人教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊同步測試 第28章銳角三角函數(shù)（共25頁）

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第二十八章 銳角三角函數(shù) 測試1 銳角三角函數(shù)定義 學(xué)習(xí)要求 理解一個銳角的正弦、余弦、正切的定義．能依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求給定銳角的三角函數(shù)值． 課堂學(xué)習(xí)檢測 一、填空題 1．如圖所示，B、B′是∠MAN的AN邊上的任意兩點(diǎn)，BC⊥AM于C點(diǎn)，B′C′⊥AM于C′點(diǎn)，則△BAC′∽______，從而，又可得 ①______，即在Rt△ABC中(∠C＝90)，當(dāng)∠A確定時，它的______與______的比是一個______值； ②______，即在Rt△ABC中(∠C＝90)，當(dāng)∠A確定時，它的______與______的比也是一個______； ③______，即在Rt△ABC中(∠C＝90)，當(dāng)∠A確定時，它的______與______的比還是一個______． 第1題圖 2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90． 第2題圖 ①＝______， ＝______； ②＝______， ＝______； ③＝______， ＝______． 3．因?yàn)閷τ阡J角a 的每一個確定的值，sina 、cosa 、tana 分別都有____________與它______，所以sina 、cosa 、tana 都是____________．又稱為a 的____________． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90，若a＝9，b＝12，則c＝______， sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90，若a＝1，b＝3，則c＝______， sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______． 6．在Rt△ABC中，∠B＝90，若a＝16，c＝30，則b＝______， sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90，若∠A＝30，則∠B＝______， sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______． 二、解答題 8．已知：如圖，Rt△TNM中，∠TMN＝90，MR⊥TN于R點(diǎn)，TN＝4，MN＝3． 求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR． 9．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB． 綜合、運(yùn)用、診斷 10．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90．D是AC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E點(diǎn)． DE∶AE＝1∶2． 求：sinB、cosB、tanB． 11．已知：如圖，⊙O的半徑OA＝16cm，OC⊥AB于C點(diǎn)， 求：AB及OC的長． 12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C點(diǎn)，AB＝16cm， (1)求⊙O的半徑OA的長及弦心距OC； (2)求cos∠AOC及tan∠AOC． 13．已知：如圖，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm， (1)求AB邊上的高CD； (2)求△ABC的面積S； (3)求tanB． 14．已知：如圖，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面積等于9，求sinB． 拓展、探究、思考 15．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，按要求填空： (1) ∴______； (2) ∴b＝______，c＝______； (3) ∴a＝______，b＝______； (4)∴______，______； (5) ∴______，______； (6)∵3，∴______，______． 16．已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OM為第一象限中的一條射線，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，以原點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑畫弧，交y軸于B點(diǎn)，交OM于P點(diǎn)，作CA⊥x軸交OM于C點(diǎn)．設(shè)∠XOM＝a ． 求：P點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)．(用a 的三角函數(shù)表示) 17．已知：如圖，△ABC中，∠B＝30，P為AB邊上一點(diǎn)，PD⊥BC于D． (1)當(dāng)BP∶PA＝2∶1時，求sin∠1、cos∠1、tan∠1； (2)當(dāng)BP∶PA＝1∶2時，求sin∠1、cos∠1、tan∠1． 測試2 銳角三角函數(shù) 學(xué)習(xí)要求 1．掌握特殊角(30，45，60)的正弦、余弦、正切三角函數(shù)值，會利用計算器求一個銳角的三角函數(shù)值以及由三角函數(shù)值求相應(yīng)的銳角． 2．初步了解銳角三角函數(shù)的一些性質(zhì)． 課堂學(xué)習(xí)檢測 一、填空題 1．填表． 銳角a 30 45 60 sina cosa tana 二、解答題 2．求下列各式的值． (1) (2)tan30－sin60sin30 (3)cos45＋3tan30＋cos30＋2sin60－2tan45 (4) 3．