擺動(dòng)法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.doc

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Ⅲ 基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn) – 67 – 實(shí)驗(yàn)4　用復(fù)擺測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1．學(xué)習(xí)掌握對(duì)長(zhǎng)度和時(shí)間的較精確的測(cè)量； 2．掌握重力加速度的方法，并加深對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)理論的理解； 3．學(xué)習(xí)用作圖法處理、分析數(shù)據(jù)。 二、實(shí)驗(yàn)儀器 JD-2物理擺、光電計(jì)時(shí)器等 三、實(shí)驗(yàn)原理 1.單擺 如圖4-1（單擺球的質(zhì)量為m）當(dāng)球的半徑遠(yuǎn)小于擺長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量矩定理，在角坐標(biāo)系可得小球自由擺動(dòng)的微分方程為： 圖4-1單擺原理 (4-1) 式中t為時(shí)間，g為重力加速度，為擺長(zhǎng)。 當(dāng)（rad）很小時(shí)， (4-2) 則（4-1）式可簡(jiǎn)化為： （4-3） 令 (4-4) （4-3）式的解為： （4-5 ) 式中，由初值條件所決定。 周期 （4-6） 2．物理擺 圖4-2 物理擺(復(fù)擺) 一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺或物理擺。如圖4-2，設(shè)物理擺的質(zhì)心為C，質(zhì)量為M，懸點(diǎn)為O，繞O點(diǎn)在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，OC距離為，在重力作用下，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得微分方程為 (4-7) 令 （4-8） 仿單擺，在很小時(shí)，（4-7）式的解為： (4-9) (4-10) 設(shè)擺體沿過(guò)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，由平行軸定理可知： (4-11) 將（4-11）代入（4-10）可得： （4-12） (4-12)式就是物理擺的自由擺動(dòng)周期T和（4-13）式右端各參變量之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)就是圍繞（4-12）式而展開(kāi)的。 因?yàn)閷?duì)任何都有∝，因此（4-13）式的T與M無(wú)關(guān)，僅與M的分布相關(guān)。 令，稱為回轉(zhuǎn)半徑， 則有 （4-13） ①一次法測(cè)重力加速度 由（4-12）式可得出 （4-14） 測(cè)出（4-14）右端各量即可得；擺動(dòng)周期T，用數(shù)字計(jì)時(shí)器直接測(cè)出，M可用天平稱出，C點(diǎn)可用杠桿平衡原理等辦法求出，對(duì)于形狀等規(guī)則的擺，可以計(jì)算出。 ②二次法測(cè) 一次法測(cè)雖然簡(jiǎn)明，但有很大的局限性，特別是對(duì)于不規(guī)則物理擺，就難以確定，為此采用如下“二次法”測(cè)： 當(dāng)M及其分布（C點(diǎn)）確定以后，改變h值，作兩次測(cè)T的實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用（4-13）式于是有 即 (4-15) (4-16) 聯(lián)立解（4-15）、（4-16）式，可得出 （4-17） 這樣就消去了，所以（4-17）測(cè)就有著廣泛的適用性。從（4-17）式，更可十分明確地看到T與M的無(wú)關(guān)性。 雖然，任意兩組（,），（,）實(shí)測(cè)值，都可以由（4-17）式算出；但是，對(duì)于一個(gè)確定的“物理擺”選取怎樣的兩組（,）數(shù)據(jù)，使能得出最精確的的實(shí)測(cè)結(jié)果呢？為此必須研究（）關(guān)系： 將（4-12）式平方，于是可得出 （4-18） 從此式可以看出T2與h的關(guān)系大體為一變形的雙曲線型圖線：當(dāng)h趨于0時(shí)T→∞，當(dāng)h→∞，T亦趨于∞；可見(jiàn)在h的某一處一定有一個(gè)凹形極小值。