2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.4離散型隨機(jī)變量及其分布列教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 12.4離散型隨機(jī)變量及其分布列教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.考查離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念；2.考查兩點(diǎn)分布和超幾何分布的簡單應(yīng)用復(fù)習(xí)備考要這樣做1.會求與現(xiàn)實(shí)生活有密切關(guān)系的離散型隨機(jī)變量的分布列；2.掌握兩點(diǎn)分布與超幾何分布的特點(diǎn)，并會應(yīng)用1 離散型隨機(jī)變量的分布列(1)如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量；按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有性質(zhì)：pi_0，i1,2，n；p1p2pipn_1_.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和2 如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq其中0p1，q1p，則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布3 超幾何分布列在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率：P(Xk)(k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、NN*，則稱分布列X01mP為超幾何分布列難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 隨機(jī)變量的本質(zhì)(1)所謂隨機(jī)變量，就是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系，這與函數(shù)概念本質(zhì)上是相同的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量是實(shí)數(shù)x，而在隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量X的自變量是試驗(yàn)結(jié)果(2)隨機(jī)變量具有如下特點(diǎn)：其一，在試驗(yàn)之前不能斷言隨機(jī)變量取什么值，即具有隨機(jī)性；其二，在大量重復(fù)試驗(yàn)中能按一定統(tǒng)計規(guī)律取實(shí)數(shù)值的變量，即存在統(tǒng)計規(guī)律性2 離散型隨機(jī)變量的分布列的作用(1)對于隨機(jī)變量X的研究，需要了解隨機(jī)變量將取哪些值以及取這些值或取某一集合內(nèi)的值的概率，對于離散型隨機(jī)變量，它的分布列正是指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取這些值的概率(2)利用離散型隨機(jī)變量的分布列，可以求其期望和方差1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234Pp則p_.答案解析由分布列的性質(zhì)知：所有概率之和為1，所以p.2 設(shè)某運(yùn)動員投籃投中的概率為0.3，則一次投籃時投中次數(shù)X的分布列是_答案X01P0.70.33. 在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)的分布列為_答案012P解析的所有可能值為0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列為012P4 已知隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)，k1,2，則P(2X4)等于()A. B. C. D.答案A解析P(2X4)P(X3)P(X4).5 隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)等于()A. B. C. D.答案D解析a，b，c成等差數(shù)列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.題型一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)例1設(shè)隨機(jī)變量的分布列為Pak(k1,2,3,4,5)，則常數(shù)a的值為_，P_.思維啟迪：直接根據(jù)分布列的性質(zhì)求解答案解析隨機(jī)變量的分布列為1Pa2a3a4a5a由a2a3a4a5a1，解得a.PPPP(1)3a4a5a12a.探究提高(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗(yàn)，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)(2)求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的取值概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機(jī)變量對應(yīng)的取值概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2c38c則常數(shù)c_，P(X1)_.答案解析由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知：，解得c.P(X1)38.題型二離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及應(yīng)用例2隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為.(1)求的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即的均值)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？思維啟迪：本題在求解時，一定要分清求解的是哪一個變量的均值，理清隨機(jī)變量取值時的概率解(1)由于1件產(chǎn)品的利潤為，則的所有可能取值為6,2,1，2，由題意知P(6)0.63，P(2)0.25，P(1)0.1，P(2)0.02.故的分布列為6212P0.630.250.10.02(2)1件產(chǎn)品的平均利潤為E()60.6320.2510.1(2)0.024.34(萬元)(3)設(shè)技術(shù)革新后三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E()60.72(10.7x0.01)1x(2)0.014.76x.由E()4.73，得4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多為3%.探究提高(1)求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個值的概率；寫出X的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識(2)求解離散型隨機(jī)變量X的均值與方差時，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、方差的定義求E(X)，D(X)即可(xx湖南)某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為1件).(2)由題意知，X的可能取值為2,3.P(X2)P(當(dāng)天商品銷售量為1件)；P(X3)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為2件)P(當(dāng)天商品銷售量為3件).所以X的概率分布列為X23P故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)23.題型三超幾何分布例3一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是.(1)求白球的個數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列思維啟迪：(1)列出符合題意的關(guān)于袋中白球個數(shù)x的方程；(2)隨機(jī)變量X服從超幾何分布解(1)記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個數(shù)為x，則P(A)1，得到x5.