大學普通物理學經典課件--剛體的轉動.ppt

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,第五章 剛體的轉動,教學基本要求,一 理解描寫剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量與線量的關系.,二 理解力矩和轉動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉動的轉動定理.,三 理解角動量概念，掌握質點在平面內運動以及剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒問題.,能運用以上規(guī)律分析和解決包括質點和剛體的簡單系統(tǒng)的力學問題.,四 理解剛體定軸轉動的轉動動能概念，能在有剛體繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律,一 剛體,5.1 剛體轉動的描述,1 定義：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的 物體 .,note：1）理想化模型。,2）剛體運動時，各質點之間的相對距離不發(fā)生 變化。,3）視為內力無窮大的特殊質點系。,2 剛體的運動形式：平動、轉動 .,1） 平動：若剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線 .,,2） 轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動. 轉動又分定軸轉動和非定軸轉動 .,剛體的平面運動 .,,,,二 剛體轉動的角速度和角加速度,,,,角位移,角坐標,角速度矢量,方向: 右手螺旋方向,角加速度,1） 每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面； 2） 任一質點運動 均相同，但 不同； 3） 運動描述僅需一個坐標 .,定軸轉動的特點,剛體定軸轉動（一維轉動）的轉動方向可以用角速度的正負來表示 .,三 勻變速轉動公式,當剛體繞定軸轉動的角加速度為恒量時，剛體做 勻變速轉動 .,剛體勻變速轉動與質點勻變速直線運動公式對比,四 角量與線量的關系,,,,,,,飛輪 30 s 內轉過的角度,例1 一飛輪半徑為 0.2m、 轉速為150rmin-1， 因受制動而均勻減速，經 30 s 停止轉動 . 試求：（1）角加速度和在此時間內飛輪所轉的圈數；（2）制動開始后 t = 6 s 時飛輪的角速度；（3）t = 6 s 時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度 .,該點的切向加速度和法向加速度,轉過的圈數,,剛體繞 O z 軸旋轉 , 力 作用在剛體上點 P , 且在轉動平面內, 為由點O 到力的作用點 P 的徑矢 .,一 力矩,2 轉動定律,力臂：從O點到 作用線的垂直距離d叫力臂。,力矩為：力的大小和力臂的乘積，叫做力 對轉軸Z的力矩。,是一矢量。,大?。?方向：右手螺旋。,思考：與Z軸平行的力在Z軸上的力矩等于多少？作用線過Z軸的力在Z軸上的力矩等于多少？,判斷：平行于Z軸的力對Z軸的力矩一定是0，垂直于Z軸的力對Z軸的力矩一定不為0.,,,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中 對轉軸的力 矩為零，故 對轉軸的力矩,結論：剛體所受的合力為0是，剛體的合力矩可以為0，也可以不為0.當合力矩為0時，合力不一定為0.,3） 剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消,,O,二 轉動定律,2）剛體,質量元受外力 ，內力,,1）單個質點 與轉軸剛性連接,外力矩,內力矩,,,,剛體所受的對于某一固定軸的合力矩等于剛體對此轉軸的轉動慣量與剛體在此合力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。,轉動定律,定義轉動慣量,Note：1）轉動定律中的各量均對同一轉軸。,2）此方程式類似于 。,,,說明力矩是使剛體狀態(tài)發(fā)生改變而產生角加速度的原因。