為此，對(duì)（4-18）作一次求導(dǎo)并令其為0；即由可得 （4-19） （4-20） 即移動(dòng)擺軸所增加的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恰為質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即h = a處所相應(yīng)的T為極小值（為什么？）。 （注意：體會(huì)稱a為回轉(zhuǎn)半徑的含義） 將（4-13）式取二次導(dǎo)數(shù) 圖4-3 擺動(dòng)周期T與擺軸離中心距離h的關(guān)系 為研究T（h）關(guān)系特在0.6m長(zhǎng)的扁平擺桿上，間隔2cm均勻鉆出直徑為1cm的28個(gè)孔以作為O點(diǎn)的Hi值（i= ±1，±2，±3，……±14）于是可得出如圖4-3所示的曲線。 在共軛的A，B二極小T值點(diǎn)以上，沿任一T h畫(huà)一條直線，交圖線于C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)；皆為等T值點(diǎn)，錯(cuò)落的兩對(duì)等T值間的距離（hD+hE）= hC + hF被稱為等值單擺長(zhǎng)。為理解這一點(diǎn)，將（4-17）式的T1與TE（或TD）對(duì)應(yīng)，T2與TF（或TC）對(duì)應(yīng)，h1為與T1對(duì)應(yīng)的hE，h2為與T2對(duì)應(yīng)的hF，并將(4-17)式改形為： （4-22） （4-22）與（4-17）的等同性同學(xué)們?cè)谡n后去用代數(shù)關(guān)系式驗(yàn)證。從（4-22）可知，當(dāng)T1 = T2（=T）時(shí)，即化為單擺形式的公式（4-6），故稱（hE+hF）、（hC+hD）為等值單擺長(zhǎng)。 從（4-20）式可知：==；而aX2 = hE+ h1 從圖4-3可知，A，B二共軛點(diǎn)為T（h）的極小值點(diǎn)，若在它附近取二個(gè)h值來(lái)計(jì)算則將引起較大的誤差。所以欲取得精確的的測(cè)量值，就只能取最大的F點(diǎn)和相應(yīng)的E點(diǎn)來(lái)計(jì)算值。因孔的非連續(xù)性，E只能取TE近乎于TF的點(diǎn)代入（4-22）式。還可取略大、略小的兩組值都計(jì)算出再取平均。 A或B在實(shí)驗(yàn)上雖然不利于測(cè)量出較精確的，但運(yùn)行在TB（或TA）值下的擺，其性能最穩(wěn)定。 ③可倒擺 為提高測(cè)的精度，歷史上在對(duì)稱結(jié)構(gòu)的物理擺的擺桿上，加兩個(gè)形體相同而密度不同的兩個(gè)擺錘對(duì)稱地放置。于是質(zhì)心C點(diǎn)隨即被改變，圖4-3的圖線也隨之改變，特別是TC（即T1），TF（即T2）所相應(yīng)的hC（即h1），hF（即h2）也隨之改變。但曲線的形狀依歸。 所以，用此時(shí)的T（=TF =TC）和h1（=hC），h2（=hF）按（4-22）式來(lái)計(jì)算出。 當(dāng)然，由于擺桿孔的非連續(xù)性，所以僅能用TC≈TF的實(shí)測(cè)值，這時(shí)（4-22）式的右端的第2項(xiàng)僅具很小的值。所以（T1–T2）很小，而（h1–h2）較大。 所以實(shí)驗(yàn)須先在重鐵錘的擺桿的下端測(cè)出T1后，將擺倒置過(guò)來(lái)，從遠(yuǎn)端測(cè)出大于T1的值然后逐漸減h2直至T2小于T1為止。 將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱為開(kāi)特氏擺）；（4-22）式就稱為可倒擺計(jì)算式。 擺錘用兩個(gè)而不是用一個(gè)，而且形體作成相同，是因?yàn)榈怪靡院笤跀[動(dòng)過(guò)程中，擺的空氣阻尼等對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)的影響可消除。 由物理擺的理論可知，可倒擺（開(kāi)特?cái)[）僅是物理擺的特例。 ④錘移效應(yīng) a．加錘擺的擺動(dòng)周期Tm 設(shè)原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質(zhì)量為M，質(zhì)心為C（設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)），擺心為O，CO距離為h，質(zhì)心C處與擺心O處沿OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、。以上條件皆固定不變。然 圖4-4 加錘擺 后再加一個(gè)圓柱形的擺錘，錘的回轉(zhuǎn)半徑為r，質(zhì)量為m；正軸與上述各軸平行。錘移動(dòng)沿CO方向?yàn)?X。置錘于X處，如圖4-4所示。 