求適合下列條件的銳角a ． (1) (2) (3) (4) 4．用計算器求三角函數(shù)值(精確到0.001)． (1)sin23＝______； (2)tan5453′40″＝______． 5．用計算器求銳角a (精確到1″)． (1)若cosa ＝0.6536，則a ＝______； (2)若tan(2a ＋1031′7″)＝1.7515，則a ＝______． 綜合、運(yùn)用、診斷 6．已知：如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm， 求此菱形的周長． 7．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝10，AC＝5． 求：sin∠ACB的值． 8．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，∠BAC＝30，延長CA至D點(diǎn)，使AD＝AB．求： (1)∠D及∠DBC； (2)tanD及tan∠DBC； (3)請用類似的方法，求tan22.5． 9．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，，作∠DAC＝30，AD交CB于D點(diǎn)，求： (1)∠BAD； (2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD． 10．已知：如圖△ABC中，D為BC中點(diǎn)，且∠BAD＝90，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD． 拓展、探究、思考 11．已知：如圖，∠AOB＝90，AO＝OB，C、D是上的兩點(diǎn)，∠AOD＞∠AOC，求證： (1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1； (2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0； (3)銳角的正弦函數(shù)值隨角度的增大而______； (4)銳角的余弦函數(shù)值隨角度的增大而______． 12．已知：如圖，CA⊥AO，E、F是AC上的兩點(diǎn)，∠AOF＞∠AOE． (1)求證：tan∠AOF＞tan∠AOE； (2)銳角的正切函數(shù)值隨角度的增大而______． 13．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，求證： (1)sin2A＋cos2A＝1； (2) 14．化簡：(其中0＜a ＜90) 15．(1)通過計算(可用計算器)，比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想： ①sin30______2sin15cos15； ②sin36______2sin18cos18； ③sin45______2sin22.5cos22.5； ④sin60______2sin30cos30； ⑤sin80______2sin40cos40； ⑥sin90______2sin45cos45． 猜想：若0＜a ≤45，則sin2a ______2sina cosa ． (2)已知：如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2a ．請根據(jù)圖中的提示，利用面積方法驗(yàn)證你的結(jié)論． 16．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H點(diǎn)．在底邊BC保持不變的情況下，當(dāng)高AD變長或變短時，△ABC和△HBC的面積的積S△ABCS△HBC的值是否隨著變化?請說明你的理由． 測試3 解直角三角形(一) 學(xué)習(xí)要求 理解解直角三角形的意義，掌握解直角三角形的四種基本類型． 課堂學(xué)習(xí)檢測 一、填空題 1．在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系如下(如圖所示)： 在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝b，BC＝a，AB＝c， 第1題圖 ①三邊之間的等量關(guān)系： __________________________________． ②兩銳角之間的關(guān)系： __________________________________． ③邊與角之間的關(guān)系： ______； _______； _____； ______． ④直角三角形中成比例的線段(如圖所示)． 第④小題圖 在Rt△ABC中，∠C＝90，CD⊥AB于D． CD2＝_________；AC2＝_________； BC2＝_________；ACBC＝_________． ⑤直角三角形的主要線段(如圖所示)． 第⑤小題圖 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的_________，斜邊的中點(diǎn)是_________． 若r是Rt△ABC(∠C＝90)的內(nèi)切圓半徑，則r＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面積公式． 在Rt△ABC中，∠C＝90， S△ABC＝_________．(答案不唯一) 2．關(guān)于直角三角形的可解條件，在直角三角形的六個元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，這個三角形的形狀、大小就可以確定下來．解直角三角形的基本類型可分為已知兩條邊(兩條_________或斜邊和_________)及已知一邊和一個銳角(_________和一個銳角或_________和一個銳角) 3．填寫下表： 已知條件 解法 一條邊和 斜邊c和銳角∠A ∠B＝______，a＝______，b＝______ 一個銳角 直角邊a和銳角∠A ∠B＝______，b＝______，c＝______ 兩條邊 兩條直角邊a和b c＝______，由______求∠A，∠B＝______ 直角邊a和斜邊c b＝______，由______求∠A，∠B＝______ 二、解答題 4．