,三 轉動慣量,物理意義：轉動慣性的量度 .,質量離散分布剛體的轉動慣量,轉動慣性的計算方法,解 設棒的線密度為 ，取一距離轉軸 OO 為 處的質量元,,例1 一質量為 、長為 的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量 .,如轉軸過端點垂直于棒,例2 一質量為 、半徑為 的均勻圓盤，求通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉動慣量 .,解 設圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為 ，寬為 的圓環(huán),而,圓環(huán)質量,所以,圓環(huán)對軸的轉動慣量,四 平行軸定理,轉動慣量的大小取決于剛體的質量、形狀及轉軸的位置 .,質量為 的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為 ，則對任一與該軸平行，相距為 的轉軸的轉動慣量,圓盤對P 軸的轉動慣量,,例4 一半徑為R，質量密度為?的薄圓盤，有兩個半徑均為 的圓孔，兩圓孔中心距離圓盤中心距離均為 ，如圖所示。求此薄圓盤對于通過圓盤中心而與盤面垂直的軸的轉動慣量。,O,解：補償法,設想在帶孔圓盤的每個小孔處填充質量為+m′和-m ′且相等的小圓盤，這樣并不會改變原來的質量分布，但形成了正質量的大圓盤和負質量的小圓盤的組合體，它們的轉動慣量都可以按公式計算，而帶孔的圓盤的轉動慣量可以由疊加法求出！,,正質量的大圓盤對盤心O的轉動慣量 為：,,,兩個負質量的小圓盤對O軸的轉動慣量為：,于是帶孔圓盤對O軸的轉動慣量為：,,練習1：一可忽略質量的輕質平面的正方形框架，邊長為a，其四個頂點上分別有一個質量為m的質點(平行軸定理)。,求：1）此質點系垂直于正方形平面且過中心軸OZ的轉動慣量。 2）若轉軸平移至其中一個頂點，轉動慣量為多少？ 3）若轉軸平移至正方形一邊的中點，轉動慣量為多少？,練習2：求如圖所示剛體對經過棒端且與棒垂直的軸的轉動慣量。,五 轉動定律的應用,定軸轉動剛體與可視為質點的物體組成的系統(tǒng)力學問題。處理這類問題的方法與處理質點力學問題相同：,1）選取研究對象 2）分析各隔離體所受的力或者力矩，判斷各隔離體的運動情況 3）應用牛頓定律（質點）或轉動定律（剛體）分別列出方程 4）建立角量與線量之間的關系（質點與剛體之間的聯系）5）連列方程求解,簡單剛體定軸轉動，直接應用轉動定律求解。,例5 一長為 質量為 勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉動 . 由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉動 .試計算細桿轉動到與豎直線成 角時的角加速度和角速度 .,解 細桿受重力和 鉸鏈對細桿的約束力 作用，由轉動定律得,式中,得,由角加速度的定義,代入初始條件積分 得,例6 質量為 的物體 A 靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質量為 的圓柱形滑輪 C，并系在另一質量為 的物體 B 上. 滑輪與繩索間沒有滑動， 且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計. 問：（1） 兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2） 物體 B 從,靜止落下距離 時，其速率是多少？,,,解 （1）隔離物體分別對物體A、B 及滑輪作受力分析，取坐標如圖，運用牛頓第二定律 、轉動定律列方程 .,,如令 ，可得,（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率,一 質點的角動量定理和角動量守恒定律,3 角動量 角動量守恒,,,1 質點的角動量,質量為 的質點以速度 在空間運動，某時刻相對原點 O 的位矢為 ，質點相對于原點的角動量,大小,的方向符合右手法則.,1）質點以角速度 作半徑為 的圓運動，相對圓心的角動量,,,2）角動量與位矢 和動量 有關，即與參考點O的選擇有關。因此，在講述質點的角動量時，必須指明是針對哪一點的角動量。,3）角動量的定義并沒有對質點的運動做任何限制，做直線運動的質點對選定的參考點同樣具有角動量。,作用于質點的合力對參考點 O 的力矩 ，等于質點對該點 O 的角動量隨時間的變化率.,2 質點的角動量定理,質點所受對參考點 O 的合力矩為零時，質點對該參考點 O 的角動量為一恒矢量.,恒矢量,沖量矩,質點（系）的角動量定理：對同一參考點 O ，質點（系）所受的沖量矩等于質點（系）角動量的增量.,3 質點（系）的角動量守恒定律,例7 一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內.一質量為 m 的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動. 小球開始時靜止于圓環(huán)上的點 A (該點在通過環(huán)心 O 的水平面上),然后從 A 點開始下滑.