量子力學(xué)ppt課件

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目 錄,第一章 量子力學(xué)的誕生 第二章 波函數(shù)和 Schrodinger 方程 第三章 一維定態(tài)問題 第四章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 第五章 態(tài)和力學(xué)量表象 第六章 近似方法 第七章 量子躍遷 第八章 自旋與全同粒子 附錄 科學(xué)家傳略,1,,,,,,,第一章 量子力學(xué)的誕生,§1 經(jīng)典物理學(xué)的困難 §2 量子論的誕生 §3 實(shí)物粒子的波粒二象性,2,,,,,,,§1 經(jīng)典物理學(xué)的困難,(一）經(jīng)典物理學(xué)的成功 19世紀(jì)末，物理學(xué)理論在當(dāng)時看來已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)完善的階段。主要表現(xiàn)在以下兩個方面： (1) 應(yīng)用牛頓方程成功的討論了從天體到地上各種尺度的力學(xué)客體體的運(yùn)動，將其用于分子運(yùn)動上，氣體分子運(yùn)動論，取得有益的結(jié)果。1897年湯姆森發(fā)現(xiàn)了電子，這個發(fā)現(xiàn)表明電子的行為類似于一個牛頓粒子。 (2) 光的波動性在1803年由楊的衍射實(shí)驗(yàn)有力揭示出來，麥克斯韋在1864年發(fā)現(xiàn)的光和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系把光的波動性置于更加堅實(shí)的基礎(chǔ)之上。,3,,,,,,,（二）經(jīng)典物理學(xué)的困難,但是這些信念，在進(jìn)入20世紀(jì)以后，受到了沖擊。經(jīng)典理論在解釋一些新的試驗(yàn)結(jié)果上遇到了嚴(yán)重的困難。 （1）黑體輻射問題 （2）光電效應(yīng) （3）氫原子光譜,4,,,,,,黑體：能吸收射到其上的全部輻 射的物體，這種物體就 稱為絕對黑體，簡稱黑體。,黑體輻射：由這樣的空腔小孔發(fā) 出的輻射就稱為黑體輻射。,實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：,輻射熱平衡狀態(tài): 處于某一溫度 T 下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時，輻射達(dá)到熱平衡狀態(tài)。,熱平衡時，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度 T 有關(guān)而與黑體的形狀和材料無關(guān)。,,,,,,,,,,,,,,5,,,,,,Wien 公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長波部分則明顯不一致。,6,,1. Wien 公式,從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個分布公式：,7,,,,,1. Wien 公式,Wien 公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長波部分則明顯不一致。,8,,,,,,,（2）光電效應(yīng),光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象。這種電子稱之為光電子。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)有兩個突出的特點(diǎn)：,1.臨界頻率v0 只有當(dāng)光的頻率大于某一定值v0 時，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強(qiáng)度多大，照射時間多長，都沒有電子產(chǎn)生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。,2.電子的能量只是與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)只決定電子數(shù)目的多少。光電效應(yīng)的這些規(guī)律是經(jīng)典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度而與頻率無關(guān)。,9,,,,,,,（3）原子光譜，原子結(jié)構(gòu),氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個線系，并得出氫原子譜線的經(jīng)驗(yàn)公式是：,這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發(fā)現(xiàn)了一系列線系，它們都可以用下面公式表示：,10,,,,,,,人們自然會提出如下三個問題：,1. 原子線狀光譜產(chǎn)生的機(jī)制是什么？ 2. 光譜線的頻率為什么有這樣簡單的規(guī)律？,3. 光譜線公式中能用整數(shù)作參數(shù)來表示這一事實(shí)啟發(fā)我們 思考： 怎樣的發(fā)光機(jī)制才能認(rèn)為原子的狀態(tài)可以用包含整數(shù)值的量來描寫。,11,,,,,,,從前，希臘人有一種思想認(rèn)為： 自然之美要由整數(shù)來表示。例如： 奏出動聽音樂的弦的長度應(yīng)具有波長的整數(shù)倍。,這些問題，經(jīng)典物理學(xué)不能給于解釋。首先，經(jīng)典物理學(xué)不能建立一個穩(wěn)定的原子模型。根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)，電子環(huán)繞原子核運(yùn)動是加速運(yùn)動，因而不斷以輻射方式發(fā)射出能量，電子的能量變得越來越小，因此繞原子核運(yùn)動的電子，終究會因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現(xiàn)實(shí)世界表明，原子穩(wěn)定的存在著。除此之外，還有一些其它實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象在經(jīng)典理論看來是難以解釋的，這里不再累述。 總之，新的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，暴露了經(jīng)典理論的局限性，迫使人們?nèi)ふ倚碌奈锢砀拍?，建立新的理論，于是量子力學(xué)就在這場物理學(xué)的危機(jī)中誕生。