雙曲線的簡單性質 知識拓展1 等軸雙曲線 實軸長與虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線 其方程為x2 y2 a2 等軸雙曲線有兩個非常明顯的特征 1 離心率e 2 兩條漸近線互相垂直 這兩個特征可用來作為判斷雙曲線是不是等軸雙曲線的充要條件 2 共軛雙曲線 以已知雙曲線的虛軸為實軸 實軸為虛軸的雙曲線叫作原雙曲線的共軛雙曲線 互為共軛的雙曲線具有如下性質 1 它們具有相同的漸近線 2 它們的四個焦點共圓 記憶方法 將中的1改為0即為漸近線 1改為 1即為共軛雙曲線 做一做1 設雙曲線的焦點在x軸上 兩條漸近線為y x 則該雙曲線的離心率e等于 答案 C 解析 由題意知a2 16 即a 4 又e 2 所以c 2a 8 則m c2 a2 48 答案 48 判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內打 錯誤的打 1 雙曲線的焦點一定位于雙曲線的實軸上 2 若兩條雙曲線的焦點相同 則其漸近線也一定相同 3 焦點在x軸上的雙曲線與焦點在y軸上的雙曲線不可能具有共同的漸近線 探究一 探究二 探究三 思維辨析 雙曲線的簡單性質 例1 求雙曲線4x2 y2 4的頂點坐標 焦點坐標 實半軸長 虛半軸長 離心率和漸近線方程 并作出草圖 思維點撥 先將所給雙曲線方程化為標準方程 再根據(jù)標準方程求出各有關量 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟已知雙曲線的方程討論其幾何性質時 需先看所給方程是不是標準方程 若不是 需先把方程化為標準方程 再由標準方程確定焦點所在的坐標軸 找準a和b 才能正確地寫出焦點坐標 頂點坐標等 注意與橢圓的相關幾何性質進行比較 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練1 1 雙曲線2x2 y2 8的實軸長是 答案 1 D 2 C 探究一 探究二 探究三 思維辨析 由雙曲線的性質求雙曲線方程 思維點撥 雙曲線焦點不確定 可分情況討論 也可由共漸近線的雙曲線系方程求解 這樣可避免討論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 當所求雙曲線的焦點在x軸上時 探究一 探究二 探究三 思維辨析 直線與雙曲線的位置關系 例3 已知直線y kx與雙曲線4x2 y2 16 當k為何值時 直線與雙曲線 1 有兩個公共點 2 有一個公共點 3 沒有公共點 當4 k2 0 即k 2時 方程 無解 當4 k2 0時 4 4 k2 16 64 4 k2 當 0 即 22時 方程 無解 當 0 且4 k2 0時 不存在這樣的k值 綜上所述 1 當 2 k 2時 直線與雙曲線有兩個公共點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 不存在使直線與雙曲線有一個公共點的k值 3 當k 2或k 2時 直線與雙曲線沒有公共點 反思感悟直線與雙曲線的位置關系的判斷思路 利用方程組法解決直線與雙曲線的公共點問題 要注意討論轉化以后的方程的二次項系數(shù) 即若二次項系數(shù)為0 則直線與雙曲線的漸近線平行或重合 若二次項系數(shù)不為0 則進一步研究二次方程的根的判別式 得到直線與雙曲線的公共點個數(shù) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練3直線y ax 1與雙曲線3x2 y2 1相交于A B兩點 1 求線段AB的長 2 當a為何值時 以AB為直徑的圓經過坐標原點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 x1x2 ax1 1 ax2 1 0 即 1 a2 x1x2 a x1 x2 1 0 經檢驗a 1時 以AB為直徑的圓經過坐標原點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因忽視二次項系數(shù)是否為零而致誤 典例 已知直線y kx 1與雙曲線x2 y2 1有且僅有一個公共點 則k的值為 易錯分析 當直線與雙曲線的漸近線平行時 直線與雙曲線也只有一個交點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 當1 k2 0 即k 1時 上述方程為二次方程 直線和雙曲線有且僅有一個公共點 當k 1時 直線和雙曲線的漸近線平行 此時有且僅有一個公共點 糾錯心得將直線與雙曲線方程聯(lián)立 當二次項系數(shù)為0時 所得直線與雙曲線的漸近線平行 此時交點個數(shù)為一個 當二次項系數(shù)不為0時 由 0 得此時直線與雙曲線相切 交點個數(shù)為一個 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練直線l ax y 1 0與雙曲線C x2 2y2 1相交于P Q兩點 1 當實數(shù)a為何值時 PQ 2 2 是否存在實數(shù)a 使得以PQ為直徑的圓經過坐標原點 若存在 求出a的值 若不存在 說明理由 解 1 設點P Q的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 由弦長公式 得 與已知聯(lián)立 得a2 1 故所求的實數(shù)a 1 2 假設存在實數(shù)a 使得以PQ為直徑的圓經過坐標原點O 則由OP OQ 得x1x2 y1y2 0 從而得a2 2 這與實數(shù)的性質矛盾 故不存在實數(shù)a 使得以PQ為直徑的圓過坐標原點 12345 1 雙曲線mx2 y2 1的虛軸長是實軸長的2倍 則m等于 解析 曲線mx2 y2 1是雙曲線 m 0 排除選項C D 滿足題意 故選A 答案 A 12345 2 雙曲線 a 0 b 0 的兩焦點分別為F1 F2 以F1F2為邊作等邊三角形 若雙曲線恰平分三角形的另兩邊 則雙曲線的離心率為 答案 A 12345 12345 答案 3 12345 5 求雙曲線9x2 y2 81的實軸長 虛軸長 頂點坐標 焦點坐標 離心率 漸近線方程