擺的總質(zhì)量為 M′ (4-23) 質(zhì)心變?yōu)镃′，由一次矩平衡原理可得出 (4-24) 所以新的擺長(zhǎng) h′=– (4-25) 由平行軸定理，可得 J0′ (4-26) 設(shè)重力加速度已知（不變），則帶錘的擺動(dòng)方程式仿（4-7）、（4-10）式為：（動(dòng)量矩定理） (4-27) ⅰ.加錘擺的周期公式 Tm為： （4-28） 在研究錘移效應(yīng)時(shí)，令（固定不變）： (4-29) (4-30) 所以有 （4-31） 此式的特點(diǎn)： ▲它與無(wú)錘擺的形式相似，即原T（h）關(guān)系與現(xiàn)在Tm（X）關(guān)系相似，（此時(shí)h為固定常數(shù)） ▲由于X的取向等原因，所以Tm（X）相當(dāng)于圖4-3曲線的左葉，Tm（X）的漸近線為，即時(shí)，Tm →∞ 而X的負(fù)向則為，X→－∞，Tm →＋∞ 注：，則Tm為復(fù)數(shù)（無(wú)意義） ▲它也存在著極（?。┲? 所以應(yīng)由 （4-32） 令 所以有 令 , , 代入 可得 （4-33） = 0 X = 分子，分母都除以2m（根號(hào)內(nèi)除以4m2）得 （4-34） 所以X一定有解，T有極值T（X） 如前所述，T（X）函數(shù)與T（h）函數(shù)的性狀是一樣的，所以此極值也一定是極??；（以求來(lái)判定，略去） ⅱ.零質(zhì)量擺錘的周期（公式）Tm0 將m=0 代入公式（4-28），可得 (4-35) Th意義就是與X平行的，值為Th 的T（X）函數(shù)線。Th也就是無(wú)錘擺在= h時(shí)的擺動(dòng)周期值，這也就是研究T（X）時(shí)為什么X的取向，原點(diǎn)都與原來(lái)的T（h）的h取向、原點(diǎn)為一致的原因，而另取一個(gè)有別于h的符號(hào)X是為了討論、理解得方便。理解這一點(diǎn)是弄明下一點(diǎn)的前提。 ⅲ.周期Tm與Th（即m=0時(shí)的Tm）的交點(diǎn)，即有Tm =Th 也就是令（4-28）式與（4-13）式相等，于是有： （4-36） 所以 解得 （4-37） 上式如下特點(diǎn)： ▲它與m無(wú)關(guān)。即錘的結(jié)構(gòu)、形狀相同（r相同）而密度（即質(zhì)量）不同的擺錘，在X處擺的周期T相等。 ▲它在ra條件下有兩個(gè)實(shí)根。 ▲ 當(dāng) r （4-38） 即雖然它與錘質(zhì)量無(wú)關(guān)，但它與質(zhì)量的分布（回轉(zhuǎn)半徑r）相關(guān)，且r滿足（4-38）式時(shí)，無(wú)解。 ▲ 當(dāng) r （4-39） 時(shí)退化為只有一個(gè)解： （4-40） ⅳ.回到物理擺的周期公式（4-12）式或（4-13）式，在擺桿質(zhì)心點(diǎn)當(dāng)有類似情況。 ▲當(dāng)m≠0而r→0的質(zhì)點(diǎn)錘置于擺桿的質(zhì)心C處時(shí)，并且懸掛點(diǎn)于a處。 ▲當(dāng) m≠0，m變則T變，這與由（4-37）式算出的X處r不變T變，m變而T為不變是有所不同的。 ⅴ.（鐘表擺的）T的微調(diào) ▲遠(yuǎn)離于C，X1，X2； ▲調(diào)擺錘（或平衡錘——亦可稱之為擺的“平衡”錘）的質(zhì)量或其質(zhì)量的分布。移動(dòng)平衡錘。 三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟 安裝、調(diào)節(jié)好儀器以后： 1．測(cè)出無(wú)錘擺桿的T（H）關(guān)系；（可只測(cè)半截?cái)[桿的） 2．測(cè)出兩個(gè)加錘擺的T1（X），T2（X）關(guān)系；兩擺錘的形狀、尺寸須相同，而質(zhì)量不同； 3．然后按原理所述，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。 數(shù)據(jù)表格自列。 四、注意事項(xiàng) 1．?dāng)[幅A須小于1°，按R=0.3m（擺桿）+0.03m(擺針)= 330mm計(jì)2倍振幅 2A ≤ ≤10mm； 2．?dāng)[的懸掛處的孔和刀口間須密切接觸，不密切則調(diào)底腳螺釘，否則影響實(shí)驗(yàn)測(cè)量； 3．還須盡量作處于孔的正中央、且盡量作到一致； 4．周期T的測(cè)量建議以t=10T為宜，即T =。 五、思考題 1．試證明二次法測(cè)g的公式（4-17）等效于卡特公式（4-22）。 2．為什么不能用圖三的C點(diǎn)的（T1，h1）值和F點(diǎn)的（T2，h2）值來(lái)計(jì)算重力加速度值，而須（F，D）或（F，E）來(lái)計(jì)算。 3．試述用擺動(dòng)法測(cè)量任意形狀物體對(duì)任一指定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)步驟（設(shè)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣纫阎?