2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第8章 線段與角試題新人教版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第8章 線段與角試題新人教版 8．1線段與角度 8．1．1★在線段上有、兩點，，，，求的長． 解析有兩種情況：點相鄰于點，或點相鄰于點． (1)當(dāng)點相鄰于點時，如圖(a)所示，此時． (2)當(dāng)點與點相鄰時，如圖(b)所示，此時． 8．1．2★如圖，已知，，的長是66厘米，求之長． 解析由于，、又與有關(guān)，所以，只要求出的長即可． 因為，所以 ． 因為（厘米），所以，（厘米）， （厘米），（厘米），因此 （厘米）． 8．1．3★如圖，、、依次是線段上的三點，已知厘米，厘米，則圖中以、 、、、這5個點為端點的所有線段長度之和等于多少厘米？ 解析以、、、、為端點的線段共十條，所以所有線段長度之和為 （厘米）． 8．1．4★★將長為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個五邊形． 問其中最長的一段的取值范圍． 解析設(shè)是所圍成的五邊形的某一邊（如圖），而線段、、、則可看成是點、之間的一條折線，因此， ． 設(shè)最長的一段的長度為厘米，則其余4段的和為厘米．由線段基本性質(zhì)知，所以，又 ， 所以．即最長的一段的長度必須小于5厘米且不小于2厘米． 8．1．5★若一個角的余角與這個角的補角之比是，求這個角的鄰補角． 解析設(shè)這個角為，則這個角的余角為，這個角的補角為．依照題意，這兩個角的比為． 所以，，所以． 從而，這個角的鄰補角為． 8．1．6★如圖，是鈍角，、、是三條射線，若，平分，平分．求的度數(shù)． 解析設(shè)，則 ，． 因為，所以．因此，． 8．1．7★★★中，是最小角，是最大角，且，若的最大值是，最小值 是，求的值． 解析根據(jù)題意，得． 因為，，所以 ， 即． ， 由此得，． 又因為，所以 ， 即，所以． 所以，故 ． 8．1．8★在平面上，一個凸邊形的內(nèi)角和小于，求的最大值， 解析因為凸邊形的內(nèi)角和為，所以，，所以，． 又凸13邊形的內(nèi)角和為 ， 故的最大值是13． 8．1．9★如圖所示，求． 解析如圖所示，可得， ， 而， 所以． 8．1．10★如圖所示，，則____． 解析設(shè)與相交于點，與相交于點，記，，則 ， ， ． 把此三式相加得 ， 所以． 8．1．11★如圖所示．平面上六個點、、、、、構(gòu)成一個封閉折線圖形．求 的度數(shù)． 解析所求的六個角中任意三個都不在同一個三角形中；兩個在同一個三角形中，而該三角形的第三個角的對頂角（共三個）在一個三角形中，于是，我們反復(fù)利用內(nèi)角和定理可得 ， ， ， 而，所以 ， 故． 8．1．12★★如圖，在中，為的中點，為上任一點．、分別為、的中點，為的中點，直線與相交于，則． 解析連結(jié)，則．于是 ， 所以， 8.1.13★★如圖，求圖中的大?。? 解析1如圖(a)，連結(jié)．在中，，在中，，又，所以．因此 ． 解析2如圖(b)，在中，由三角形外角的性質(zhì)，得 ， 所以 ． 評注由解析2可以看出，三角形外角的性質(zhì)雖很簡單，卻很有用，它能把許多分散的角集中到一個三 角形（或多邊形）中來． 8．1．14★★如圖，平分，平分，與相交于，若，，求的度數(shù)． 解析連結(jié)．在中， 所以． 在中，，所以 ． 又因為、分別為、的平分線，所以 ． 在中 ， 即． 所以． 8．1．15★★在中，，、、分別在、、上，且．求證： ． 解析如圖，易知． 因為 ， 又 ， 于是． 此即． 8．1．16★如圖，平分，平分，若，，求的度數(shù)（用、表示）． 解析如圖，由與的內(nèi)角和是可得 ， 由與的內(nèi)角和是可得 ， 所以 ． 8.1.17★★★如圖，求的大小，此處即，余類推， 解析連結(jié)、、、．由四邊形內(nèi)角和是可知， ． ， ， ， ， 因此 ． 