高中數(shù)學(xué) 1.3第1課時輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法課件 新人教A版必修3.ppt

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成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,人教A版 必修3,算法初步,第一章,1.3 算法案例,第一章,第1課時 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法,雞兔同籠問題是中國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算法》中的一道名題，題目是這樣的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”書中給出的解法是：雞有兩只腳，兔有四只腳，把腳數(shù)除以2，共有47對腳．由于雞有1對腳，兔有2對腳，所以從47中減去25，得12即為兔子數(shù)．因為如要籠子里的動物每只都只有1對腳，就會多出12對腳來，把這12對腳分別加到有2對腳的動物身上，就有12只腳動物，即兔子數(shù)．整個解題過程可以簡單地寫作：,●知識銜接,1．輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù) (1)輾轉(zhuǎn)相除法． ①算法步驟： 第一步，給定兩個正整數(shù)m，n. 第二步，計算m除以n所得的余數(shù)r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝___，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則返回 第___步．,●自主預(yù)習(xí),0,二,②程序框圖如圖所示．,,③程序： INPUT m，n DO r＝m MOD n m＝n n＝r LOOP UNTIL _______ PRINT ___ END,r＝0,m,(2)更相減損術(shù)． 算法步驟： 第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是______．若是，用___約簡；若不是，執(zhí)行第二步． 第二步，以較大的數(shù)___去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以___數(shù)減___數(shù)．繼續(xù)這個操作，直到所得的差與減數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)．,偶數(shù),2,減,大,小,2．秦九韶算法 (1)概念：求多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值時，常用秦九韶算法，這種算法的運算次數(shù)較少，是多項式求值比較先進(jìn)的算法，其實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求n個______多項式的值，共進(jìn)行___次乘法運算和___次加法運算．其過程是： 改寫多項式為： f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 設(shè)v1＝____________，,一次,n,n,anx＋an－1,v2＝v1x＋an－2， v3＝v2x＋an－3， …， vn＝___________.,vn－1x＋a0,(2)算法步驟： 第一步，輸入多項式的次數(shù)n、最高次項的系數(shù)an和x的值． 第二步，將v的值初始化為an，將i的值初始化為n－1. 第三步，輸入i次項的系數(shù)ai. 第四步，v＝vx＋ai，i＝________. 第五步，判斷i是否大于或等于___.若是，則返回第三步；否則，輸出多項式的值___.,i－1,0,v,(3)程序框圖如圖所示．,,(4)程序： INPUT “n＝”；n INPUT “an＝”；a INPUT “x＝”；x v＝a i＝n－1 WHILE ___________ PRINT “i＝”；i INPUT “ai＝”；a,i＝0,v＝_________ i＝i－1 WEND PRINT ___ END,v*x＋a,v,1．用輾轉(zhuǎn)相除法求36與134的最大公約數(shù)，第一步是( ) A．134－36＝98 B．134＝363＋26 C．先除以2，得到18與67 D．36＝261＋10 [答案] B [解析] 求36與134的最大公約數(shù)，第一步是134＝363＋26，第二步是36＝261＋10，故選D.,●預(yù)習(xí)自測,2．(2015河北省廊坊一中月考)用輾轉(zhuǎn)相除法求294和84的最大公約數(shù)時，需要做除法的次數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] B [解析] 本題考查輾轉(zhuǎn)相除法的過程.294＝843＋42,84＝422，故選B.,3．設(shè)計程序框圖，用秦九韶算法求多項式的值，所選用的結(jié)構(gòu)是( ) A．順序結(jié)構(gòu) B．條件結(jié)構(gòu) C．循環(huán)結(jié)構(gòu) D．以上都有 [答案] D 4．用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時，第一步是________． [答案] 用2約簡 [解析] 由于294和84都是偶數(shù)，先用2約簡．,5．