2019-2020年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 認識簡單數(shù)列.doc

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2019-2020年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 認識簡單數(shù)列 　　我們把按一定規(guī)律排列起來的一列數(shù)叫數(shù)列。 　　在這一講里，我們要認識一些重要的簡單數(shù)列，還要學習找出數(shù)列的生成規(guī)律；學會把數(shù)列中缺少的數(shù)寫出來，最后還要學習解答一些生活中涉及數(shù)列知識的實際問題。 　　例1 找出下面各數(shù)列的規(guī)律，并填空。 　?。?）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10。 　　（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19。 　?。?）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20。 　?。?）1，4，7，10，□，□，19，22，25。 （5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45。 　　注意：自然數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列也是等差數(shù)列。 　　例2 找出下面的數(shù)列的規(guī)律并填空。 　　1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89。 　　解：這叫斐波那契數(shù)列，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)之和。這是個有重要用途的數(shù)列。8+13=21，13+21=34。所以： 　　空處依次填： 　　例3 找出下面數(shù)列的生成規(guī)律并填空。 　　1，2，4，8，16，□，□，128，256。 　　解：它叫等比數(shù)列，它的后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍。162=32，322=64，所以空處依次填： 　　例4 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空。 　　1，2，4，7，11，□，□，29，37。 解：這數(shù)列規(guī)律是：后一個數(shù)減前一個數(shù)的差是逐漸變大的，這些差是個自然數(shù)列： 　　 　　例5 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空： 　　1，3，7，15，31，□，□，255，511。 　　解：規(guī)律是：后一個數(shù)減前一個數(shù)的差是逐漸變大的，差的變化規(guī)律是個等比數(shù)列，后一個差是前一個差的2倍。 　　另外，原數(shù)列的規(guī)律也可以這樣看：后一個數(shù)等于前一個數(shù)乘以2再加1，即后一個數(shù)=前一個數(shù)2+1。 　　例6 找出下面數(shù)列的生成規(guī)律，并填空。 　　1，4，9，16，25，□，□，64，81，100。 　　解：這是自然數(shù)平方數(shù)列，它的每一個數(shù)都是自然數(shù)的自乘積。如：1=11，4=22，9=33，16=44，25=55，36=66，47=77，64=88，81=99，100=1010。 　　若寫成下面對應起來的形式，就看得更清楚。 　　自然數(shù)列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　　↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 　　自然數(shù)平方數(shù)列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 　　例7 一輛公共汽車有78個座位，空車出發(fā)。第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，車上坐滿乘客？（假定在坐滿以前，無乘客下車，見表四（1）） 　　 　　方法2：由上表可知，車上的人數(shù)是自1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，到第幾站后，就加到幾，所以只要加到出現(xiàn)78時，就可知道是到多少站了， 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人） 　　可見第12站以后，車上坐滿乘客。 　　例8 如果第一個數(shù)是3，以后每隔6個數(shù)寫出一個數(shù)，得到一列數(shù)：3，10，17，……，73。這里3叫第一項，10叫第二項，17叫第三項，試求73是第幾項？ 　　解：從第1項開始，把各項依次寫出來，一直寫到73出現(xiàn)為止（見表四（2））。 　　可見73是第11項。 　　例9 一天，爸爸給小明買了一包糖，數(shù)一數(shù)剛好100塊。爸爸靈機一動，又拿來了10個紙盒，接著說：“小明，現(xiàn)在你把糖往盒子里放，我要求你在第一個盒子里放2塊，第二個盒子里放4塊，第三個盒子里放8塊，第四個盒子里放16塊，……照這樣一直放下去。