量子力學(xué)課件(一維勢阱).ppt

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經(jīng)典粒子被限制在箱中運動與一個微觀粒子被限制一個微觀尺度的箱中運動對比,在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用 Schrodinger 方程來處理一類簡單的問題——一維定態(tài)問題。其好處有四： （1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理； （2）有助于進一步闡明其他基本原理； （3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來； （4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。,7.1箱中粒子的哈密頓,以一維定態(tài)為例，求解已知勢場的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。,已知粒子所處的勢場為：,粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為零。 在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受 極大的斥力。稱為一維無限深勢阱。,其定態(tài)薛定諤方程：,7.2 求解一維定態(tài)薛定諤方程,在阱內(nèi)粒子勢能為零，滿足：,在阱外粒子勢能為無窮大，滿足：,方程的解必處處為零：,根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上,所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運動。,在阱內(nèi)的薛定諤 方程可寫為：,類似于簡諧振子的方程，其通解：,代入邊界條件得：,所以，,n不能取零，否則無意義。,因為,結(jié)果說明粒子被束縛在勢阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。,結(jié)論,由歸一化條件,,一維無限深方勢阱中運動的粒子其波函數(shù)：,稱 為量子數(shù)； 為本征態(tài)； 為本征能量。,討論,1、零點能的存在 稱為基態(tài)能量。,2、 能量是量子化的。是由標(biāo)準(zhǔn)化條件而來。 能級間隔：,當(dāng) 能級分布可視為連續(xù)的。,在某些極限的條件下，量子規(guī)律可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)典規(guī)律 .,勢阱中相鄰能級之差,能量,能級相對間隔,當(dāng) 時， ，能量視為連續(xù)變化.,例1：電子在 的勢阱中 .,（近似于連續(xù)）,當(dāng) 時, （能量分立）,當(dāng) 很大時， ，量子效應(yīng)不明顯，能量可視為連續(xù)變化，此即為經(jīng)典對應(yīng) .,一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和概率密度,1,n不能取零，否則無意義。簡并、宇稱。,7.3 箱中粒子的一些性質(zhì),2.正交歸一關(guān)系,3.在定態(tài)或疊加態(tài)時的測量結(jié)果問題,4.能量的期望值,5.粒子位置的期望值,6.動量的概率分布,它的逆變換,例2、已知粒子處于寬度為a的一維無限深方勢阱中運動的 波函數(shù)為 ， n = 1, 2, 3, … 試計算n = 1時，在 x1 = a/4 →x2 = 3a/4 區(qū)間找到粒子的概率．,解：找到粒子的概率為,＝0.818,例3、已知描述單粒子一維束縛狀態(tài)的兩個本征函數(shù)分別為波函數(shù)為 試求這兩個狀態(tài)的能級間隔。,解：兩個波函數(shù)都滿足定態(tài)薛定諤方程,例4、一粒子被限制在相距為l的兩個不可穿透的壁之間，如圖所示．描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)為 ，其中c為待定常量．求在 0 ~ 區(qū)間發(fā)現(xiàn)該粒子的概率．,解：由波函數(shù)的性質(zhì)得 即 ， 由此解得 ， 設(shè)在0 - l/3區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)該粒子的概率為P，則,2、 勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）,在經(jīng)典力學(xué)中,若 ,粒子的動能 為正, 它只能在 I 區(qū)中運動。,定態(tài)薛定諤方程 的解又如何呢？,令：,三個區(qū)間的薛定諤方程化為：,若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在 處的概率要大于在 處出現(xiàn)的概率。,其解為：,根據(jù)邊界條件：,求出解的形式畫于圖中。,量子力學(xué)結(jié)果分析：,（1）EV0情況,在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子 可以越過勢壘運動到xa區(qū)域，而 在量子力學(xué)中有一部分被反彈回去， 即粒子具有波動性的具體體現(xiàn)。,（2）EV0情況,在經(jīng)典力學(xué)中，該情況的粒子將完全被勢壘擋回， 在x0的區(qū)域內(nèi)運動；而在量子力學(xué)中結(jié)果卻完全不同 ，此時，雖然粒子被勢壘反射回來，但它們?nèi)杂辛Ｗ哟?透勢壘運動到勢壘里面去，所以我們將這種量子力學(xué)特 有的現(xiàn)象稱“隧道效應(yīng)”。,隧道效應(yīng)和掃描隧道顯微鏡STM,1981年在IBM公司瑞士蘇黎士實驗室工作的賓尼希和 羅雷爾利用針尖與表面間的隧道電流隨間距變化的性質(zhì) 來探測表面的結(jié)構(gòu)，獲得了實空間的原子級分辨圖象， 為此獲得1986年諾貝爾物理獎。,由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限 于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖?而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度越為1nm。,只要將原子線度的極細探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近時，它們的表面電子云就可能重疊。,若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub電子就會穿過電極間的勢壘形成隧道電流。,隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏。,因為隧道電流對針尖與樣品 間的距離十分敏感?？刂漆樇飧?度不變，通過隧道電流的變化可 得到表面態(tài)密度的分布；,利用STM可以分辨表面上原子的臺階、平臺和原子陣列?？梢灾苯永L出表面的三維圖象,使人類第一次能夠?qū)崟r地觀測到單個原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及與表面電子行為有關(guān)的性質(zhì)。在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。,利用光學(xué)中的受抑全反射理論，研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。1989年提出成象技術(shù)。 它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察。,STM樣品必須具有一定程度的導(dǎo)電性；在恒流工作模式下有時對表面某些溝槽不能準(zhǔn)確探測。任何一種技術(shù)都有其局限性。,下面是用掃描隧道顯微鏡觀察到的一些結(jié)果,這是用掃描隧道顯微鏡搬動48個Fe原 子到Cu表面上構(gòu)成的量子圍欄。,1991年IBM公司的“拼字”科研小組創(chuàng)造出了“分子繪畫”藝術(shù)。這是他們利用STM把一氧化碳分子豎立在鉑表面上、分子間距約0.5納米的“分子人”。這個“分子人”從頭到腳只有5納米，堪稱世界上最小的人形圖案。,1994年初，中國科學(xué)院真空物理實 驗室的研究人員成功地利用一種新 的表面原子操縱方法，通過STM在 硅單晶表面上直接提走硅原子，形 成平均寬度為2納米(3至4個原子)的 線條。從STM獲得的照片上可以清 晰地看到由這些線條形成的“100”字 樣和硅原子晶格整齊排列的背景。,用掃描隧道顯微鏡觀察 到砷化鎵表面砷原子的 排列圖如下,用掃描隧道顯微鏡觀察到,硅表面77重構(gòu)圖 硅表面硅原子排列,