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2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 文(含解析) (IV)
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。）
1.已知集合 ，則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析：由得，所以，因為，所以，故選D.
【考點】 一元二次不等式的解法，集合的運算
【名師點睛】對于集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理.
【此處有視頻，請去附件查看】
2.已知拋物線的焦點坐標是（0，-3），則拋物線的標準方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)焦點的坐標，確定拋物線的開口方向，同時求得2p的值，進而求得拋物線的方程.
【詳解】由于焦點坐標為0,?3，故焦點在y軸負半軸上，且p2=3,2p=12，故拋物線方程為x2=?12y.
【點睛】本小題主要考查已知拋物線的焦點坐標，求拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題.
3.若a
1a B. 1a>1b C. a>b D. a2>b2
【答案】A
【解析】
由不等式的性質(zhì)可得選項B,C,D正確．對于選項A，由于a2”是“x2?3x+2>0”的充分不必要條件.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題的知識判斷A選項是否正確，根據(jù)逆否命題的知識判斷B選項是否正確，根據(jù)含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的知識判斷C選項是否正確，根據(jù)充分必要條件的知識判斷D選項是否正確.
【詳解】對于A選項，p為特稱命題，其否定為全稱命題，敘述正確.對于B選項，逆否命題是交換條件和結(jié)論，并同時進行否定，敘述正確.對于C選項，p∧q為假命題，則p,q中至少有一個假命題，故C選項敘述錯誤.對于D選項.由x2?3x+2>0解得x<1或x>2，故x>2是x2?3x+2>0的充分不必要條件.綜上所述，本題選C.
【點睛】本小題主要考查特稱命題的否定、考查逆否命題，考查含有邏輯連接詞命題真假性判斷，考查充分、必要條件的判斷以及考查一元二次不等式的解法等知識.全稱命題和特稱命題互為否定.逆否命題是交換條件和結(jié)論，并同時進行否定. p∧q為假命題，則p,q中至少有一個假命題. p∧q為真，則p,q都是真命題.
9.若變量x，y滿足約束條件x+y?3≤0x?y+1≥0y≥1，則z=2x?y的最大值為
A. ?1 B. 0 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
試題分析：畫出可行域為一個三角形，再畫出目標函數(shù)，通過平移可知，在點(2,1)處取得最大值，最大值為3.
考點：本小題主要考查利用線性規(guī)劃知識求目標函數(shù)的最值，考查學生畫圖、用圖的能力.
點評：對于線性規(guī)劃知識，關(guān)鍵是正確畫出可行域和目標函數(shù).
10.已知正數(shù)，b是方程x2+mx+8=0的兩個根，則a+b的最小值是（ ）
A. 8 B. 42 C. 22 D. 82
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)韋達定理可得ab=8，再根據(jù)基本不等式求得a+b的最小值.
【詳解】根據(jù)題意可得ab=8，且a,b為正數(shù)，由基本不等式得a+b≥2ab=42，當且僅當a=b=22時等號成立，故選B.
【點睛】本小題主要考查韋達定理，考查利用基本不等式求和式的最小值.屬于基礎(chǔ)題.
11.在拋物線y2=2px上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則 p的值為（ ）
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
試題分析：拋物線的準線方程為x=-p2，
由拋物線的定義知4+p2=5，解得P=2．故選C
考點：本題主要考查拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)。
點評：簡單題，運用拋物線焦半徑公式。
12.過拋物線y2=4x的焦點F作斜率為1的直線，交拋物線于A,B兩點,若AF=λFB λ>1，則等于（ ）
A. 2+1 B. 3+22 C. 5+1 D. 3+1
【答案】B
【解析】
【分析】
求出F的坐標，根據(jù)點斜式寫出直線的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，解得A,B兩點的坐標，根據(jù)AF=λFB，求得的值.
【詳解】依題意可知，拋物線的焦點為F1,0，由點斜式得直線的方程為y=x?1，代入拋物線方程得x?12=4x，解得A3+22,2+22,B3?22,2?22，故AF=?2?22,?2?22,,FB=2?22,2?22，由于AF=λFB，即?2?22=λ2?22，解得λ=3+22.故選B.