在Rt△ABC中，∠C＝90． (1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b； (2)已知：，，求∠A、∠B，c； (3)已知：，，求a、b； (4)已知：求a、c； (5)已知：∠A＝60，△ABC的面積求a、b、c及∠B． 綜合、運(yùn)用、診斷 5．已知：如圖，在半徑為R的⊙O中，∠AOB＝2a ，OC⊥AB于C點(diǎn)． (1)求弦AB的長及弦心距； (2)求⊙O的內(nèi)接正n邊形的邊長an及邊心距rn． 6．如圖所示，圖①中，一棟舊樓房由于防火設(shè)施較差，想要在側(cè)面墻外修建一外部樓梯，由地面到二樓，再從二樓到三樓，共兩段(圖②中AB、BC兩段)，其中CC′＝ BB′＝3.2m．結(jié)合圖中所給的信息，求兩段樓梯AB與BC的長度之和(結(jié)果保留到0.1m)．(參考數(shù)據(jù)：sin30＝0.50，cos30≈0.87，sin35≈0.57，cos35≈0.82) 7．如圖所示，某公司入口處原有三級臺階，每級臺階高為20cm，臺階面的寬為30cm，為了方便殘疾人士，擬將臺階改為坡角為12的斜坡，設(shè)原臺階的起點(diǎn)為A，斜坡的起點(diǎn)為C，求AC的長度(精確到1cm)． 拓展、探究、思考 8．如圖所示，甲樓在乙樓的西面，它們的設(shè)計高度是若干層，每層高均為3m，冬天太陽光與水平面的夾角為30． (1)若要求甲樓和乙樓的設(shè)計高度均為6層，且冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，那么建筑時兩樓之間的距離BD至少為多少米?(保留根號) (2)由于受空間的限制，甲樓和乙樓的距離BD＝21m，若仍要求冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，那么設(shè)計甲樓時，最高應(yīng)建幾層? 9．王英同學(xué)從A地沿北偏西60方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時王英同學(xué)離A地多少距離? 10．已知：如圖，在高2m，坡角為30的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少米?(保留整數(shù)) 測試4 解直角三角形(二) 學(xué)習(xí)要求 能將解斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形． 課堂學(xué)習(xí)檢測 1．已知：如圖，△ABC中，∠A＝30，∠B＝60，AC＝10cm． 求AB及BC的長． 2．已知：如圖，Rt△ABC中，∠D＝90，∠B＝45，∠ACD＝60．BC＝10cm．求AD的長． 3．已知：如圖，△ABC中，∠A＝30，∠B＝135，AC＝10cm． 求AB及BC的長． 4．已知：如圖，Rt△ABC中，∠A＝30，∠C＝90，∠BDC＝60，BC＝6cm．求AD的長． 綜合、運(yùn)用、診斷 5．已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點(diǎn)C的俯角為30，測得岸邊點(diǎn)D的俯角為45，又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(答案可帶根號)． 6．已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn)A處測得燈塔M在北偏西30，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達(dá)B處，測得燈塔M在北偏西45，問該貨輪繼續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，) 7．已知：如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點(diǎn)．已知∠BAC＝60，∠DAE＝45．點(diǎn)D到地面的垂直距離，求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC． 8．已知：如圖，小明準(zhǔn)備測量學(xué)校旗桿AB的高度，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)斜坡正對著太陽時，旗桿AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，測得水平地面上的影長BC＝20m，斜坡坡面上的影長CD＝8m，太陽光線AD與水平地面成26角，斜坡CD與水平地面所成的銳角為30，求旗桿AB的高度(精確到1m)． 9．已知：如圖，在某旅游地一名游客由山腳A沿坡角為30的山坡AB行走400m，到達(dá)一個景點(diǎn)B，再由B地沿山坡BC行走320米到達(dá)山頂C，如果在山頂C處觀測到景點(diǎn)B的俯角為60．求山高CD(精確到0.01米)． 10．已知：如圖，小明準(zhǔn)備用如下方法測量路燈的高度：他走到路燈旁的一個地方，豎起一根2m長的竹竿，測得竹竿影長為1m，他沿著影子的方向，又向遠(yuǎn)處走出兩根竹竿的長度，他又豎起竹竿，測得影長正好為2m．問路燈高度為多少米? 11．已知：如圖，在一次越野比賽中，運(yùn)動員從營地A出發(fā)，沿北偏東60方向走了500到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30方向走了500m，到達(dá)目的地C點(diǎn)．求 (1)A、C兩地之間的距離； (2)確定目的地C在營地A的什么方向? 12．已知：如圖，在1998年特大洪水時期，要加固全長為10000m的河堤．大堤高5m，壩頂寬4m，迎水坡和背水坡都是坡度為1∶1的等腰梯形．現(xiàn)要將大堤加高1m，背水坡坡度改為1∶1.5．已知壩頂寬不變，求大壩橫截面面積增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石? 拓展、探究、思考 13．已知：如圖，在△ABC中，AB＝c，AC＝b，銳角∠A＝a ． (1)BC的長； (2)△ABC的面積． 14．已知：如圖，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，銳角∠A＝a ，∠B＝b ． (1)求AB的長； (2)求證： 15．已知：如圖，在Rt△ADC中，∠D＝90，∠A＝a ，∠CBD＝b ，AB＝a．用含a及a 、b 的三角函數(shù)的式子表示CD的長． 