2019-2020年初中數學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題2 新人教版.doc

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2019-2020年初中數學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第15章 面積問題與面積方法試題2 新人教版 15.1.43★★已知凸四邊形的邊、上各有一點、，滿足，與交于，與交于，求證：. 解析 如圖，問題可轉化為求證. 下證此式： 記，則由定比分點，在 . 15.1.44★已知：中，是角平分線，、分別在、上，且，求證：，并用三邊表示. 解析 如圖，由∽∽，得 ， . 于是，故. 又設的對應邊長為、、，則，， ，同理，故 . 15.1.45★★已知，，、在上，，，求. 解析 如圖，設，，則. 由三角形內角和，，得.， . 由，得 . 15.1.46★★★已知，，.點在內，使得，，，求的面積. 解析 如圖，作∽，由于，故相似比為，于是 ，. ， 結合知，，于是. 所以，從而.于是 ， 故 . 15.1.47★已知矩形，、分別在、上，，，，若 ，求矩形的面積. 解析 如圖，易知，∽.設，，則，，， 由條件，知 ， 展開得，， . 15.1.48★★一個凸四邊形的邊長依次為、、、，兩條對角線相交所成的銳角為，求該四邊形的面積（用、、、和表示）. 解析 如圖，不妨設，，，，與交于，（），則由四邊形的“余弦定理”（見題13.1.7）： ， 于是 . 一般地，有 ， 當時，四邊形面積不定. 15.1.49★★若一正方形的兩個相鄰頂點在一三角形的某條邊上，另兩個頂點分別在另兩條邊上，則稱這個正方形是該邊上的內接正方形，現有一不等邊三角形，、邊上的內接正方形邊長都是，求. 解析 如圖，四邊形是正方形，邊長為，，為高，設為，則. 現在回到原題，設三對應邊長為、、，對應高為、、，對于、邊上的正方形，有 . 考慮到，故有，而，，代入，有，而由題設，故，.易知，故 . 15.1.50★★中，、、分別在、、上，若、、、分別為1、2、3、4，求. 解析 如圖，設，，.則，，，，同理，，. 于是，，故，解得. 由，得，由，得，易知均符合要求. 評注 讀者可考慮何時具有唯一解. 15.1.51★★梯形中，，，在上，，在上，若把梯形分成兩部分的面積之比為，求的值. 解析 如圖，由于未講清部分是，哪部分是，故本題可能有兩解. 不妨設，則，，.又設，.于是有 （1）或（2） 由（1）解得由（2）得負解，舍. 故. 15.1.52★★★中，，是的平分線，點、分別在、上，交于點，若，，，，求四邊形的面積. 解析 易知，，.連結，由，得，，連結. 由，得，故， ，. 又，，由角平分線性質，知，于是. 15.1.53★★中，、分別在、上，且，，為中點，為與之交點，延長交于，求. 解析 如圖，由梅氏定理，即，又，即. 設，.由，得，即，于是. 15.1.54★★在的邊上取點，上取點，使，，再在線段上取點，使，今延長交于，用、、表示. 解析 如圖，連結、，則. 又，，故. 15.1.55★★設正方形面積是，、上分別有點、，且，，又設、分別交于、，求四邊形的面積. 解析 如圖，延長、交于，則.而 ， . 又，故 . 15.1.56★★★已知中，、分別是角平分線和中線.垂直陳于，交于，交于，求證：. 解析 如圖，連結、. 易知，，故.于是，. 因此，，所以. 15.1.57★★★如圖，已知點、、、共圓，且，，，求證：只與、有關. 解析 延長至點，使，設，，易知∽，于是，又由，因此. 由于，又，故， ， 所以 . 15.1.58★★★已知的三邊、、上各有一點、、，且滿足、、交于一點，若、、的面積相等，求證：是的重心. 解析 如圖，不妨設三個三角形面積為，而、與的面積分別為、、.由塞瓦定理知. （1）若、、互不相等，不妨設，則，，但 ， 矛盾. （2）若、、中有相等的，不妨設，則，，由得，于是，、、為各邊中線，為重心. 15.1.59★★已知中，點在邊上，，，，，求；又若、、長度不變，當達到最大時，求. 解析 如圖，延長至，使，則，，中，，，，，，又與等高，故，所以. 當面積最大時，，，作，則，于是，，， . 15.1.60★★已知中，，點滿足，，求證：與面積相等. 解析 如圖，不妨設、在兩側，作使，，于是，，這里為內心，就是的邊外的旁心，且有≌. 設旁切圓半徑為，則，為至距離，于是與至等距，所以 . 評注 請讀者自行驗證 . 15.1.61★★已知：是銳角三角形的垂心，、、是高，求證： . 解析 如圖，由于，故 ， 同理， ，. 三式相加，得 ， 整理便是欲證式. 評注 注意到等，故，此式對于鈍角三角形也成立. 15.1.62★★★在四邊形中，對角線中點連線的延長線交于，求證：的面積等于整個四邊形面積的一半. 解析 如圖，設對角線交點為，不妨設、的中點、分別在、上. 連結，則. ，， 故 . 剩下，連結，則. 于是. 15.1.63★★已知中，在上截取，上截取，上截取，求證：的面積與的面積相等. 解析 如圖，不妨設，，，，，（注意、、可零可負）.問題變?yōu)樽C明，或證明 ，或 . 由正弦定理，上式相當于 . 