北京大學(xué)量子力學(xué)課件第26講.ppt

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第二十六講 全同粒子的交換不變性的后果 1 兩全同粒子的波函數(shù)若兩全同粒子 它們的相互作用是變量可分離型的 即 可以證明 若粒子自旋為 則在兩粒子自旋交換時(shí)的對稱性為 若兩粒子都處于態(tài) 而總角動(dòng)量為 其交換對稱性為 則應(yīng)滿足偶 2 由于全同粒子交換不變性 而使體系可能處的狀態(tài)數(shù)目不同 例 設(shè)有三個(gè)粒子處于 不同量子數(shù)單態(tài) A 玻色子3個(gè)處2個(gè)處各處同一態(tài)同一態(tài)一個(gè)態(tài)B 費(fèi)米子1各處一個(gè)態(tài) 3 由于全同粒子交換不變性 而使體系的幾率分布不一樣 4 由于全同粒子交換不變性 在散射時(shí) 散射截面不一樣 當(dāng)兩粒子散射時(shí) 粒子散射到 處 即偏轉(zhuǎn)角的散射幾率為 粒子1如散射到 處 其偏轉(zhuǎn)角為 散射幾率為 A 玻色子 自旋為0 散射幾率為 即 分不出 由于 為偶 如自旋為1 非極化散射幾率為 自旋 自旋自旋 5 由于全同粒子交換不變性 使體系所處的狀態(tài)結(jié)構(gòu)也不同元素周期表的規(guī)律正是由于電子為費(fèi)米子 PauliexclusionPrinciple起作用的結(jié)果 例 粒子處于一維諧振子勢中 單粒子波函數(shù)相應(yīng)能量為對個(gè)玻色子 基態(tài)是所有粒子都處于態(tài) 每個(gè)粒子平均能量為 B 費(fèi)米子 自旋 自旋為的費(fèi)米子非極化的散射幾率 但對個(gè)無相互作用的費(fèi)米子 基態(tài)是二個(gè)處于 二個(gè)處于 N為偶 N為奇所以 每個(gè)粒子平均能量為 定態(tài)微擾論這里討論的是與無關(guān)設(shè) 要求其本征值和本征函數(shù)其中很接近 且有解析解 而是小量 為易于表達(dá)其大小的量級 1 非簡并能級的微擾論設(shè) 的本征值和本征函數(shù)為 構(gòu)成一正交 歸一完備組 現(xiàn)求解即 求 的步驟是通過逐級逼近來求精確解 即將 對展開 即對矩陣元展開 從 出發(fā)求 當(dāng) 即 非簡并微擾論就是處理的那一條能級是非簡并的 或即使有簡并 但相應(yīng)的簡并態(tài)并不影響處理的結(jié)果 A 一級微擾近似以標(biāo)積以 標(biāo)積 因此 在一級近似下 歸一化準(zhǔn)至一級 所以 在這條能級為非簡并時(shí) 其能量的一級修正恰等于微擾項(xiàng)在無微擾狀態(tài)的平均值 例1 考慮一個(gè)粒子在位勢 準(zhǔn)至一級修正的能量為 從這可以看到微擾論的應(yīng)用限度 如準(zhǔn)到一級 可以看出 完全是分立能級 但事實(shí)上 當(dāng)時(shí) 粒子是自由的 因此 能級是連續(xù)的 可取任何值 所以 要一級修正比較精確 則必須 即經(jīng)典和量子的差別 經(jīng)典粒子不能運(yùn)動(dòng)到區(qū)域中去 而在量子力學(xué)中 粒子有一定幾率在 區(qū)域中 在這區(qū)域中 有所以粒子受到的排斥力比處于純諧振子勢中的粒子小 以至于 事實(shí)上 由于由定理可證得例2 求氦原子的基態(tài)能量 設(shè) 的基態(tài)為 即 于是以方向?yàn)閆方向 所以 由于 所以 準(zhǔn)至一級的能量為B 二級微擾 當(dāng)微擾較大時(shí) 或一級微擾為零時(shí) 則二級微擾就變得重要了 由項(xiàng)得 以進(jìn)行標(biāo)積得 以進(jìn)行標(biāo)積得 所以準(zhǔn)至二級的能量和波函數(shù) 由準(zhǔn)至二級的歸一化波函數(shù)為 顯然 要使近似解逼近真實(shí)解 就要恰當(dāng)選取 而且要求 這樣取一級近似才可以滿足精度要求 例 剛體轉(zhuǎn)子的斯塔克效應(yīng) StarkEffect 將體系置于外電場中 能級發(fā)生移動(dòng)的現(xiàn)象稱為StarkEffect 設(shè) 轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量為 電偶極為 當(dāng)置于均勻外電場中 取電場方向?yàn)閦 顯然 有重簡并 由于 因此 運(yùn)算到的本征態(tài)上 不改變其本征值由遞推關(guān)系 于是所以 盡管每一條能級有重簡并 但是 對某一態(tài)有相互作用的是那些同能級 因此 如考慮未微擾的能級態(tài)為 則只需要考慮 而 對和都沒有任何影響 所以 可看作 沒有簡并 的態(tài) 從而可用非簡并 微擾論來處理 由這可看出 簡并部分解除 同不同的能量不同 但相同 和態(tài)仍簡并 即重簡并條 不簡并 而其他的為二重簡并 簡并的解除 實(shí)際上是的對稱性被破壞 如沒有完全解除 那實(shí)際上對稱性沒有完全被破壞 2 堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常塞曼效應(yīng)A 堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)堿金屬原子有一個(gè)價(jià)電子 它受到來自原子核和其他電子提供的屏蔽庫侖場作用 價(jià)電子的哈密頓量為 取選力學(xué)量完全集則能量與無關(guān) 所以 的本征值及徑向波函數(shù)是與無關(guān) 對和是簡并的 一級微擾 對所以 一級微擾修正與有關(guān) 前面已討論過因此 這即觀測到的納光譜的雙線結(jié)構(gòu)的原因 B 反常塞曼效應(yīng) 在較強(qiáng)磁場中 原子光譜線分裂的現(xiàn)象 一般分為三條 稱為正常塞曼效應(yīng) 即使考慮自旋 而自旋 軌道耦合和項(xiàng)可忽 也同樣 因 當(dāng)磁場較弱時(shí) 與引起的附加能量可比較時(shí) 就不能忽略自旋 軌道相互作用項(xiàng)而僅考慮項(xiàng) 這時(shí) 哈密頓量 在均勻外磁場下 取方向?yàn)榉较?則 忽略 這時(shí) 簡并度為 即對簡并 選 是磁場為零時(shí)的能量本征方程的本征值 當(dāng)置入弱磁場 均勻 取方向 而引起能級移動(dòng) 在一級微擾下 所以 當(dāng)放入弱磁場中 能級由根據(jù)偶極躍遷選擇定則 有四條光譜線 所以 這時(shí)每條能譜線的多重態(tài)是偶數(shù) 多重態(tài)的能級間距隨不同能級而不同 而光譜線也是偶數(shù)條 3 簡并能級的微擾論當(dāng)體系的一些能級是簡并時(shí) 那考慮這些能級所受的擾動(dòng)影響時(shí) 就不一定能利用上述公式 因這時(shí)初態(tài)不能確定處于那一個(gè)簡并態(tài)上 而一級波函數(shù)修正當(dāng) 即與簡并的態(tài) 則分母為零