【點睛】本小題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查拋物線的焦點坐標，考查直線的點斜式方程，考查了求解直線和拋物線交點坐標的方法，考查向量共線的坐標表示，屬于中檔題.對于拋物線y2=2px來說，其焦點坐標為p2,0.直線的點斜式方程為y?y0=kx?x0.
二、填空題：（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）
13.某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300米和500米，測得燈塔A在觀察站C北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東30處，則兩燈塔A、B間的距離為__．
【答案】700米
【解析】
【分析】
先求得∠ACB的值，然后利用余弦定理求得A,B兩點間的距離.
【詳解】依題意可知∠ACB=180°?30°?30°=120°，由于AC=300,BC=500，根據(jù)余弦定理得AB2=AC2+BC2?2AC?BC?cos120°，解得AB=700米.
【點睛】本小題主要考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題，要注意的是，填空題要寫單位.
14.過拋物線y2=2x的焦點作直線交拋物線于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，若x1+x2=3，則|PQ|=__．
【答案】4
【解析】
【分析】
根據(jù)過拋物線焦點的弦長公式，求得PQ的值.
【詳解】依題意，拋物線p=1，由于過拋物線焦點的弦長公式為x1+x2+p，故PQ=x1+x2+p=3+1=4.
【點睛】本小題主要考查過拋物線焦點的弦長公式，考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
15.點P是雙曲線x29?y216=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，若|PF1|＝10，則|PF2|=_____
【答案】4或16
【解析】
【分析】
根據(jù)雙曲線的定義列方程，解方程求得PF2的值.
【詳解】根據(jù)雙曲線的定義可知PF1?PF2=2a=6，即10?PF2=6，10?PF2=6，解得PF2=4或16.
【點睛】本小題主要考查雙曲線的定義，考查含有絕對值的方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.
16.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F，A(?a,0)，B(0,b)是兩個頂點，如果F到直線AB的距離等于b7，則橢圓的離心率為_____________.
【答案】12
【解析】
試題分析：設(shè)F1到AB的垂足為D，因為∠F1DA=∠BOA=900,∠A為公共角，所以ΔADF1～ΔAOB，所以AF1AB=DF1OB，所以a?ca2+b2=b7b=77，因為b2=a2?c2，所以(a?c)22a2?c2=17，化簡得到5a2?14ac+8c2=0，解得a=2c或a=45c（舍去），所以e=ca=12.
考點：橢圓的幾何性質(zhì).
【方法點晴】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到橢圓的標準方程、三角形相似與相似比的應(yīng)用，以及橢圓中b2=a2?c2等知識點的綜合考查，本題的解答中利用左焦點F1到AB的距離建立等式是解得的關(guān)鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.
三、解答題（本大題共6小題，17---21每題12分，22題10分，共70分）
17.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=?7，S3=?15．
（1）求{an}的通項公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．
【解析】
分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得Sn的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.
詳解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通項公式為an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．
點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件.
18.△ABC中D是BC上的點,AD平分∠BAC,BD=2DC.
（1）求sin∠Bsin∠C ；
（2）若∠BAC=60°,求∠B.
【答案】（1）12；（2）30°
【解析】
試題分析：（1）由角平分線定理可將BD=2DC轉(zhuǎn)化為AB=2AC，在三角形ABC中利用正弦定理可求得sin∠Bsin∠C的比值；（2）由內(nèi)角和定理可得B+C=120°，將C用B表示，代入（1）的結(jié)論中可得到關(guān)于B的三角函數(shù)值，求得B角
試題解析：（1）由正弦定理得ADsin∠B=BDsin∠BAD,ADsin∠C=DCsin∠CAD,因為AD平分∠BAC，BD=2DC，所以sin∠Bsin∠C=DCBD=12.．
（2）因為∠C=180°?(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,
所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=32cos∠B+12sin∠B.由（1）知2sin∠B=sin∠C，
所以tan∠B=33,∠B=30°.
考點：1．正弦定理解三角形；2．同角間的三角函數(shù)公式
19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，點(2,2)在C上
（1）求C的方程
（2）直線不過原點O且不平行于坐標軸，與C有兩個交點A,B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線的斜率的乘積為定值.