而，所以，從而 ， 所以 ． 8．1．18★若時鐘由2點30分走到2點50分，問：時針和分針各轉(zhuǎn)過多大的角度？ 解析在2點30分，分針指向教字6，在2點50分，分針指向數(shù)字10，因此，分針轉(zhuǎn)過了4“格”，而每1“格”為，所以，分針共轉(zhuǎn)過了． 由于時針轉(zhuǎn)動的速度是分針轉(zhuǎn)動速度的，所以，時針轉(zhuǎn)動了． 評注在鐘表問題中，有許多有關(guān)時針、分針的轉(zhuǎn)角問題，解這類問題的關(guān)鍵是：時針的轉(zhuǎn)動的速度是分針轉(zhuǎn)動速度的，鐘面上每1“格”是． 8.1.19時鐘里，時針從5點整的位置起，順時針方向轉(zhuǎn)多少度時，分針與時針第一次重合？ 解析在開始時，分針“落后”于時針．設(shè)分針與時針第一次重合時，時針轉(zhuǎn)動了角，那么，分針轉(zhuǎn)動了．因為分針轉(zhuǎn)速是時針的12倍，所以 ， ． 即時針順時針方向轉(zhuǎn)動時，分針與時針重合． 評注鐘表里的分針與時針的轉(zhuǎn)動問題本質(zhì)上與行程問題中的兩人追趕問題非常相似．行程問題中的 距離相當(dāng)于這里的角度；行程問題中的速度相當(dāng)于這里時（分）針的轉(zhuǎn)動速度． 8．1．20★★在4點與5點之間，時針與分針在何時 (1)成； (2)成． 解析(1)如圖(a)，在4點整時，時針與分針恰成．由于所問的時間是介于4點到5點之間，因此，這個時間不能計入，從4點開始，分針與時針之間的角度先逐步減少，直至兩針重合（夾角為）．之后，分針“超過”時針，兩針之間的夾角又逐漸增大（此時，分針在時針的前面）．直到兩針夾角又一次成為，這個時間正是我們所要求的． 設(shè)時針順時針轉(zhuǎn)過角后，時針與分針（分針在時針前）成，則 ． 所以． 由于時針每轉(zhuǎn)過（如從指向數(shù)字4轉(zhuǎn)到指向數(shù)字5）相當(dāng)于1小時（60分鐘）．所以時針每轉(zhuǎn)過 相當(dāng)于經(jīng)過2分鐘，相當(dāng)于經(jīng)過了 （分鐘）． 因此，在4點分時，時針與分針成角． (2)如圖(b)、(c)所示，由于在整4點時，時針與分針夾角為，因此，在4點與5點之間，時針 與分針成有兩種情況： (i)時針在分針之前(如圖(b))．設(shè)時針轉(zhuǎn)了角，分針轉(zhuǎn)了角，有 ， 所以， 即 用時 （分鐘） (ii)時針在分針之后(如圖(c))，此時，有關(guān)系 ， ， 所以． 用時 （分鐘） 綜上所述，在4點到5點之間，在4點分與4點分兩個時間時，時針與分針成． 評注由于時針與分針所成角依時針與分針的“前”“后”次序有兩種情況，因此，按兩針夾角情況會出現(xiàn)一解或兩解． 8．1．21★如圖所示，在中，，，點、分別在邊、上，且，求的大?。? 解析在線段上取點，使得（事實上，只要以點為圓心，為半徑作圓，與交于點即可）．設(shè)，則，，，于是 ． 又，所以，于是 ， 而，所以． 故為正三角形，所以，，即． 8．1．22★★如圖(a)，在四邊形中，，，，求 的度數(shù)． 解析作點，如圖(b)其與點在邊的同側(cè)，使得是正三角形，則與是等腰三角形，其中，， 因此 ，， 故，所以，點在線段 上，所以． 8.2特殊角 8．2．1★以的邊為直徑作圓，與邊交于，與交于(、不與、重合)， ，中有一內(nèi)角是另一個的2倍，求的3個內(nèi)角． 解析、為的高，在內(nèi)部，故為銳角三角形． 如圖，由于，故，故． 剩下的角中，不可能有或，故只可能是一個為，另一個為． 8．2．2★中，，，點為內(nèi)一點，， 求． 解析如圖，，又，故為的外心，． 又，故，為正三角形，所以． 8．2．3★★將一個等腰三角形劃分成兩個較小的等腰三角形，問這樣的有幾種形狀？并 將所有形狀都列出來． 解析如圖，設(shè)等腰三角形分成與．不妨設(shè)，于是，等腰三角形中，只能有．這時，而有三種情況． (1)，則，為等腰直角三角形． (2)．