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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 文(含解析) (IV)
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。）
1.已知集合 ，則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析：由得，所以，因?yàn)?，所以，故選D.
【考點(diǎn)】 一元二次不等式的解法，集合的運(yùn)算
【名師點(diǎn)睛】對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理.
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2.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-3），則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，同時(shí)求得2p的值，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的方程.
【詳解】由于焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,?3，故焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且p2=3,2p=12，故拋物線(xiàn)方程為x2=?12y.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線(xiàn)的方程，屬于基礎(chǔ)題.
3.若a
1a B. 1a>1b C. a>b D. a2>b2
【答案】A
【解析】
由不等式的性質(zhì)可得選項(xiàng)B,C,D正確．對(duì)于選項(xiàng)A，由于a2”是“x2?3x+2>0”的充分不必要條件.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題的知識(shí)判斷A選項(xiàng)是否正確，根據(jù)逆否命題的知識(shí)判斷B選項(xiàng)是否正確，根據(jù)含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的知識(shí)判斷C選項(xiàng)是否正確，根據(jù)充分必要條件的知識(shí)判斷D選項(xiàng)是否正確.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，p為特稱(chēng)命題，其否定為全稱(chēng)命題，敘述正確.對(duì)于B選項(xiàng)，逆否命題是交換條件和結(jié)論，并同時(shí)進(jìn)行否定，敘述正確.對(duì)于C選項(xiàng)，p∧q為假命題，則p,q中至少有一個(gè)假命題，故C選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng).由x2?3x+2>0解得x<1或x>2，故x>2是x2?3x+2>0的充分不必要條件.綜上所述，本題選C.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查特稱(chēng)命題的否定、考查逆否命題，考查含有邏輯連接詞命題真假性判斷，考查充分、必要條件的判斷以及考查一元二次不等式的解法等知識(shí).全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題互為否定.逆否命題是交換條件和結(jié)論，并同時(shí)進(jìn)行否定. p∧q為假命題，則p,q中至少有一個(gè)假命題. p∧q為真，則p,q都是真命題.
9.若變量x，y滿(mǎn)足約束條件x+y?3≤0x?y+1≥0y≥1，則z=2x?y的最大值為
A. ?1 B. 0 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
試題分析：畫(huà)出可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形，再畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)平移可知，在點(diǎn)(2,1)處取得最大值，最大值為3.
考點(diǎn)：本小題主要考查利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求目標(biāo)函數(shù)的最值，考查學(xué)生畫(huà)圖、用圖的能力.
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)，關(guān)鍵是正確畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù).
10.已知正數(shù)，b是方程x2+mx+8=0的兩個(gè)根，則a+b的最小值是（ ）
A. 8 B. 42 C. 22 D. 82
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)韋達(dá)定理可得ab=8，再根據(jù)基本不等式求得a+b的最小值.
【詳解】根據(jù)題意可得ab=8，且a,b為正數(shù)，由基本不等式得a+b≥2ab=42，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)等號(hào)成立，故選B.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查韋達(dá)定理，考查利用基本不等式求和式的最小值.屬于基礎(chǔ)題.
11.在拋物線(xiàn)y2=2px上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則 p的值為（ ）
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
試題分析：拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-p2，
由拋物線(xiàn)的定義知4+p2=5，解得P=2．故選C
考點(diǎn)：本題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)。
點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，運(yùn)用拋物線(xiàn)焦半徑公式。
12.過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F作斜率為1的直線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),若AF=λFB λ>1，則等于（ ）
A. 2+1 B. 3+22 C. 5+1 D. 3+1
【答案】B
【解析】
【分析】
求出F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，解得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)AF=λFB，求得的值.