,12,,,,,,,§2 量子論的誕生,（一）Planck 黑體輻射定律 （二）光量子的概念和光電效應(yīng)理論 （四）波爾（Bohr）的量子論,（三）Compton 散射 ——光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí),13,,,,,,,§2 量子論的誕生,（一）Planck 黑體輻射定律 （二）光量子的概念和光電效應(yīng)理論 （四）波爾（Bohr）的量子論,（三）Compton 散射 ——光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí),14,,,,,,,（一）Planck 黑體輻射定律,究竟是什么機(jī)制使空腔的原子產(chǎn)生出所觀察到的黑體輻射能量分布，對此問題的研究導(dǎo)致了量子物理學(xué)的誕生。,1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔內(nèi)的黑體輻射和腔壁原子處于平衡，那么輻射的能量分布與腔壁原子的能量分布就應(yīng)有一種對應(yīng)。作為輻射原子的模型，Planck 假定：,15,,該式稱為 Planck 輻射定律,（1）原子的性能和諧振子一樣，以給定的頻率 v 振蕩；,（2）黑體只能以 E = hv 為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量， 而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量。,16,,,,,,,對 Planck 輻射定律的三點(diǎn)討論：,（1）當(dāng) v 很大（短波）時，因?yàn)?exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化為 Wien 公式。,,（2）當(dāng) v 很小（長波）時，因?yàn)?exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 則 Planck 定律變?yōu)? Rayleigh-Jeans 公式。,,17,,,,,,,對 Planck 輻射定律的三點(diǎn)討論：,（1）當(dāng) v 很大（短波）時，因?yàn)?exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化為 Wien 公式。,,（2）當(dāng) v 很?。ㄩL波）時，因?yàn)?exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 則 Planck 定律變?yōu)? Rayleigh-Jeans 公式。,,18,,,,,,,（二）光量子的概念 和光電效應(yīng)理論,（1） 光子概念 （2） 光電效應(yīng)理論 （3） 光子的動量,19,,,,,,,(1) 光子概念,第一個肯定光具有微粒性的是 Einstein，他認(rèn)為，光不僅是電磁波，而且還是一個粒子。 根據(jù)他的理論，電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時以能量 hν的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速 C 傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。 由相對論光的動量和能量關(guān)系 p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子動量 p 與輻射波長λ（=C/v）的關(guān)系。,20,,,,,,,（2） 光電效應(yīng)理論,用光子的概念，Einstein 成功地解釋了光電效應(yīng)的規(guī)律。,當(dāng)光照射到金屬表面時，能量為 hν的光子被電子所吸收，電子把這份能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分用來提供電子離開金屬表面時的動能。其能量關(guān)系可寫為：,從上式不難解釋光電效應(yīng)的兩個典型特點(diǎn)：,21,,,,,,,光電效應(yīng)的兩個典型特點(diǎn)的解釋,1. 臨界頻率v0,2. 光電子動能只決定于光 子的頻率,由上式明顯看出，能打出電子的光子的最小能量是光電子 V = 0 時由該式所決定，即 hv -A = 0， v0 = A / h ， 可見，當(dāng) v v0 時，電子不能脫出金屬表面，從而沒有光電子產(chǎn)生。,上式亦表明光電子的能量只與光的頻率 v 有關(guān)，光的強(qiáng)度只決定光子的數(shù)目，從而決定光電子的數(shù)目。這樣一來，經(jīng)典理論不能解釋的光電效應(yīng)得到了正確的說明。,22,,,,,,,（2）光電效應(yīng),光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象。這種電子稱之為光電子。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)有兩個突出的特點(diǎn)：,1.臨界頻率v0 只有當(dāng)光的頻率大于某一定值v0 時，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強(qiáng)度多大，照射時間多長，都沒有電子產(chǎn)生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。,2.電子的能量只是與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)只決定電子數(shù)目的多少。光電效應(yīng)的這些規(guī)律是經(jīng)典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度而與頻率無關(guān)。,23,,,,,,,（3） 光子的動量,光子不僅具有確定的能量 E = hv，而且具有動量。根據(jù)相對論知，速度為 V 運(yùn)動的粒子的能量由右式給出：,對于光子，速度 V = C，欲使上式有意義，必須令 ?0 = 0,即光子靜質(zhì)量為零。,根據(jù)相對論能動量關(guān)系：,總結(jié)光子能量、動量關(guān)系式如下：,把光子的波動性和粒子性聯(lián)系了起來,24,,,,,,,雖然愛因斯坦對光電效應(yīng)的解釋是對Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛因斯坦的光子假設(shè)，這一點(diǎn)流露在Planck推薦愛因斯坦為普魯士科學(xué)院院士的推薦信中。,“ 總而言之，我們可以說，在近代物理學(xué)結(jié)出碩果的那些重大問題中，很難找到一個問題是愛因斯坦沒有做過重要貢獻(xiàn)的，在他的各種推測中，他有時可能也曾經(jīng)沒有射中標(biāo)的，例如，他的光量子假設(shè)就是如此，但是這確實(shí)并不能成為過分責(zé)怪他的理由，因?yàn)榧词乖谧罹艿目茖W(xué)中，也不可能不偶爾冒點(diǎn)風(fēng)險去引進(jìn)一個基本上全新的概念 ”,25,,,,,,,（三）Compton 散射 -光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí)。