展開即知這是恒等式，故. 15.1.64★★在直角三角形中，，，，是上一動點，在上，從點開始向運動且保持，試寫出與點運動時與點距離的關系式. 解析 如圖，過點作，交直線于，則有∽，得 . 由，令，則 ， 得 ，. 又由，得 ， 即 ， 得 . 因，得，于是 . 15.1.65★★已知中，、、分別在、、上，、、交于，與交于，則 . 解析 如圖，知只需證，即，或. 又，于是結論成立. 評注 滿足上述條件的點、、、即為調和點列. 15.1.66★★★有兩個銳角與，其中，、延長后交于點，點、分別是、的垂心，求證：的充要條件是. 解析 必要性：若，設兩線交于點，又設的兩條高為、；的兩條 高為、，并記. 由點、、、共圓及點、、、共圓，得 ； 同理. 又由，，則，故. 充分性：若，不能直接運用點了.我們還是先證明，再分別作，，、均在射線上，于是有，故與重合，因此. 評注 充分性也可用四點共圓來證明. 15.1.67★★如圖，、、、是直線上依次四點，在直線外，，，試證. 解析 由于，若，只需證，這等價于，即，也即，也等價于或. 由于，故，由此知結論成立. 15.1.68★★★★凸四邊形對角線交于點，點、、、分別在、、、上，點在上，點、在上，且點、、、四點共線，點、、、四點共線.若，，證明：. 解析 連結、、、、、，則有 ， . 由于，，因此知，兩端減，便得. 15.1.69★★★★ 已知、、、分別為凸四邊形的邊、、、的中點，、交于，、交于，求證：或重合. 解析 如圖，連結、，則 ，同理也是此值， 于是，即，若、在同側（比如與、在同一側），則，于是；若、在直線上，則與重合. 若線段與直線相交，不妨設在上或在之“上”，在之“下”，則有，矛盾，于是結論成立. 15.1.70★★★★如圖，以銳角的邊為邊向外作正方形、、、、、圍成，而、、圍成（圖中未畫出），求證：≌. 解析 ∽很容易證明，留給讀者，下證. 其實只要證明為對稱式即可. 我們先計算.連結、.不妨記，同理分別還有兩對三角形面積為與.于是有，分子是由于點至的距離等于點、至距離之和. 同理. 兩式相加，并作等式變形，即可解出 ， 同理可得和.三式相加，得 ， 故 . 這是一個對稱式，同理也是此值. 至此結論證畢. 評注 易知有等，如果，則有 . 15.1.71★★如圖，中，是高，是中線，且，求證：或. 解析1 如圖（a），設，，，，，則 . 由，得. 又由，即，故. （1）當時，即得； （2）當時，有∽.由此可得. 解析2 如圖（b），若與重合，則； 若與不重合，不妨設比靠近.今在上取中點，連結、，則，. 于是，故、、、共圓，從而，所以. 15.1.72★★★試說明是否在所有內部總存在一個點，使點在、、上的射影分別為點、、，滿足，，？ 解析 當為等腰三角形時，點顯然是存在的.但一般情形未必成立.試看如下反例. 如圖，設，，且滿足要求.此時，由于 ≌， 則 ， 故點為之中點. 易知此時四邊形為凸四邊形，故由，得，矛盾，故點并不總是存在的. 15.1.73★★★設點、、分別在的邊、、上，且、、交于一點，若，求證：點一定在在某條中線上. 解析 如圖，設個小三角形面積分別為、、、、、.易知有，這是由塞瓦定理保證的.題設條件等價于. 下面再證一個無條件等式 ， 這是由于，故而 . 同理有 ， ， 三式相加，即得，證畢. 令，，，則對于同一個方程，有三根、、或、、，順序上先不講究. 若有之尖，則結論已經成立了； 若，則只需討論，的情況（否則，結論必成立），此時，結論成立； 若，同理只需討論，的情況，此時，結論也成立. 評注 此題亦可不用韋達定理.這個證法好處是增加一個知識，即. 15.1.74★★★中有一點，延長、，分別交、于點、，與交于點，作，點在上，求證：平分. 解析 如圖，分別作、與垂直，我們的目的證明∽或. 易知. 又由 . 故，證畢. 15.1.75★★★★設有一凸四邊形，、、、上分別有兩點、；、；、；、，滿足，，，，若四邊形是平行四邊形，求證：. 解析 我們先證明四邊形也是平行四邊形.先不妨設四邊形與四邊形的位置是如圖（a）所示，找出、、、的中點、、、，則點、、、也分別是、、、的中點，且. 作，點是的中點，又作，點為的中點，則易知，故≌，于是. 又由中位線知，于是四邊形是平行四邊形，于是. 又由，故四邊形也是平行四邊形，于是. 這樣，便有，從而四邊形也是平行四邊形. 再看圖（b），設中點為，連結、、、及、、、，由題15.1.63知，有 ， ， 由于四邊形與均為平行四邊形，故 . 15.1.76★★★三邊長為6、8、10，求證：僅存在一條直線同時平分的周長與面積. 解析 設中，，，.若此直線過三角形的某個頂點，因平分面積則必平分對邊，因此不可能平分周長.所以此直線必與某兩條邊相交. （1）如圖（a），若與、相交. 設，則，所以 ， 即 . 由于，故無解. （2）如圖（b），若與、相交. 設，則，由知 . 由 ， 解得 ， 不滿足，無解. （3）如圖（c），若與、相交. 設，則， ， 即 ， 解得 舍） 綜合上述，只有唯一一條直線滿足條件. 15.1.77★★已知、分別是的邊、上的點，且，，，.連結和，它們相交于點.過點分別作，，它們分別與邊交于點、，求的面積與的面積之比. 解析 過點作，且交邊于點，則 ， 所以 . 因為，所以 ， 于是 . 因為，，因此∽，故 .