【詳解】依題意可知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F1,0，由點(diǎn)斜式得直線(xiàn)的方程為y=x?1，代入拋物線(xiàn)方程得x?12=4x，解得A3+22,2+22,B3?22,2?22，故AF=?2?22,?2?22,,FB=2?22,2?22，由于AF=λFB，即?2?22=λ2?22，解得λ=3+22.故選B.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，考查了求解直線(xiàn)和拋物線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.對(duì)于拋物線(xiàn)y2=2px來(lái)說(shuō)，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2,0.直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程為y?y0=kx?x0.
二、填空題：（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）
13.某觀(guān)察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300米和500米，測(cè)得燈塔A在觀(guān)察站C北偏東30，燈塔B在觀(guān)察站C南偏東30處，則兩燈塔A、B間的距離為_(kāi)_．
【答案】700米
【解析】
【分析】
先求得∠ACB的值，然后利用余弦定理求得A,B兩點(diǎn)間的距離.
【詳解】依題意可知∠ACB=180°?30°?30°=120°，由于AC=300,BC=500，根據(jù)余弦定理得AB2=AC2+BC2?2AC?BC?cos120°，解得AB=700米.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題，要注意的是，填空題要寫(xiě)單位.
14.過(guò)拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2=3，則|PQ|=__．
【答案】4
【解析】
【分析】
根據(jù)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式，求得PQ的值.
【詳解】依題意，拋物線(xiàn)p=1，由于過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式為x1+x2+p，故PQ=x1+x2+p=3+1=4.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式，考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
15.點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)x29?y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝10，則|PF2|=_____
【答案】4或16
【解析】
【分析】
根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義列方程，解方程求得PF2的值.
【詳解】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知PF1?PF2=2a=6，即10?PF2=6，10?PF2=6，解得PF2=4或16.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線(xiàn)的定義，考查含有絕對(duì)值的方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.
16.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，A(?a,0)，B(0,b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果F到直線(xiàn)AB的距離等于b7，則橢圓的離心率為_(kāi)____________.
【答案】12
【解析】
試題分析：設(shè)F1到AB的垂足為D，因?yàn)椤螰1DA=∠BOA=900,∠A為公共角，所以ΔADF1～ΔAOB，所以AF1AB=DF1OB，所以a?ca2+b2=b7b=77，因?yàn)閎2=a2?c2，所以(a?c)22a2?c2=17，化簡(jiǎn)得到5a2?14ac+8c2=0，解得a=2c或a=45c（舍去），所以e=ca=12.
考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì).
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、三角形相似與相似比的應(yīng)用，以及橢圓中b2=a2?c2等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，本題的解答中利用左焦點(diǎn)F1到AB的距離建立等式是解得的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.
三、解答題（本大題共6小題，17---21每題12分，22題10分，共70分）
17.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=?7，S3=?15．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．
【解析】
分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sn的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.
詳解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．
點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問(wèn)題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.
18.△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,BD=2DC.
（1）求sin∠Bsin∠C ；
（2）若∠BAC=60°,求∠B.
【答案】（1）12；（2）30°
【解析】
試題分析：（1）由角平分線(xiàn)定理可將BD=2DC轉(zhuǎn)化為AB=2AC，在三角形ABC中利用正弦定理可求得sin∠Bsin∠C的比值；（2）由內(nèi)角和定理可得B+C=120°，將C用B表示，代入（1）的結(jié)論中可得到關(guān)于B的三角函數(shù)值，求得B角
試題解析：（1）由正弦定理得ADsin∠B=BDsin∠BAD,ADsin∠C=DCsin∠CAD,因?yàn)锳D平分∠BAC，BD=2DC，所以sin∠Bsin∠C=DCBD=12.．
（2）因?yàn)椤螩=180°?(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,
所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=32cos∠B+12sin∠B.由（1）知2sin∠B=sin∠C，
所以tan∠B=33,∠B=30°.
考點(diǎn)：1．正弦定理解三角形；2．同角間的三角函數(shù)公式
19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，點(diǎn)(2,2)在C上
（1）求C的方程
（2）直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)的斜率的乘積為定值.