,（1） Compton 效應(yīng),經(jīng)典電動力學(xué)不能解釋這種新波長的出現(xiàn)，經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為電磁波被散射后，波長不應(yīng)該發(fā)生改變。但是如果把 X--射線被電子散射的過程看成是光子與電子的碰撞過程，則該效應(yīng)很容易得到理解,1 散射光中，除了原來X光的波長λ外，增加了一個新的波長為λ'的X光，且λ' λ；,2 波長增量 Δλ=λ’ –λ 隨散射角增大而增大。這一現(xiàn)象稱為 Compton 效應(yīng)。,X--射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)。該效應(yīng)有如下 2 個特點(diǎn)：,26,,,,,,,（2） 定性解釋,根據(jù)光量子理論，具有能量 E = h ν 的光子與電子碰撞后，光子把部分能量傳遞給電子，光子的能量變?yōu)?E’= hν’ 顯然有 E’ E, 從而有ν’ ν,散射后的光子的頻率減小，波長變長。根據(jù)這一思路，可以證明：,式中也包含了 Planck 常數(shù) h，經(jīng)典物理學(xué)無法解釋它，Compton 散射實(shí)驗(yàn)是對光量子概念的一個直接的強(qiáng)有力的支持。,該式首先由 Compton 提出，后被 Compton 和吳有訓(xùn)用實(shí)驗(yàn)證實(shí)，用量子概念完全解釋了Compton 效應(yīng)。因?yàn)槭接沂且粋€恒大于或等于零的數(shù)，所以散射波的波長λ'總是比入射波波長長（λ' λ）且隨散射角θ增大而增大。,27,,,,,,,（3） 證 明,根據(jù)能量和動量守恒定律：,得：,兩邊平方：,兩邊平方,（2）式—（1）式得：,28,,,,所以,,最后得：,29,,,,,,,（四）波爾（Bohr）的量子論,Planck--Einstein 光量子概念必然會促進(jìn)物理學(xué)其他重大疑難問題的解決。1913年 Bohr 把這種概念運(yùn)用到原子結(jié)構(gòu)問題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學(xué)所代替，但是它在歷史上對量子理論的發(fā)展曾起過重大的推動作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學(xué)中保留了下來 （1）波爾假定 （2）氫原子線光譜的解釋 （3）量子化條件的推廣 （4）波爾量子論的局限性,30,,,,,,,（1）波爾假定,Bohr 在他的量子論中提出了兩個極為重要的概念，可以認(rèn)為是對大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)的概括。,1.原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念。,2.量子躍遷的概念.,原子的穩(wěn)定狀態(tài)只可能是某些具有一定分立值能量 E1,E2,, En 的狀態(tài)。為了具體確定這些能量數(shù)值，Bohr提出了量子化條件：,原子處于定態(tài)時不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個能級 En 躍遷到另一個較低（高）的能級 Em ，同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率為：,而處于基態(tài)（能量最低態(tài)）的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在著,31,,,,,,,（2）氫原子線光譜的解釋,根據(jù)這兩個概念，可以圓滿地解釋氫原子的線光譜。,假設(shè)氫原子中的電子繞核作圓周運(yùn)動,由量子化條件,,,32,,,,,,,電子的能量,與氫原子線光譜的經(jīng)驗(yàn)公式比較,,,根據(jù) Bohr 量子躍遷的概念,,33,,,,,,,（3）量子化條件的推廣,由理論力學(xué)知，若將角動量 L 選為廣義動量，則θ為廣義坐標(biāo)?？紤]積分并利用 Bohr 提出的量子化條件，有,索末菲將 Bohr 量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，,這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個電子（Li，Na，K 等）的一些原子光譜也能很好的解釋。,34,,,,,,,（4） 波爾量子論的局限性,1. 不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜； 2. 不能給出光譜的譜線強(qiáng)度（相對強(qiáng)度）； 3. Bohr 只能處理周期運(yùn)動，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題； 4. 從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容。多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。,波爾量子論首次打開了認(rèn)識原子結(jié)構(gòu)的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認(rèn)識,35,,,,,,,§3 實(shí)物粒子的波粒二象性,（一）L．De Broglie 關(guān)系 （二）de Broglie 波 （三）駐波條件 （四）de Broglie 波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,36,,,,,,,（一）L．De Broglie 關(guān)系,假定：與一定能量 E 和動量 p 的實(shí)物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為：,E = hν ? ν= E/h P = h/λ ? λ= h/p 該關(guān)系稱為de. Broglie關(guān)系。,根據(jù)Planck-Einstein 光量子論，光具有波動粒子二重性， 以及Bohr量子論，啟發(fā)了de. Broglie，他 （1）仔細(xì)分析了光的微粒說與波動說的發(fā)展史； （2）注意到了幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似性，提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量 m 不等于 0 的粒子）也具有波動性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動-粒子二重性，二方面必有類似的關(guān)系相聯(lián)系。,37,,,,,,,（一）L．De Broglie 關(guān)系,假定：與一定能量 E 和動量 p 的實(shí)物粒子相聯(lián)系的波（他稱之為“物質(zhì)波”）的頻率和波長分別為：,E = hν ? ν= E/h P = h/λ ? λ= h/p 該關(guān)系稱為de. Broglie關(guān)系。