力學量算符和量子力學公式的矩陣表.ppt

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4 2力學量算符和量子力學公式的矩陣表示 一 力學量算符的矩陣表示二 量子力學公式的矩陣表示 4 2力學量算符和量子力學公式的矩陣表示 量子力學的三個基本要素是波函數(shù) 算符和薛定格方程 上一節(jié)講了波函數(shù)的矩陣表示 為了保證理論體系的一致性 必須實現(xiàn)力學量算符與量子力學公式的矩陣表示 在量子力學中 將坐標表象下的表示稱為波動力學方法 把任意力學量表象下的表示稱為矩陣力學方法 在量子力學的歷史上 上述兩種表示方法幾乎是同時發(fā)展起來的 后來 狄拉克證明了它們是等價的 一 力學量算符的矩陣表示 力學量滿足的本征方程 算符滿足 把波函數(shù) 分別向展開 代入到算符方程中 得 上式兩端做運算 得 令 則 稱為算符在表象中的矩陣元 算符在表象中的矩陣形式為 因為是厄米算符 所以它的矩陣元的復共軛為 即矩陣中關于對角線對稱的元素一定互為復共軛 或者 它表明矩陣是厄米矩陣 一般說來 實的對稱矩陣都是厄米矩陣 特例 力學量算符在自身表象中的矩陣 算符在自身表象下是一個對稱矩陣 并且本征值就是對角元素 它的陣跡就是全部本征值之和 說明 1 欲求力學量在表象下的矩陣表示 必須知道力學量的本征解 才能計算的矩陣元 2 不論在任何具體表象中 任何厄米算符的矩陣元一定是一個數(shù)值 故其可以在公式中隨意移動位置 3 在不同的表象中 算符的矩陣元可能會不同 但是該算符的本征值不會改變 4 如果的本征值為連續(xù)譜 則 構成正交歸一完備基矢組 算符滿足 把波函數(shù) 分別向展開 代入到算符方程中 得 上式兩端做運算 得 其中 算符的矩陣元 例1 坐標表象中的矩陣元為 其中 為變數(shù) 為本征值 例2 動量表象中的矩陣元為 或 例3 動量表象中的矩陣元為 例4 求一維諧振子中 坐標算符 動量算符和能量算符在能量表象中的矩陣表示 解 坐標算符 動量算符和能量算符在能量表象中的矩陣元分別為 所以 它們的矩陣表示分別是 二 量子力學公式的矩陣表示 1 算符方程 以下內(nèi)容都是在表象下的表示 或簡寫為 2 本征方程 或簡寫為 方程有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零 因為任意力學量在自身表象中的矩陣都是對角的 所以 通常把求解本征方程的過程稱為矩陣對角化的過程 3 薛定格方程 式中 4 平均值公式 對同一個物理問題可以在不同的表象下處理 盡管在不同的表象下 波函數(shù)及算符的矩陣元是不同的 但最后所得到的物理結果 力學量的可能取值 取值幾率和平均值 卻都是一樣的 因為我們所關心的只是有物理意義的結果 所以 允許對表象作選擇 如果選取了一個合適的表象 將使問題得到簡化 這也就是表象理論的價值所在 例5 已知力學量在某表象中的矩陣表示為 求它的本征值和歸一化波函數(shù) 并將對角化 解 首先 求解本征值方程 下面求本征函數(shù) 把波函數(shù)歸一化 同理 最后 把矩陣對角化