【答案】（1）x28+y24=1 （2）kOM?k=?12
【解析】
試題分析：（Ⅰ）由a2?b2a=22,4a2+2b2=1,求得a2=8,b2=4,由此可得C的方程.（II）把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立得(2k2+1)x2+4kbx+2b2?8=0.,所以xM=x1+x22=?2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1,于是kOM=yMxM=?12k, ?kOM?k=?12.
試題解析：
解：（Ⅰ）由題意有a2?b2a=22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4,所以橢圓C的方程為x282+y242=1.
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),把y=kx+b代入x282+y242=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2?8=0.
故xM=x1+x22=?2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1,于是直線(xiàn)OM的斜率kOM=yMxM=?12k,即kOM?k=?12,所以直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率乘積為定值.
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓方程、直線(xiàn)與橢圓及計(jì)算能力、邏輯推理能力.
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20.已知直線(xiàn)l:y=x+m ，拋物線(xiàn)C:y2=4x，
（1）當(dāng)l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；
（2）l與C相交于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，求m的值。
【答案】（1） m<1 （2）m=?3
【解析】
【分析】
（1）聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，消去y，整理后利用判別式大于零，求得m的取值范圍.（2）由（1）寫(xiě)出x1+x2的表達(dá)式，利用x1+x22=5求得m的值.
【詳解】（1）聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)的方程得y=x+my2=4x，消去y得x2+2m?4x+m2=0.由于直線(xiàn)和拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，故上述一元二次方程的判別式2m?42?4m2>0，解得m<1.（2）設(shè)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，由（1）知x1+x2=4?2m，依題意x1+x22=5，即2?m=5,m=?3.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相交所得弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題.屬于中檔題.研究拋物線(xiàn)和直線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，需要將直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)為一元二次方程的形式，然后根據(jù)判別式來(lái)判斷交點(diǎn)的根數(shù).
21.已知焦距為4的雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)P(2,3).
（Ⅰ）求該雙曲線(xiàn)方程 ；
（Ⅱ）若直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)該雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)且斜率為1，求直線(xiàn)m被雙曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng).
【答案】(1)x2?y23=1；（2）|AB|="6" 。
【解析】
試題分析：(1)設(shè)雙曲線(xiàn)方程為（a,b＞0）
左右焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為（-2，0）（2，0） 1分
則|PF1|－|PF2|=2=2，所以=1， ,3分
又c=2,b=35分
所以方程為x2?y23=16分
（2）直線(xiàn)m方程為y=x－2 7分
聯(lián)立雙曲線(xiàn)及直線(xiàn)方程消y得2 x2+4x-7=0 9分
設(shè)兩交點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)x1+x2=-2, x1x2=-3.5 10分
由弦長(zhǎng)公式得|AB|=6 12分
考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，往往利用定義或曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，確定a,b,c,e等。涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，往往聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。本題直接利用弦長(zhǎng)公式，計(jì)算較為簡(jiǎn)便。
22.給定兩個(gè)命題，p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax2+ax+1>0恒成立；q：a2+8a?20<0．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】﹣10＜a＜0或2≤a＜4.
【解析】
試題分析：根據(jù)已知求出兩個(gè)簡(jiǎn)單命題p,q中參數(shù)的取值范圍，命題p:0≤a＜4，命題；再根據(jù)復(fù)合命題的真假，判斷簡(jiǎn)單命題的真假，分兩種情況進(jìn)行討論，（1） 當(dāng)真假時(shí)；（2）當(dāng)假真時(shí)，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：解：命題：ax2+ax+1＞0恒成立
當(dāng)a=0時(shí)，不等式恒成立，滿(mǎn)足題意）
當(dāng)a≠0時(shí)，，解得0＜a＜4
∴0≤a＜4
命題：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2
∵為真命題，為假命題∴有且只有一個(gè)為真，
當(dāng)真假時(shí)得
當(dāng)假真時(shí)得
所以﹣10＜a＜0或2≤a＜4
考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假判斷.
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