量子力學習題課-田浩.ppt

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量子力學 一 實物粒子的波粒二象性 3 實物粒子的波粒二象性 顆粒性 疊加性 習題 計算德布羅意波長 不確定關系的簡單應用 注意 單位換算 相對論非相對論 不確定量的使用 例題1 分別就非相對論和相對論的場合 求質(zhì)量為m 電荷為e的粒子在動能為Ek時的德布羅意波長 例題2 為了調(diào)查10 15m程度的原子核結構 伽瑪射線和電子射線的能量分別多大 例題3 若一個電子處于原子某能態(tài)的時間為10 8s 試問這個原子能態(tài)的能量最小不確定量是多少 如果這個原子從上述能態(tài)躍遷到基態(tài)輻射的能量為3 39eV 計算所輻射的光子波長并討論這波長的最小不確定量 附題1 證明 一個質(zhì)量m的粒子 在邊長為a的正立方盒子內(nèi)運動時 它的最小可能能量 零點能 為 非相對論 相對論 伽瑪射線 電子射線 能量最小不確定量 光子波長 波長的最小不確定量 二 波函數(shù)與薛定諤方程 1 量子力學的基本原理之一波函數(shù) 波函數(shù)波恩的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的標準條件及態(tài)疊加原理 2 量子力學的基本原理之二薛定諤方程 薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 3 一維定態(tài)問題 一維無限深方勢阱線性諧振子方勢壘 習題 討論題 比較簡單的計算題 注意 波函數(shù)計算時的注意事項 例題4 有一粒子沿x方向運動 其波函數(shù)為 1 將此波函數(shù)歸一化 2 求出粒子按坐標的概率分布函數(shù) 3 在何處找到粒子的概率最大 解 1 由歸一化條件 于是 即 2 概率分布函數(shù)為 3 找到粒子的概率最大 即 于是x 0 例題5 當勢能U r 改變一個常量c時 即U r U r c 粒子的波函數(shù)與時間無關的部分改變否 能量本征值改變否 解 由薛定諤方程 當勢能函數(shù) 將U r c代入方程中 故波函數(shù)與時間無關的部分不改變 能量本征值改變 例題6 設粒子在一維無限深方勢阱中運動 能量的量子數(shù)為n 試求 1 距勢阱內(nèi)壁四分之一寬度以內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率 2 n為何值時 在上述區(qū)域內(nèi)找到粒子的概率最大 3 當n 時該概率的極值 說明結果的物理意義 解 無限深方勢阱為 其歸一化波函數(shù)為 概率密度 1 在距內(nèi)壁四分之一寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為 其中 2 n 3時上述區(qū)域找到粒子的概率最大 其值為 3 與經(jīng)典結果相同 在勢阱內(nèi)粒子在各處出現(xiàn)的概率相等 量子力學過渡到經(jīng)典力學 所以 例題7 設粒子處在 0 a 范圍內(nèi)的一維無限深方勢阱中 波函數(shù)為 試求粒子能量的可能測量值及相應的概率 解 在一維無限深方勢阱中能量本征值 相應的能量本征函數(shù)為 題中所給波函數(shù)為本征函數(shù)的線性組合 做變換如下 例題8 求線性諧振子在第一激發(fā)態(tài)時 概率最大的位置 解 第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)為 令 三 力學量與算符 1 量子力學的基本原理之三力學量算符 在量子力學中 力學量用一個算符表示 通過的本征方程可求得本征函數(shù)和本征值 當體系處在態(tài)時 力學量有確定值 即 2 量子力學的基本原理之四全同粒子體系 微觀全同粒子體系的狀態(tài)不因其粒子相互交換位置而改變 這一規(guī)律稱為微觀粒子的全同性原理 換句話說 系統(tǒng)內(nèi)任意兩個全同粒子互相交換 都不改變系統(tǒng)的狀態(tài) 例題9 設一維運動的粒子處在 的狀態(tài) 其中 0 試求 1 歸一化因子 2 粒子坐標的概率分布 3 在何處找到粒子的概率最大 4 x和x2的平均值 解 1 求歸一化因子 注 式中運用定積分 a 0 n為整數(shù)時 2 粒子坐標的概率分布函數(shù) 即幾率密度函數(shù) 3 若求粒子概率最大處 令 找到粒子的概率最大 4 求x和x2的平均值 例題10 粒子在一維無限深勢阱中運動 其波函數(shù)為 計算動量和動能的平均值 解 動量算符 動量的平均值為 動能算符 四 原子中的電子 1 氫原子 氫原子的薛定諤方程 2 原子的電子殼層結構 泡利不相容原理 能量最小原理 n 0 7l 元素周期表 例題11 下列各量子數(shù)中 哪一組可以描述原子中電子的狀態(tài) A n 2 l 2 ml 0 ms 1 2 B n 3 l 1 ml 1 ms 1 2 C n 1 l 2 ml 1 ms 1 2 D n 1 l 0 ml 1 ms 1 2 例題12 根據(jù)量子論 氫原子核外電子的狀態(tài)可由四個量子數(shù)來確定 其中主量子數(shù)n可取的值為 它可決定什么 例題13 原子內(nèi)電子的量子態(tài)由n l ml及ms四個量子數(shù)表征 當n l ml一定時 不同的量子態(tài)數(shù)目為 當n l 一定時 不同的量子態(tài)數(shù)目為 當n一定時 不同的量子態(tài)數(shù)目為