,根據(jù)Planck-Einstein 光量子論，光具有波動粒子二重性， 以及Bohr量子論，啟發(fā)了de. Broglie，他 （1）仔細(xì)分析了光的微粒說與波動說的發(fā)展史； （2）注意到了幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似性，提出了實(shí)物粒子（靜質(zhì)量 m 不等于 0 的粒子）也具有波動性。也就是說，粒子和光一樣也具有波動-粒子二重性，二方面必有類似的關(guān)系相聯(lián)系。,38,,,,,,,（二）de Broglie 波,因?yàn)樽杂闪Ｗ拥哪芰?E 和動量 p 都是常量，所以由de Broglie 關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學(xué)可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量 n 方向傳播的平面波可表為：,寫成復(fù)數(shù)形式,這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復(fù)數(shù)形式的波稱為 de Broglie 波,de Broglie 關(guān)系： ν= E/h ? ? = 2? ν= 2?E/h = E/? λ= h/p ? k = 1/ ? = 2? /λ = p/?,39,,,,,,,（三）駐波條件,為了克服 Bohr 理論帶有人為性質(zhì)的缺陷， de Broglie 把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯(lián)系起來。,例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運(yùn)動的電子相應(yīng)的駐波示意圖,,要求圓周長是波長的整數(shù)倍,于是角動量：,de Broglie 關(guān)系,40,,,,,,,,de Broglie 波在1924年提出后，在1927-1928年由 Davisson 和 Germer 以及 G.P.Thomson 的電子衍射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。,41,,,,,,,作 業(yè) 周世勛《量子力學(xué)教程》： 1.2 、 1.4 曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》： 1.1、1.3,42,第二章 波函數(shù) 和 Schrodinger 方程,§1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 §2 態(tài)疊加原理 §3 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn) §4 Schrodinger 方程 §5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 §6 定態(tài)Schrodinger方程,43,§1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,（一）波函數(shù) （二）波函數(shù)的解釋 （三）波函數(shù)的性質(zhì),44,3個問題？,描寫自由粒子的平 面 波,如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運(yùn)動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：,描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)函數(shù)。,稱為 de Broglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。,(1) ? 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？,(2) ? 如何體現(xiàn)波粒二象性的？,(3) ? 描寫的是什么樣的波呢？,（一）波函數(shù),返 回§1,45,（1）兩種錯誤的看法,1. 波由粒子組成,如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。,這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實(shí)驗(yàn)。,電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。,波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。,O,事實(shí)上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運(yùn)動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。,46,2. 粒子由波組成,電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動速度。 什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。 實(shí)驗(yàn)上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小≈1 ? 。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波， 但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！? 這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。,47,1.入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;,我們再看一下電子的衍射實(shí)驗(yàn),2. 入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.,,48,結(jié)論：衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計結(jié)果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。,r 點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度 ?正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目， ?正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， ?