故白球有5個(2)X服從超幾何分布，其中N10，M5，n3，其中P(Xk)，k0,1,2,3.于是可得其分布列為X0123P探究提高對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù)，隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型2013年10月1日，為慶祝中華人民共和國成立64周年，來自北京大學(xué)和清華大學(xué)的6名大學(xué)生志愿者被隨機(jī)平均分配到天安門廣場運(yùn)送礦泉水、打掃衛(wèi)生、維持秩序這三個崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有1名北京大學(xué)志愿者的概率是.(1)求打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)，求的分布列解(1)記“至少有1名北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件A，則事件A的對立事件為“沒有北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”，設(shè)有北京大學(xué)志愿者x名，1x7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.3 設(shè)某項試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X0)等于()A0 B. C. D.答案C4 在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是 ()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)答案C解析X服從超幾何分布P(Xk)，故k4.二、填空題(每小題5分，共15分)5 設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么n_.答案10解析由于隨機(jī)變量X等可能取1,2,3，n.所以取到每個數(shù)的概率均為.P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.6 已知隨機(jī)變量只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是_答案解析設(shè)取x1，x2，x3時的概率分別為ad，a，ad，則(ad)a(ad)1，a，由得d.7 從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，則隨機(jī)變量X的概率分布列為X012P答案0.10.60.3解析P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3.三、解答題(共22分)8 (10分)從一批含有13件正品與2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求取得次品數(shù)的分布列解設(shè)隨機(jī)變量表示取出次品的個數(shù)，則服從超幾何分布，它的可能取值為0,1,2，其相應(yīng)的概率為P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列為012P9. (12分)某高中共派出足球、排球、籃球三個球隊參加市學(xué)校運(yùn)動會，它們獲得冠軍的概率分別為，.(1)求該高中獲得冠軍個數(shù)X的分布列；(2)若球隊獲得冠軍，則給其所在學(xué)校加5分，否則加2分，求該高中得分的分布列解(1)X的可能取值為0,1,2,3，取相應(yīng)值的概率分別為P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X的分布列為X0123P(2)得分5X2(3X)63X，X的可能取值為0,1,2,3.的可能取值為6,9,12,15，取相應(yīng)值的概率分別為P(6)P(X0)，P(9)P(X1)，P(12)P(X2)，P(15)P(X3).得分的分布列為691215PB組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(Xn) (n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P的值為 ()A. B. C. D.答案D解析P(Xn) (n1,2,3,4)，1，a，PP(X1)P(X2).2 袋中裝有10個紅球、5個黑球每次隨機(jī)抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹谷舫槿〉拇螖?shù)為，則表示“放回5個紅球”事件的是()A4 B5 C6 D5答案C解析“放回五個紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故6.3 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012PaF(x)P(Xx)，則當(dāng)x的取值范圍是1,2)時，F(xiàn)(x)等于()A. B. C. D.答案D解析a1，a.x1,2)，F(xiàn)(x)P(Xx).二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知隨機(jī)變量的分布列為P(k)，k1,2,3，n，則P(25)_.答案解析P(25)P(3)P(4)P(5).5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X1234Pm則P(|X3|1)_.答案解析由m1，解得m，P(|X3|1)P(X2)P(X4).6. 如圖所示，A、B兩點(diǎn)5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)都通過的最大信息總量為，則P(8)_.答案解析方法一由已知，的取值為7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的分布列為78910PP(8)P(8)P(9)P(10).方法二P(8)1P(7)1.三、解答題7 (13分)某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進(jìn)行調(diào)查瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力某班學(xué)生共有40人，下表為該班學(xué)生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人.視覺聽覺視覺記憶能力偏低中等偏高超常聽覺記憶能力偏低0751中等183b偏高2a01超常0211由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為.(1)試確定a，b的值；(2)從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率；(3)從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列解(1)由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有(10a)人記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A，則P(A)，解得a6.所以b40(32a)40382.答a的值為6，b的值為2.(2)由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生共有8人方法一記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件B，則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件，所以P(B)1P()11.答從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為.方法二記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件B，所以P(B).答從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為.(3)由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為C，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人，從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為CC，所以從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為P(k)(k0,1,2,3)，的可能取值為0,1,2,3，因?yàn)镻(0)，P(1)，P(2)，P(3)，所以的分布列為0123P