2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1.1 定積分的背景——面積和路程問題（二） 教案 北師大選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.1.1 定積分的背景——面積和路程問題（二） 教案 北師大選修2-2 教學(xué)過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 復(fù)習(xí)：1．連續(xù)函數(shù)的概念；2．求曲邊梯形面積的基本思想和步驟； 利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運動路程與時間的關(guān)系，求物體運動速度”的問題．反之，如果已知物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？ 二．新課講授 問題：汽車以速度組勻速直線運動時，經(jīng)過時間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題．把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值．（思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）． 解：1．分割 在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間： ，，…， 記第個區(qū)間為，其長度為 把汽車在時間段，，…，上行駛的路程分別記作： ，，…， 顯然， （2）近似代替 當(dāng)很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 ① （3）求和 由①， == == 從而得到的近似值 （4）取極限 當(dāng)趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有 思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？ 結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積． 一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在a≤≤b內(nèi)所作的位移． 三．典例分析 例1．彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功． 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解． 解： 將物體用常力沿力的方向移動距離，則所作的功為． 1．分割 在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間： ，，…， 記第個區(qū)間為，其長度為 把在分段，，…，上所作的功分別記作： ，，…， （2）近似代替 有條件知： （3）求和 = 從而得到的近似值 （4）取極限 所以得到彈簧從平衡位置拉長所作的功為：