正比于電子出現(xiàn)在 r 點(diǎn)附近的幾 率。,在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上,49,據(jù)此，描寫粒子的波可以認(rèn)為是幾率波，反映微觀客體運(yùn) 動的一 種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)Ψ (r)有時也稱為幾率幅。 這就是首先由 Born 提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子 力學(xué)的 基本原理。,假設(shè)衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強(qiáng)度則用 |Ψ (r)|2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。,|Ψ (r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在 r 點(diǎn)附近幾率的大小， 確切的說， |Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 點(diǎn)處，體積元Δx Δy Δz中 找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅 絕對值 的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例，,50,（三）波函數(shù)的性質(zhì),在 t 時刻， r 點(diǎn)，d τ = dx dy dz 體積內(nèi)，找到由波函數(shù) Ψ (r,t) 描寫的粒子的幾率是： d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系數(shù)。,根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：,（1）幾率和幾率密度,在 t 時刻 r 點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 稱為幾率密度。,在體積 V 內(nèi)，t 時刻找到粒子的幾率為： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ,51,（2） 平方可積,由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 從而得常數(shù) C 之值為： C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ,這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對值平方可積的函數(shù)。,若,∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ? ∞, 則 C ? 0, 這是沒有意義的。,52,（3）歸一化波函數(shù),這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。,Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C 是常數(shù)。 因?yàn)樵?t 時刻，空間任意兩點(diǎn) r1 和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是：,由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一狀態(tài),可見，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。,53,歸一化常數(shù),若 Ψ (r , t ) 沒有歸一化， ∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常數(shù)），則有 ∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1,也就是說，(A)-1/2Ψ (r , t )是歸一化的波函數(shù)， 與Ψ (r , t )描寫同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子。,注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定性。 若Ψ (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末， exp{iα}Ψ (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中α是實(shí)數(shù)），與前者描述同一幾率波。,54,（4）平面波歸一化,I Dirac ?—函數(shù),定義：,或等價的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數(shù) f（x）有：,?—函數(shù) 亦可寫成 Fourier 積分形式：,令 k=px/?, dk= dpx/?, 則,性質(zhì)：,55,（4）平面波歸一化,I Dirac ?—函數(shù),定義：,或等價的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數(shù) f（x）有：,?—函數(shù) 亦可寫成 Fourier 積分形式：,令 k=px/?, dk= dpx/?, 則,性質(zhì)：,56,II 平面波 歸一化,寫成分量形式,t=0 時的平面波,考慮一維積分,若取 A12 2?? = 1，則 A1= [2??]-1/2, 于是,,,57,三維情況：,其中,注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率相同。,58,作 業(yè) 補(bǔ) 充 題,59,§2 態(tài)疊加原理,（一） 態(tài)疊加原理 （二） 動量空間（表象）的波函數(shù),60,（一） 態(tài)疊加原理,微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。 因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。,61,,考慮電子雙縫衍射,Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*],Ψ,電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度,電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度,相干項 正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。,一個電子有 Ψ1 和 Ψ2 兩種可能的狀態(tài)，Ψ 是這兩種狀態(tài)的疊加。