設小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計.求小球滑到點 B 時對環(huán)心 O 的角動量和角速度.,解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里,由質點的角動量定理,考慮到,得,由初始條件積分上式,,二 剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律,,,,,1 剛體定軸轉動的角動量,2 剛體定軸轉動的角動量定理,非剛體定軸轉動的角動量定理,,,,角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.,內力矩不改變系統(tǒng)的角動量.,,守 恒條件,若 不變， 不變；若 變， 也變，但 不變.,剛體定軸轉動的角動量定理,3 剛體定軸轉動的角動量守恒定律,有許多現象都可以用角動量守恒來說明.,自然界中存在多種守恒定律,動量守恒定律 能量守恒定律 角動量守恒定律,電荷守恒定律 質量守恒定律 宇稱守恒定律等,花樣滑冰 跳水運動員跳水,被 中 香 爐,慣性導航儀（陀螺）,角動量守恒定律在技術中的應用,角動量定理和角動量守恒定律的應用 例8 質量為Ｍ，半徑為Ｒ的轉臺，可繞過中心的豎直軸無摩擦的轉動。質量為ｍ的一個人，站在距離中心ｒ處（ｒR），開始時，人和臺處于靜止狀態(tài)。如果這個人沿著半徑為ｒ的圓周勻速走一圈，設它相對于轉臺的運動速度為ｕ，求轉臺的旋轉角速度和相對地面的轉過的角度。,分析：以人和轉臺為一系統(tǒng)，設系統(tǒng)沒有受到外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動量守恒。應用角動量定律時，其中角速度和速度都是相對于慣性系而言。因此，人在轉臺走動時，必須考慮人相對地面的速度。,,解：對于人和轉臺形成的系統(tǒng)，角動量守恒（思考？）設人對地面的速度為 ，轉臺對地面的轉速為?，則有：,而：,,代入得：,,其中，“-”表示轉臺轉動方向與人在轉臺走動的方向相反。由于u為恒量，則?也為恒量，即勻速轉動。,設在時間?t內轉臺相對地面轉過的角度為?，則有,,,,？,力矩的功,一 力矩作功,二 力矩的功率,,,4 轉動中的功和能,三 轉動動能,四 剛體繞定軸轉動的動能定理,合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量 .,五 含有轉動剛體的機械能守恒定律,由定軸轉動剛體與另外物體組成的系統(tǒng)，只有保守內力做功時，系統(tǒng)的總機械能保持不變。,恒量,,質心到勢能零點的高度,,,,,質點運動與鋼體定軸轉動對照表,,,,,,,,,,,,,,,,角動量守恒定律和機械能守恒定律的綜合應用 例9 質量為ｍ的小圓環(huán)，套在一長為?，質量為Ｍ的光滑均勻桿ＡＢ上，桿可以繞過其Ａ端的固定軸在水平面上自由旋轉。開始時，桿的角速度為?0，兩小環(huán)位于Ａ點，當小環(huán)受到一微小的擾動后，即沿桿向外滑動。試求當小環(huán)脫離桿時的速度。,Note：小球脫離桿時的速度是由環(huán)沿桿的速度和桿旋轉時環(huán)沿圓周運動的切向速度合成的結果，所以環(huán)脫離桿的速度與桿間有一角度。,解：設小環(huán)脫離桿時的角速度為?，由角動量守恒有：,其中,,設小環(huán)脫離桿時的速度為?，由機械能守恒有：,,,,?的方向與桿的夾角?：,,練習題： 1 剛體的轉動慣量僅決定于： Ａ 剛體的質量 Ｂ 剛體質量的空間分布 Ｃ 剛體的質量對定軸的分布 Ｄ 轉軸的位置,2關于力矩有以下幾種說法，其中正確的是： Ａ內力矩會改變剛體對某個定軸的角動量 Ｂ作用力和反作用力對同一軸的力矩之和必為０ Ｃ角速度的方向一定與外力矩的相同 Ｄ質量相等、形狀、大小不同的兩個剛體，在相同力矩的作用下，它們的角加速度一定相等。,3 如圖，水平轉臺上距軸為Ｒ處，有一質量為ｍ的物體隨轉臺作勻速圓周運動，已知物體與臺面的靜摩擦系數為?，若物體與組合體無相對滑動，則物體的轉動動能為： Ａ Ｅk≤ ?ｍgR/4 B Ｅk≤ ?ｍgR/2 C Ｅk≤ ?ｍgR D Ｅk≤ 2?ｍgR,4 對一個繞固定水平軸上一點o勻速轉動轉盤，如圖，沿同一水平直線從相反方向射入兩顆相同質量速率相等的子彈，并留在盤中，則子彈射入后轉盤的角速度[ ] A 變大 B 變小 C 不變 D 不確定,5 一長為? 的細桿，兩端分別固定質量為m和2m的小球，此系統(tǒng)可在豎直平面內繞中心O自由轉動，如圖。開始時桿與水平方向成60，處于靜止狀態(tài)，無初速度的釋放，桿球系統(tǒng)繞O軸轉動，則該系統(tǒng)繞O軸的轉動慣量（ ），當桿轉到水平位置時，系統(tǒng)所受的合力矩（ ），角加速度（ ）,