設(shè)，則，，，由于，．若，則，得；若，則．得， 這兩種情況都是解． (3)，，，顯然．由得， 故． 綜上，總共有4組解，所求等腰三角形的三個內(nèi)角分別為(，，)、(，，)、 、． 8．2．4★★設(shè)內(nèi)有一點，，，又，，求 ． 解析如圖，作，則 ． 又由正弦定理， ， 于是，． 而，所以． 8．2．5★★已知中，，，在內(nèi)，且，求的大小． 解析如圖，在外作正三角形，則，，，故 ，，又，，有，故． 8．2．6★★★已知中，，，求證：為外接圓半徑． 解析如圖，延長至，使，則，．取中點，則，，又作的外心，則為外接圓半徑，． 故，． 而，故． 評注證明四邊形為等腰梯形也可，這樣就無須點了． 8．2．7已知中，，，延長至點，使，求． 解析如圖，在上找一點，使． 易知， ， 兩式相乘，得， 于是，故，，所以． 8．2．8★★★已知等腰，底角，點、分別在、上，、 交于點，，，連結(jié)，求． 解析如圖，在上找一點，使或，連結(jié)． 由于，故．． 又，故．若設(shè)在上的垂足為，則．因此， ，． 而、、、共圓，故． 8．2．9★★★中，，，點為內(nèi)一點，， 求． 解析如圖，在內(nèi)作，則，于是， 為正三角形，，為外心，因此． 8．2．10★★★設(shè)點為內(nèi)一點，，，，，求證：是等腰三角形． 解析如圖，作，且，連結(jié)、、． 易知，于是． ，．又，所以，為正三角形． 又，，所以為之外心，于是．垂直平分， 所以． 8．2．11★★★已知中，，在上，，在上，，求的大?。? 解析如圖，作關(guān)于的對稱點，連結(jié)、、、，則為正三角形，． 設(shè)，則，．由于和關(guān)于對稱，故． 在以為圓心、為半徑的圓中，恰好是圓心角的一半的補角，故在該圓上， ，又，故，． 8．2．12★★★中．是角平分線，為邊上的高，若，求． 解析，故，，在上（而不是延長線上）． ，，故． 于是延長后，至、距離相等，又為角平分線，故至、距離相等，因此至、等距，平分，． （本題幾條輔助線用語言即可說明，不添亦可．） 8．2．13★★★中，，，點為內(nèi)一點，，，求． 解析如圖，與在同側(cè)作正三角形，則．又，故 ，．而，，故為外心，．而，所以． 8．2．14★★★如圖，凸四邊形中，、交于點，，， ，，求． 解析作的外心，則為正三角形，．連結(jié)，易知，故 ，則，， 于是．而， 故，于是，所以． 8．2．15★★★設(shè)中，，，是三角形內(nèi)一點，，，求． 解析如圖，作，則．又， 故，于是，垂直平分，，． 故． 8．2．16★★★★中，，，點、分別是邊、上的點，，，點是直線和的交點，證明：直線和垂直． 解析如圖，在外作正三角形，連結(jié)．，則， 故、、、共圓，．又易知，于是，而 ，所以，于是，從而，故 ．于是易見，．由于，故，這樣便有 ，與互余，因此． 8．2．17★★★★已知中，，，延長至點，設(shè)點是的中點，求證：當(dāng)時有． 解析如圖，取中點，中點，連結(jié)、、、．在上取一點，使，則由得(設(shè)為1)，于是，， ．易見，，，設(shè)在上的垂足為，則，于是為中點，垂直平分，，因此． 8．2．18★★★如圖(a)，在凸四邊形中，，，．設(shè)線段、的垂直平分線的交點為，求的度數(shù)． 解析如圖(b)，連結(jié)、、、，另知，所以． 設(shè)，則 ． 所以 ， 所以，．于是 ， 8．2．19★★★★中，，，點為內(nèi)一點，，， 求． 解析如圖，延長至，使為正三角形，則，．于是是的外心，因此，，．于是， ，，故． 今作的平分線，在上，則，，故，，而，于是，即． 8．2．20★★★★已知點是內(nèi)一點，延長后交于點，，， ，，求． 解析如圖，作平分線，與交于，與交于．易知， ，，． 由，知．，又由正弦定理及角平分線性質(zhì)，有 ． 于是，因此，而，故，由，得 ． 8．2．21 ★★★★中，，，點為內(nèi)一點，，求． 解析如圖，在外作，使，則，而 ，故為等腰梯形，且． 今在梯形內(nèi)作正三角形，則，，得，，同理，，因此與重合，故．