,62,其中C1 和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。,態(tài)疊加原理一般表述： 若Ψ1 ，Ψ2 ,., Ψn ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + .+ CnΨn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于Ψ態(tài)的體系，部分的處于 Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài).，部分的處于Ψn，.,一般情況下，如果Ψ1和Ψ2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是該體系的一個可能狀態(tài).,63,例：,電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量 p 運(yùn)動。具有確定動量的運(yùn)動狀態(tài)用de Broglie 平面波表示,根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成 p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即,而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。,Ψ,Ψp,64,（二） 動量空間（表象）的波函數(shù),Ψ (r,t)是以坐標(biāo) r 為自變量的波函數(shù)， 坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象波函數(shù)； C(p, t) 是以動量 p 為自變量的波函數(shù)， 動量空間波函數(shù)，動量表象波函數(shù)； 二者描寫同一量子狀態(tài)。,波函數(shù)Ψ (r,t) 可用各種不同動量的平面波表示， 下面我們給出簡單證明。,展開系數(shù),令,則 Ψ可按Фp 展開,65,若Ψ (r,t)已歸一化，則 C(p, t)也是歸一化的,,66,67,§3 力學(xué)量的平均值和算符的引進(jìn),（一）力學(xué)量平均值 （1）坐標(biāo)平均值 （2）動量平均值 （二）力學(xué)量算符 （1）動量算符 （2）動能算符 （3）角動量算符 （4）Hamilton 算符,68,（一） 力學(xué)量平均值,在統(tǒng)計物理中知道，,當(dāng)可能值為離散值時: 一個物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率求和； 當(dāng)可能值為連續(xù)取值時：一個物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分。 基于波函數(shù)的幾率含義，我們馬上可以得到粒子坐標(biāo)和動量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。,69,（1）坐標(biāo)平均值,為簡單計，剩去時間ｔ變量（或者說，先不考慮隨時間的變化） 設(shè)ψ(x) 是歸一化波函數(shù)，|ψ (x)|2 是粒子出現(xiàn)在x點(diǎn)的幾率密度，則,對三維情況，設(shè)ψ(r) 是歸一化波函數(shù)，|ψ(r)|2是粒子出現(xiàn)在 r 點(diǎn)的幾率密度，則x的平均值為,（2）動量平均值,一維情況：令ψ(x)是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動量表象波函數(shù)為,70,（二）力學(xué)量算符,簡言之，由于量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)完全不同，它是用波函數(shù)描寫狀態(tài)，所以力學(xué)量也必須改造成與經(jīng)典力學(xué)不同的算符形式（稱為第一次量子化）。,（1）動量算符,既然ψ(x) 是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動量表象波函數(shù)為c(px) 一 一 對應(yīng)，相互等價的描述粒子的同一狀態(tài)，那末動量的平均值也應(yīng)可以在坐標(biāo)表象用ψ(x)表示出來。但是ψ(x)不含px變量，為了能由ψ(x)來確定動量平均值，動量 px必須改造成只含自變量 x 的形式，這種形式稱為動量 px的算符形式，記為,71,一維情況：,72,比較上面二式得兩點(diǎn)結(jié)論：,而動量 px 在坐標(biāo)表象（非自身表象）中的形式必須改造成動量算符形式：,三維情況：,73,由歸一化波函數(shù)ψ(r)求 力學(xué)量平均值時，必須把該力學(xué)量的算符夾在ψ*(r)和ψ(r)之間,對全空間積分，即,F 是任一 力學(xué)量算符,74,（2）動能算符,（3）角動量算符,75,（4）Hamilton 算符,76,作 業(yè) 補(bǔ)充題,77,§4 Schrodinger 方程,（一） 引 （二） 引進(jìn)方程的基本考慮 （三） 自由粒子滿足的方程 （四） 勢場 V (r) 中運(yùn)動的粒子 （五） 多粒子體系的Schrodinger方程,78,這些問題在1926年Schrodinger 提出了波動方程之后得到了圓滿解決。,微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問題：,(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時間演化。,（一） 引,79,（二） 引進(jìn)方程的基本考慮,從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t 粒子的狀態(tài) r 和 p 。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。,讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。,（1）經(jīng)典情況,80,（2）量子情況,3．第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量，如 p, E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。,1．因?yàn)椋瑃 = t0 時刻，已知的初態(tài)是ψ( r, t0) 且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含ψ對時間 的一階導(dǎo)數(shù)。,2．另一方面，ψ要滿足態(tài)疊加原理，即，若ψ1( r, t ) 和ψ2( r, t )是方程的解，那末。 ψ( r, t)= C1ψ1( r, t ) + C2ψ2( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含ψ, ψ對時間的一階導(dǎo)數(shù)和對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項，不能含它們的平方或開方項。