2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明綜合測試 北師大版選修1-2.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明綜合測試 北師大版選修1-2一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D不是以上錯(cuò)誤答案C解析大小前提都正確，其推理形式錯(cuò)誤故應(yīng)選C.2定義一種運(yùn)算“*”；對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：()(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,則n*1等于An Bn+1Cn1 Dn2答案A解析令ann*1，則由(ii)得，an1an1，由(i)得，a11，an是首項(xiàng)a11，公差為1的等差數(shù)列，ann，即n*1n，故選A.3定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)下面圖中的(1)，(2)，(3)，(4)，則圖中，a，b對應(yīng)的運(yùn)算是()AB*D，A*D BB*D，A*CCB*C，A*D DC*D，A*D答案B解析根據(jù)題意可知A對應(yīng)橫線，B對應(yīng)矩形，C對應(yīng)豎線，D對應(yīng)圓故選B.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2)，而a11，通過計(jì)算a2、a3、a4，猜想an()A. BC. D答案B解析a2S2S122a21，a2，a3S3S232a322a29a34，a3.a4S4S342a432a316a49，a4.由此猜想an.5觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，的特點(diǎn)，則第100項(xiàng)為()A10 B14C13 D100答案B解析設(shè)nN*，則數(shù)字n共有n個(gè)，所以100即n(n1)200，又因?yàn)閚N*，所以n13，到第13個(gè)13時(shí)共有91項(xiàng)，從第92項(xiàng)開始為14，故第100項(xiàng)為14.6已知123332433n3n13n(nab)c對一切nN*都成立，那么a、b、c的值為()Aa，bcBabcCa0，bcD不存在這樣的a、b、c答案A解析令n1,2,3，得，所以a，bc.7已知f1(x)cosx，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，則fxx(x)等于()Asinx BsinxCcosx Dcosx答案D解析由已知，有f1(x)cosx，f2(x)sinx，f3(x)cosx，f4(x)sinx，f5(x)cosx，可以歸納出：f4n(x)sinx，f4n1(x)cosx，f4n2(x)sinx，f4n3(x)cosx(nN*)所以fxx(x)f3(x)cosx.8有下列敘述：“ab”的反面是“ay或x0，ac0，bc0，則f(a)f(b)f(c)的值()A一定大于零 B一定等于零C一定小于零 D正負(fù)都有可能答案A解析f(x)x3x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，由ab0得ab，所以f(a)f(b)，即f(a)f(b)0，同理f(a)f(c)0，f(b)f(c)0，所以f(a)f(b)f(c)0.10(xx福建文，12)在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的“L距離”定義為|P1P2|x1x2|y1y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L距離”之和等于定值(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡可以是() 答案A解析設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x，y)，則|xc|xc|2|y|2a.當(dāng)y0時(shí)，y，當(dāng)y0時(shí)，y圖像應(yīng)為A.二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11對于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“_”，這個(gè)類比命題是_命題(填“真”或“假”)答案夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等；真解析類比推理要找兩類事物的類似特征，平面幾何中的線，可類比立體幾何中的面故可類比得出真命題“夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等”12設(shè)函數(shù)f(x)(x0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析由已知可歸納如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).13由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類比得到“abba”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”類比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”；“(mn)tm(nt)”類比得到“(ab)ca(bc)”；“”類比得到“”以上類比得到的結(jié)論正確的是_答案解析都正確；錯(cuò)誤，因?yàn)橄蛄坎荒芟喑?；可由?shù)量積定義判斷，所以錯(cuò)誤；向量中結(jié)合律不成立，所以錯(cuò)誤14(xx東北四校聯(lián)考)根據(jù)下面一組等式S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S722232425262728175，可得S1S3S5S2n1_.答案n4解析根據(jù)所給等式組，不難看出：S1114；S1S31151624；S1S3S5115658134，S1S3S5S71156517525644，由此可得S1S3S5S2n1n4.15若定義在區(qū)間D上函數(shù)f(x)對于D上的幾個(gè)值x1，x2，xn總滿足f(x1)f(x2)f(xn)f稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)，現(xiàn)已知f(x)sinx在(0，)上是凸函數(shù)，則在ABC中，sinAsinBsinC的最大值是_答案解析f(x1)f(x2)f(xn)f，(大前提)f(x)sinx在(0，)上是凸函數(shù)，(小前提)f(A)f(B)f(C)3f，(結(jié)論)即sinAsinBsinC3sin，sinAsinBsinC的最大值是.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16(本題滿分12分)已知a、b、c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證：3.解析解法一：(分析法)要證3，只需證明1113，即證6.而事實(shí)上，由a、b、c是全不相等的正實(shí)數(shù)，得2，2，2.從而6.故3得證解法二：(綜合法)a、b、c全不相等，與，與，與全不相等2，2，2.三式相加得6，(1)(1)(1)3，即3.17(本題滿分12分)設(shè)f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明答案證明略解析f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).一般性結(jié)論：若x1x21，則f(x1)f(x2).證明：設(shè)x1x21，f(x1)f(x2).18(本題滿分12分)在某兩個(gè)正數(shù)x、y之間，若插入一個(gè)數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)b、c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證(a1)2(b1)(c1)解析由已知條件得x，y得2a，且有a0b0，c0.要證(a1)2(b1)(c1)，只需證a1，只要證a1，也就是證2abc.而2a，只需證bc，即證b3c3(bc)bc，即證b2c2bcbc，即證(bc)20.上式顯然成立，(a1)2(b1)(c1)19(本題滿分12分)證明下列等式，并從中歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論2cos，2cos，2cos，答案證明略，一般性結(jié)論為2cos解析2cos2，2cos22，2cos22歸納得出，2cos.20(本題滿分13分)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an3n(nN*)(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列an中是否存在三項(xiàng)，它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請說明理由答案(1)an32n3(2)不存在，證明略解析(1)a1S12a13，則a13.由an1Sn1Sn2an12an3an132(an3)，an3為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a136，公比為2.an362n1，即an32n3.(2)假設(shè)數(shù)列an中存在三項(xiàng)ar，as，at(rst)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，且arasat.只能是arat2at，即3(2r1)3(2t1)6(2s1)2r2t2s1.12tr2s1r.(*)rsx3x.解析(1)f (x)(x1)(ex1)，當(dāng)x0或x1時(shí)，f (x)0，當(dāng)0x1時(shí)，f (x)0，f(x)在(，0)，(1，)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，f(x)有極大值f(0)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值f(1)e.(2)設(shè)g(x)f(x)x3x，則g(x)(x1)(ex)，令u(x)ex，則u(x)ex，當(dāng)x1時(shí)，u(x)ex0，u(x)在1，)上單調(diào)遞增，u(x)u(1)e20，所以g(x)(x1)(ex)0，g(x)f(x)x3x在1，)上單調(diào)遞增g(x)f(x)x3xg(1)e0，所以f(x)x3x.