2019-2020年高中數(shù)學 3.1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（一） 教案 北師大選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 3.1.1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（一） 教案 北師大選修2-2 教學過程： 【引 例】 1、 確定函數(shù)在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)？在哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？ 解：，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 問：1、為什么在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)？ 都是反映函數(shù)隨自變量的變化情況。 2、研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間你有哪些方法？ （1） 觀察圖象的變化趨勢；（函數(shù)的圖象必須能畫出的） （2） 利用函數(shù)單調(diào)性的定義。（復習一下函數(shù)單調(diào)性的定義） 2、確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)？哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)？ （1） 能畫出函數(shù)的圖象嗎？那如何解決？試一試。提問一個學生：解決了嗎？到哪一步解決不了？（產(chǎn)生認知沖突） （2） （多媒體放映） 【發(fā)現(xiàn)問題】定義是解決單調(diào)性最根本的工具，但有時很麻煩，甚至解決不了。尤其是在不知道函數(shù)的圖象的時候，如函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7，這就需要我們尋求一個新的方法來解決。（研究的必要性）事實上用定義研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也不容易。 【探 究】 我們知道函數(shù)的圖象能直觀的反映函數(shù)的變化情況，下面通過函數(shù)的圖象規(guī)律來研究。 問：如何入手？（圖象） 從函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7的圖象嗎？ 1、研究二次函數(shù)的圖象； （1） 學生自己畫圖研究探索。 （2） 提問：以前我們是通過二次函數(shù)圖象的哪些特征來研究它的單調(diào)性的？ （3） （開口方向，對稱軸）既然要尋求一個新的辦法，顯然要換個角度分析。 （4） 提示：我們最近研究的哪個知識（通過圖象的哪個量）能反映函數(shù)的變化規(guī)律？ （5） 學生繼續(xù)探索，得出初步規(guī)律。幾何畫板演示，共同探究。 得到這個二次函數(shù)圖象的切線斜率的變化與單調(diào)性的關(guān)系。（學生總結(jié)）： ①該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，切線斜率小于0，即其導數(shù)為負； 在區(qū)間上單調(diào)遞增，切線斜率大于0，即其導數(shù)為正； 注：切線斜率等于0，即其導數(shù)為0；如何理解？ ②就此函數(shù)而言這種規(guī)律是否一致？是否其它函數(shù)也有這樣的規(guī)律呢？ 2、先看一次函數(shù)圖象； 3、再看兩個我們熟悉的函數(shù)圖象。（驗證） （1） 觀察三次函數(shù)的圖象；（幾何畫板演示） （2） 觀察某個函數(shù)的圖象。（幾何畫板演示） 指出：我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有密切的關(guān)系。這節(jié)課我們就來學習如何用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（幻燈放映課題）。 【新課講解】 4、請同學們根據(jù)剛才觀察的結(jié)果進行總結(jié)：導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？請一個學生回答。（幻燈放映） 一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi) 如果在這個區(qū)間內(nèi)，則為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)； 如果在這個區(qū)間內(nèi)，則為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)。 若在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則為常函數(shù)。 這個結(jié)論是我們通過觀察圖象得到的，只是一個猜想，正確嗎？答案是肯定的。嚴格的證明需要用到中值定理，大學里才能學到。這兒我們可以直接用這個結(jié)論。 小結(jié)：數(shù)學中研究問題的常規(guī)思想方法是：從特殊到一般，從簡單的復雜。 結(jié)論應(yīng)用： 由以上結(jié)論知：函數(shù)的單調(diào)性與其倒數(shù)有關(guān)，因此我們可以用導數(shù)法去探討函數(shù)的單調(diào)性。下面舉例說明： 【例題講解】 例1、 求證：在上是增函數(shù)。 由學生敘述過程老師板書： ，，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)。 注：我們知道在R上是增函數(shù)，課后試一試，看如何用導數(shù)法證明。 學生歸納步驟：1、求導；2、判斷導數(shù)符號；3、下結(jié)論。 例2、 確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 由學生敘述過程老師板書： 解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴當x∈(－∞，0)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù);當x∈(2，+∞)時，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù). 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴當x∈(0，2)時，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù). 學生小結(jié)：用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1） 確定函數(shù)f(x)的定義域； （2） 求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x). （3） 令f′(x)＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間. 令f′(x)＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間 【課堂練習】 1．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3 (1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的單調(diào)增區(qū)間是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 .∴y=x3－9x2+24x的單調(diào)減區(qū)間是(2，4) (2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的單調(diào)增區(qū)間是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，－1)和(1，+∞) 2、設(shè)是函數(shù)的導數(shù), 的 圖象如圖所示, 則的圖象最有可能是( ) 小結(jié)：重點是抓住導函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象從哪里發(fā)生聯(lián)系？ 【課堂小結(jié)】 1.函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系:若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導, 如果f ′(x)>0, 則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0, 則f(x)為減函數(shù). 2.本節(jié)課中,用導數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性是中心,能靈活應(yīng)用導數(shù)解題是目的,另外應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用. 3.掌握研究數(shù)學問題的一般方法:從特殊到一般,從簡單到復雜. 【思考題】 對于函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7 思考1、能不能畫出該函數(shù)的草圖？ 思考2、在區(qū)間（0，2）內(nèi)有幾個解？ 【課后作業(yè)】 課本p42習題2.4 1,2