,81,（三） 自由粒子滿足的方程,這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量 E 。將Ψ對坐標(biāo)二次微商，得：,將上式對 t 微商，得：,(1)–(2)式,82,滿足上述構(gòu)造方程的三個條件,討論：,通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式 E = p2/2μ 寫成如下方程形式：,做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。,,(1)–(2)式,返回,83,（四）勢場 V(r) 中運(yùn)動的粒子,該方程稱為 Schrodinger 方程，也常稱為波動方程。,若粒子處于勢場 V(r) 中運(yùn)動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋?將其作用于波函數(shù)得：,做（4）式的算符替換得：,84,（五）多粒子體系的 Schrodinger 方程,設(shè)體系由 N 個粒子組成， 質(zhì)量分別為 μi (i = 1, 2,., N) 體系波函數(shù)記為 ψ( r1, r2, ., rN ; t) 第i個粒子所受到的外場 Ui(ri) 粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為：,85,多粒子體系 Hamilton 量,對有 Z 個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用：,而原子核對第 i 個電子的 Coulomb 吸引能為：,假定原子核位于坐標(biāo)原點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)為勢能零點(diǎn)。,例如：,86,§5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律,（一）定域幾率守恒 （二）再論波函數(shù)的性質(zhì),87,（一） 定域幾率守恒,考慮低能非相對論實(shí)物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即,在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在 t 時刻 r 點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：,88,證：,考慮 Schrodinger 方程及其共軛式：,取共軛,89,在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：,閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時間內(nèi)的增量,J是幾率流密度，是一矢量。,所以(7)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。,令 Eq.（7）τ趨于 ∞，即讓積分對全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.（7）變?yōu)椋?,其微分形式與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同,使用 Gauss 定理,單位時間內(nèi)通過τ的封閉表面 S 流入（面積分前面的負(fù)號）τ內(nèi)的幾率,,90,討論：,表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。,（1） 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實(shí)現(xiàn)這種變化。,同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：,表明電荷總量不隨時間改變,91,（二）再論波函數(shù)的性質(zhì),1. 由 Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d ω(r, t) = |ψ(r, t)|2 d τ 2. 已知 ψ(r, t)， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。 3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。,（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài),（2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件,1. 根據(jù)Born統(tǒng)計解釋 ω(r, t) = ψ*(r, t) ψ(r, t)是粒子在t時刻出現(xiàn)在 r點(diǎn)的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求ψ(r, t)應(yīng)是 r, t的單值函數(shù)且有限。,92,式右含有ψ及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。 概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。,2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 :,93,（3）量子力學(xué)基本假定 I、 II,量子力學(xué)基本假定 I 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài),量子力學(xué)基本假定 II 波函數(shù)隨時間的演化遵從 Schrodinger 方程,94,§6 定態(tài)Schrodinger方程,（一）定態(tài)Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì),95,（一）定態(tài)Schrodinger方程,現(xiàn)在讓我們討論 有外場情況下的定態(tài) Schrodinger 方程：,令：,,于是：,V(r)與t無關(guān)時，可以分離變量,,等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù),96,該方程稱為定態(tài) Schrodinger 方程，ψ(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時刻ψ(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。,此波函數(shù)與時間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率ω=2πE/h。 