(2015云南省景洪一中月考)用秦九韶算法計算多項式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5時的值，需做乘法和加法的次數(shù)分別是________． [答案] 6次乘法，6次加法 [解析] 將多項式改寫為f(x)＝(((((3x＋2)x＋4)x＋5)x＋7)x＋8)x＋1，化為6個一次因式求解，故只做了6次乘法和6次加法．,用輾轉(zhuǎn)相除法求80和36的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗所得結(jié)果． [探究] 1.輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的主要區(qū)別是什么？ 2．將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，執(zhí)行輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)的步驟即可．,輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)的應(yīng)用,●互動探究,[解析] 用輾轉(zhuǎn)相除法： 80＝362＋8， 36＝84＋4， 8＝42＋0. 故80和36的最大公約數(shù)是4.,用更相減損術(shù)檢驗： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公約數(shù)是4.,[規(guī)律總結(jié)] 更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法都能求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，二者的區(qū)別與聯(lián)系如下表.,(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求288與123的最大公約數(shù)． (2)用更相減損術(shù)求57與93的最大公約數(shù)． (3)求567與405的最小公倍數(shù)． [解析] (1)288＝1232＋42,123＝422＋39， 42＝391＋3,39＝313， ∴288和123的最大公約數(shù)是3. (2)(93,57)―→(36,57)―→(36,21)―→(15,21)―→(15,6)―→(9,6)―→(3,6)―→(3,3)， ∴93與57的最大公約數(shù)是3.,(3)567＝4051＋162 405＝1622＋81 162＝812＋0 ∴81是567與405的最大公約數(shù)，從而567與405的最小公倍數(shù)為56740581＝2835.,(1)(2015三明高一檢測)用秦九韶算法計算多項式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，當(dāng)x＝0.4時的值時，需要做乘法和加法的次數(shù)分別是( ) A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5 (2)已知一個五次多項式f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1，用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)x＝3是的值．,用秦九韶算法求多項式的值,,[探究] 1.用秦九韶算法求多項式的值時，幾次多項式就做幾次乘法運算，對嗎？ 2．用秦九韶算法求多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0在x＝x0時的值時，v0是什么？v1呢？ [解析] (1)將多項式改寫成如下形式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，顯然，把x＝0.4代入計算其值時，共做了6次乘法，6次加法．,(2)因為f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1， v0＝2， v1＝23＋0＝6， v2＝63－4＝14， v3＝143＋3＝45， v4＝453－5＝130， v5＝1303＋1＝391， 所以f(3)＝391. [答案] (1)A (2)391,[規(guī)律總結(jié)] 用秦九韶算法時要正確將多項式的形式進(jìn)行改寫，然后由內(nèi)向外依次計算．當(dāng)多項式函數(shù)中間出現(xiàn)空項時，要以系數(shù)為零的齊次項補(bǔ)充．,用秦九韶算法求多項式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x當(dāng)x＝3時的值． [探究] 解決本題首先需要將原多項式化成f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7分別是多少，再針對這些式子進(jìn)行計算．,[解析] f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有 v0＝7； v1＝73＋6＝27； v2＝273＋5＝86； v3＝863＋4＝262； v4＝2623＋3＝789； v5＝7893＋2＝2369； v6＝23693＋1＝7108； v7＝71083＝21324. 故當(dāng)x＝3時，多項式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值為21324.,試用輾轉(zhuǎn)相除法求325、130、270的最大公約數(shù)． [探究] 應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法去除，即依據(jù)m＝nq＋r反復(fù)執(zhí)行，直到r＝0為止．