【答案】（1）x28+y24=1 （2）kOM?k=?12
【解析】
試題分析：（Ⅰ）由a2?b2a=22,4a2+2b2=1,求得a2=8,b2=4,由此可得C的方程.（II）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得(2k2+1)x2+4kbx+2b2?8=0.,所以xM=x1+x22=?2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1,于是kOM=yMxM=?12k, ?kOM?k=?12.
試題解析：
解：（Ⅰ）由題意有a2?b2a=22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4,所以橢圓C的方程為x282+y242=1.
（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),把y=kx+b代入x282+y242=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2?8=0.
故xM=x1+x22=?2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1,于是直線OM的斜率kOM=yMxM=?12k,即kOM?k=?12,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.
考點：本題主要考查橢圓方程、直線與橢圓及計算能力、邏輯推理能力.
【此處有視頻，請去附件查看】
20.已知直線l:y=x+m ，拋物線C:y2=4x，
（1）當l與C有兩個公共點時，求的取值范圍；
（2）l與C相交于A、B兩點，線段AB的中點的橫坐標為5，求m的值。
【答案】（1） m<1 （2）m=?3
【解析】
【分析】
（1）聯(lián)立直線和拋物線的方程，消去y，整理后利用判別式大于零，求得m的取值范圍.（2）由（1）寫出x1+x2的表達式，利用x1+x22=5求得m的值.
【詳解】（1）聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程得y=x+my2=4x，消去y得x2+2m?4x+m2=0.由于直線和拋物線有兩個公共點，故上述一元二次方程的判別式2m?42?4m2>0，解得m<1.（2）設(shè)A,B兩點的橫坐標分別為x1,x2，由（1）知x1+x2=4?2m，依題意x1+x22=5，即2?m=5,m=?3.
【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，考查直線和拋物線相交所得弦的中點有關(guān)的問題.屬于中檔題.研究拋物線和直線交點的個數(shù)問題，需要將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，化簡為一元二次方程的形式，然后根據(jù)判別式來判斷交點的根數(shù).
21.已知焦距為4的雙曲線的焦點在x軸上，且過點P(2,3).
（Ⅰ）求該雙曲線方程 ；
（Ⅱ）若直線m經(jīng)過該雙曲線的右焦點且斜率為1，求直線m被雙曲線截得的弦長.
【答案】(1)x2?y23=1；（2）|AB|="6" 。
【解析】
試題分析：(1)設(shè)雙曲線方程為（a,b＞0）
左右焦點F1、F2的坐標分別為（-2，0）（2，0） 1分
則|PF1|－|PF2|=2=2，所以=1， ,3分
又c=2,b=35分
所以方程為x2?y23=16分
（2）直線m方程為y=x－2 7分
聯(lián)立雙曲線及直線方程消y得2 x2+4x-7=0 9分
設(shè)兩交點A(x1,y1)，B(x2,y2)x1+x2=-2, x1x2=-3.5 10分
由弦長公式得|AB|=6 12分
考點：雙曲線的定義、幾何性質(zhì)、標準方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系。
點評：中檔題，求圓錐曲線的標準方程，往往利用定義或曲線的幾何性質(zhì)，確定a,b,c,e等。涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，往往聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達定理，簡化解題過程。本題直接利用弦長公式，計算較為簡便。
22.給定兩個命題，p：對任意實數(shù)x都有ax2+ax+1>0恒成立；q：a2+8a?20<0．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】﹣10＜a＜0或2≤a＜4.
【解析】
試題分析：根據(jù)已知求出兩個簡單命題p,q中參數(shù)的取值范圍，命題p:0≤a＜4，命題；再根據(jù)復合命題的真假，判斷簡單命題的真假，分兩種情況進行討論，（1） 當真假時；（2）當假真時，從而得到實數(shù)的取值范圍.
試題解析：解：命題：ax2+ax+1＞0恒成立
當a=0時，不等式恒成立，滿足題意）
當a≠0時，，解得0＜a＜4
∴0≤a＜4
命題：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2
∵為真命題，為假命題∴有且只有一個為真，
當真假時得
當假真時得
所以﹣10＜a＜0或2≤a＜4
考點：復合命題的真假判斷.
2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 文(含解析) (IV).doc
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