16．已知：△ABC中，∠A＝30，AC＝10，，求AB的長． 17．已知：四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD相交于E點(diǎn)，AC＝a，BD＝b，∠BEC＝a (0＜a ＜90)，求此四邊形的面積． 測試5 綜合測試 1．計算． (1) (2) 2．已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，AB＝32，BC＝12． 求：sin∠ACD及AD的長． 3．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D點(diǎn)，AB＝2m，BD＝m－1， (1)用含m的代數(shù)式表示BC； (2)求m的值； 4．已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，BE＝2EC，DM⊥AE于M點(diǎn)．求DM的長． 5．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A＝45，∠C＝90，∠ABD＝75，∠DBC＝ 30，AB＝2a．求BC的長． 6．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90，∠D＝60，．AB＝3，求BC的長． 7．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝m，銳角∠A＝a ， (1)求⊙O的半徑R； (2)求△ABC的面積的最大值． 8．已知：如圖，矩形紙片ABCD中，BC＝m，將矩形的一角沿過點(diǎn)B的直線折疊，使A點(diǎn)落在DC邊上，落點(diǎn)記為A′，折痕交AD于E，若∠A′BE＝a ． 求證： 答案與提示 第二十八章 銳角三角函數(shù) 測試1 1．△BAC，AB，AC′． ①，對邊，斜邊，固定； ②，鄰邊，斜邊，固定值； ③，對邊，鄰邊，固定值． 2．①∠A的對邊，∠B的對邊， ②∠A的鄰邊，∠B的鄰邊， ③∠A的對邊，∠B的鄰邊， 3．唯一確定的值，對應(yīng)，a 的函數(shù)，銳角三角函數(shù)． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11．AB＝2AC＝2AOsin∠AOC＝24cm， 12． 13．(1)CD＝ACsinA＝4cm；(2) (3) 14． 15．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 16．P(cosa ，sina )，C(1，tana )．提示：作PD⊥x軸于D點(diǎn)． 17．(1) (2) 提示：作AE⊥BC于E，設(shè)AP＝2． 測試2 1． 銳角a 30 45 60 sina cosa tana 1 2．(1)0； (2) (3) (4) 3．(1)a ＝60；(2)a ＝30；(3)22.5；(4)46． 4．(1)0.391；(2)1.423． 5．(1)4911＇11″；(2)2452＇44″． 6．104cm．提示：設(shè)DE＝12xcm，則得AD＝13xcm，AE＝5xcm．利用BE＝16cm． 列方程8x＝16．解得x＝2． 7．提示：作BD⊥CA延長線于D點(diǎn)． 8．(1)∠D＝15，∠DBC＝75； (2) (3) 9．(1)15； (2) 10．提示：作DE∥BA，交AC于E點(diǎn)，或延長AD至F，使DF＝ AD，連結(jié)CF． 11．提示：作CE⊥OA于E，作DF⊥OA于F． (3)增大， (4)減小． 12．(2)增大． 13．提示：利用銳角三角函數(shù)定義證． 14．原式 15．(1)①～⑥略．sin2a ＝2sina cosa ． (2) ∴sin2a ＝2sina cosa ． 16．不發(fā)生改變，設(shè)∠BAC＝2a ，BC＝2m，則 測試3 1．①a2＋b2＝c2； ②∠A＋∠B＝90； ③ ④ADBD，ADAB，BDBA，ABCD： ⑤一半，它的外心，(或) ⑥或(h為斜邊上的高)或或或 (r為內(nèi)切圓半徑) 2．兩個元素，有一個是邊，直角邊，一條直角邊，斜邊，一條直角邊． 3．90－∠A，sinA，cosA； 4．(1)∠A＝45，∠B＝45，b＝35； (2)∠A＝60，∠B＝30，c＝4； (3) (4) (5) 5．(1)AB＝2Rsina ，OC＝Rcosa ； (2) 6．AB≈6.40米，BC≈5.61米，AB＋BC≈12.0米． 7．約為222cm． 8．(1)米． (2)4層，提示：設(shè)甲樓應(yīng)建x層則 9． 10．6米． 測試4 1． 2．cm． 3．提示：作CD⊥AB延長線于D點(diǎn)． 4．cm． 5．山高 6．約為27.3海里． 7．． 8．約為17m，提示：分別延長AD、BC，設(shè)交點(diǎn)為E，作DF⊥CE于F點(diǎn)． 9．約477.13m． 10．10m． 11．(1)AC＝1 000m； (2)C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東30方向上． 12．面積增加24m2，需用240 000m2土石． 13．(1)提示：作CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD＝bsina ， AD＝bcosa ．再利用BC2＝CD2＋DB2的關(guān)系，求出BC． (2) 14．(1)AB＝bcosa ＋acosb . 提示：作CD⊥AB于D點(diǎn)． (2)提示：由bsina ＝CD＝asinb 可得bsina ＝asinb ，從而． 15．提示：AB＝AD－BD＝CD tan(90－a )－CD tan(90－b ) ＝CD〔tan(90－a )－tan(90－b )〕， 或 16．或提示：AB邊上的高CD的垂足D點(diǎn)可能在AB邊上(這時AB＝ ，也可能在AB邊的延長線上(這時)． 17． 測試5 1．(1) (2) 2． 3．(1)或 (2) 4． 5．．提示：作BE⊥AD于E點(diǎn)． 6．BC＝6．提示：分別延長AB、DC，設(shè)它們交于E點(diǎn)． 7．(1)提示：作⊙O的直徑BA＇，連結(jié)A＇C． (2)提示：當(dāng)A點(diǎn)在優(yōu)弧BC上且AO⊥BC時，△ABC有面積的最大值． 8．提示： 25