要放滿這10個盒，你說這100塊糖夠不夠？”小朋友，請你幫小明想一想？ 　　解：小朋友，你是不是以為100塊糖肯定能夠放滿這10個紙盒的了！下面讓我們算一算，看你想得對不對（見表四（3））。表四（3） 　　放滿10個盒所需要的糖塊總數(shù)： 　　 　　可見100塊糖是遠遠不夠的，還差1946塊呢！這可能是你沒有想到的吧！其實，數(shù)學中還有很多很多奇妙無比的故事呢。 附送： 2019-2020年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 逆序推理法 　　逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。簡單說，就是調(diào)過頭來往回想。 　　例1 老師心中想了一個數(shù)，對他的學生說：“給這個數(shù)加上9，再取和的一半應是5?！彼袑W生們把這個數(shù)算出來。你會算嗎？ 　　解：用逆推法求解，就是這樣想：因為老師想的數(shù)加上9后之和的一半是5，那么和就應是 52=10；再往前逆推，在沒有加上9之前應是10-9=1，這就是老師心中想的數(shù)。 　　讓我們再從另一種思路去想： 　　首先，把老師想的數(shù)用□代表，順著題意列式應有： 　　（□+9）2=5，我們可以叫它做順序式。 　　然后，再把前面的逆推過程寫成算式，就應有： 　　52-9=1，“1”就是方框所代表的數(shù)，所以把它寫在方框里。我們可以把這個算式叫做逆序式。把兩式進行對照比較（如下圖如示）可見： 　 　?、夙樞虻倪\算結(jié)果（或最后結(jié)論）是逆序式的已知數(shù)據(jù)（或起始條件）； 　?、陧樞蚴街谐?變?yōu)槟嫘蚴街谐艘?； 　?、垌樞蚴街屑由?變?yōu)槟嫘蚴街袦p去9； 　　④順序式中起始未知數(shù)變?yōu)槟嫘蚴街凶詈筮\算結(jié)果； 　　總之，逆序式恰為順序式的逆運算。 　　這就是逆推法的由來和實質(zhì)。 　　例2 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，最后結(jié)果等于6。問這個數(shù)是幾？ 　　解：依題意，寫出順序式，再接著寫出逆序式， 　　[（某數(shù)+6）6-6]6=6…順序式 　?。?6+6）6-6=某數(shù)…逆序式 　　經(jīng)計算可知“某數(shù)”=1。 　　例3 小勇拿了媽媽給的零花錢去買東西。他先用這些錢的一半買了玩具，之后又買了1元5角錢的小人書，最后還剩下3角錢。你知道媽媽給小勇多少錢嗎？ 　　解：可以這樣倒著想：小勇最后剩下3角錢，在買書之前的錢應是3角+1元5角=1元8角。這個數(shù)目是他買玩具后剩下的，買玩具前的錢數(shù)應當是：1元8角2=3元6角。這就是媽媽給他的錢數(shù)。 　　若畫出下面的圖就更清楚了。 　　例4 小亮拿著1包糖，遇見好朋友A，分給了他一半；過一會又遇見好朋友B，把剩下的糖的一半分給了他；后來又遇到了好朋友C，把這時手中所剩下的糖的一半又分給了C，這時他自己手里只有一塊了。問在沒有分給A以前，小亮那包糖有幾塊？ 　　解：采用逆推法--從最后結(jié)果往前倒著推算。小亮最后手里只剩下一塊糖，這是分給C一半后所剩的數(shù)，則知遇見C之前小亮有糖： 　　12=2（塊）。 　　同理，遇到B之前有糖：22=4（塊）。 　　遇到A之前有糖：42=8（塊）。 　　即小亮未給小朋友前，那包糖應有8塊。 　　例5 農(nóng)婦賣蛋，第一次賣掉籃中的一半又1個，第二次又賣掉剩下的一半又1個，這時籃中還剩1個。問原來籃中有蛋幾個？ 　　解： 　　逆推：籃中最后（即第二次賣后）剩1個； 　　第二次賣前籃中有（1+1）2=4個； 　　第一次賣前籃中有（4+1）2=10個； 　　即籃中有10個蛋。 　　例6 某池中的睡蓮所遮蓋的面積，每天擴大1倍，20天恰好遮住整個水池，問若只遮住水池的一半需要多少天？ 　　解：倒著想。若是今天睡蓮把整個池面遮滿了，那么昨天睡蓮只遮住了水面的一半。今天是第20天，昨天就是第19天，也就是說睡蓮遮住一半池面需19天。 　　例7 文化用品店新到一批日記本，上一周售出本數(shù)比總數(shù)的一半少12本；這一周售出的本數(shù)比所剩的一半多12本；結(jié)果還有19本。問這批日記本有多少？ 　　解： 　　由圖上可見本周未售出時的一半是： 　　19+12=31（本）； 　　本周未售出時的總數(shù)是： 　　312=62（本）； 　　總數(shù)的一半是： 　　62-12=50（本）； 　　總本數(shù)是： 　　502=100（本）。 　　列出綜合算式： 　　[（19+12）2-12]2=100（本）。 　　答：這批日記本共有100本。 　　例8 現(xiàn)有一堆棋子，把它分成三等份后還剩一顆；取出其中的兩份又分成三等份后還剩一顆；再取出其中的兩份再分成三等份后還剩一顆。問原來至少有多少顆棋子？ 　　解：題中有“至少”這一條。 　　用逆推法從最后的最少棋子情況逆推。先畫線段圖依次表示分棋子的過程，見下圖： 　　假設(shè)第三次分時，三等份中每分是1個棋子（最少）， 　　則此次分前應是3+1=4個；42=2，則第二次分前應是23+1=7個，注意7是奇數(shù)（第二次分前的棋子是第一次分后的兩份，應是偶數(shù)所以不應是7，可見前面假設(shè)不對）。 　　再假設(shè)第三次分時每等份是2個棋子，也不行。 　　又假設(shè)第三次分時每等份是3個棋子，則有 　　33+1=10； 　　102=5，53+1=16； 　　162=8，83+1=25； 　　∴原來有棋子至少是25個。