,求多個數(shù)的最大公約數(shù),●探索延拓,,[解析] ∵325＝1302＋65,130＝652， ∴325與130的最大公約數(shù)是65. ∵270＝654＋10,65＝106＋5,10＝652， ∴65與270的最大公約數(shù)是5， 故325、130、270三個數(shù)的最大公約數(shù)為5. [規(guī)律總結(jié)] 理解輾轉(zhuǎn)相除法的實質(zhì)，從計算結(jié)果上看，輾轉(zhuǎn)相除法是以相除余數(shù)為零而得到結(jié)果的．,求三個數(shù)175,100,75的最大公約數(shù)． [探究] 求三個數(shù)的最大公約數(shù)時，可以先求出其中兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù)，所得的結(jié)果就是這三個數(shù)的最大公約數(shù)．,[解析] 先求175與100的最大公約數(shù)： 175＝1001＋75,100＝751＋25， 75＝253， ∴175與100的最大公約數(shù)是25. 再求25與75的最大公約數(shù)： 75－25＝50,50－25＝25， ∴75和25的最大公約數(shù)是25. ∴175,100,75的最大公約數(shù)是25. [點評] 本題的解法可以推廣到求多個數(shù)的最大公約數(shù)，只需依次計算即可．,已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)的值． [錯解] f(x)＝((3x2＋2)x＋4)x＋2， v1＝3(－2)2＋2＝14； v2＝14(－2)＋4＝－24； v3＝－24(－2)＋2＝50. 故f(－2)＝50. [錯因分析] 所求f(－2)的值是正確的，但是錯解中沒有抓住秦九韶算法原理的關(guān)鍵，正確改寫多項式，并使每一次計算只含有一次項．,●誤區(qū)警示,[正解] f(x)＝3x4＋0x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2， v0＝3， v1＝3(－2)＋0＝－6； v2＝－6(－2)＋2＝14； v3＝14(－2)＋4＝－24； v4＝－24(－2)＋2＝50. 故f(－2)＝50.,(2015貴陽高一檢測)用秦九韶算法計算多項式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值時，v3的值為________． [答案] －57,[解析] 多項式變形為f(x)＝3x6＋5x5＋6x4＋79x3－8x2＋35x＋12＝(((((3x＋5)x＋6)x＋79)x－8)x＋35)x＋12， 當(dāng)x＝－4時， v0＝3， v1＝3(－4)＋5＝－7， v2＝－7(－4)＋6＝34， v3＝34(－4)＋79＝－57， v4＝－57(－4)－8＝220， v5＝220(－4)＋35＝－845， v6＝－845(－4)＋12＝3392.,1．下列有關(guān)輾轉(zhuǎn)相除法的說法正確的是( ) A．它和更相減損術(shù)一樣是求多項式值的一種方法 B．基本步驟是用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到除式m＝nq＋r，直至rn為止 C．基本步驟是用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到除式m＝qn＋r(0≤rn)反復(fù)進(jìn)行，直到r＝0為止 D．以上說法均不正確 [答案] C,2．更相減損術(shù)的理論依據(jù)是( ) A．每次操作所得的兩數(shù)和前兩數(shù)具有相同的最小公倍數(shù) B．每次操作所得的兩數(shù)和前兩數(shù)具有相同的最大公約數(shù) C．每次操作所得的兩數(shù)和前兩數(shù)的最小公倍數(shù)不同 D．每次操作所得的兩數(shù)和前兩數(shù)的最大公約數(shù)不同 [答案] B,3．用更相減損術(shù)求123與51的最大公約數(shù)時，需做減法的次數(shù)是( ) A．3 B．5 C．6 D．8 [答案] D,[解析] 123－51＝72， 72－51＝21， 51－21＝30， 30－21＝9， 21－9＝12， 12－9＝3， 9－3＝6， 6－3＝3， 所以共做了8次減法．,4．(2015山西省太原五中月考)用秦九韶算法求多項式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2當(dāng)x＝4時的值時，先算的是( ) A．44＝16 B．74＝28 C．444＝64 D．74＋6＝34 [答案] D [解析] 本題考查秦九韶算法的計算原理．因為f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多項式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2當(dāng)x＝4時的值時，先算的是74＋6＝34，故選D.,5．分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求357和105的最大公約數(shù)，并求最小公倍數(shù)． [解析] 輾轉(zhuǎn)相除法：357＝1053＋42,105＝422＋21,42＝212. 故105與357的最大公約數(shù)為21. 更相減損術(shù)：357－105＝252,252－105＝147,147－105＝42,105－42＝63， 63－42＝21,42－21＝21. 故105與357的最大公約數(shù)為21.最小公倍數(shù)為10535721＝1785.,