由de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)Ψ(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。,97,（二）Hamilton算符和能量本征值方程,（1）Hamilton 算符,,二方程的特點(diǎn)：都是以一個算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。所以這兩個算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。,,,再由 Schrodinger 方程：,98,（2）能量本征值方程,（1）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù) 學(xué)物理方法中的本征值方程相似。 數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問題；,（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方 法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。 因此在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。 常量 E 稱為算符 H 的本征值；Ψ稱為算符 H 的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀 態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù) 值就是與這個本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。,99,（三）求解定態(tài)問題的步驟,討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ( r, t) 和在這些態(tài)中的能量 E。其具體步驟如下：,,,（1）列出定態(tài) Schrodinger方程,（2）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量 E 的本征值問題，得：,（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第 n 個本征值 En 的定態(tài)波函數(shù),（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù) Cn,100,（四）定態(tài)的性質(zhì),（2）幾率密度與時間無關(guān),（1）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān),101,綜上所述，當(dāng)Ψ滿足下列三個等價條件中的任何一個時，Ψ就是定態(tài)波函數(shù)： 1. Ψ描述的狀態(tài)其能量有確定的值； 2. Ψ滿足定態(tài)Schrodinger方程； 3. |Ψ|2 與 t無關(guān)。,（3）任何不顯含t得力學(xué)量平均值與t 無關(guān),102,作 業(yè),周世勛 《量子力學(xué)教程》 2.2 題 曾謹(jǐn)言 《量子力學(xué)導(dǎo)論》 2.1、2.3 題,103,第三章 一維定態(tài)問題,在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用 Schrodinger 方程來處理一類簡單的問題——一維定態(tài)問題。其好處有四： （1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理； （2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理； （4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。,,§1 一維無限深勢阱 §2 線性諧振子 §3 一維勢散射問題,（3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子 體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；,104,§1 一維無限深勢阱,（一）一維運(yùn)動 （二）一維無限深勢阱 （三）宇稱 （四）討論,105,（一） 一維運(yùn)動,所謂一維運(yùn)動就是指在某一方向上的運(yùn)動。,此方程是一個二階偏微分方程。若勢可寫成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，則 S-方程可在直角坐標(biāo)系中分離變量。,令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化為三個常微分方程：,當(dāng)粒子在勢場 V(x,y,z) 中運(yùn)動時，其 Schrodinger 方程為：,,,106,,,,其中,,107,（二）一維無限深勢阱,求解 S — 方程 分四步： （1）列出各勢域的一維S—方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （4）定歸一化系數(shù),108,（1）列出各勢域的 S — 方程,方程可 簡化為：,,,勢V(x)分為三個區(qū)域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函數(shù)分別為 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。則方程為：,109,（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件,,從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，特別是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。,,1。單值，成立； 2。有限：當(dāng)x ? - ∞ ， ψ 有限條件要求 C2=0。,110,使用標(biāo)準(zhǔn)條件 3。連續(xù)：,2）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)： 在邊界 x = -a，勢有無窮跳躍，波函數(shù)微商不連續(xù)。這是因?yàn)椋?若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 則有，0 = A αcos(-αa + δ) 與上面波函數(shù)連續(xù)條件導(dǎo)出的結(jié)果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同時成立。所以波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在有無窮跳躍處不連續(xù)。,1）波函數(shù)連續(xù)：,111,(1)+(2),(2)-(1),,,兩種情況：,,112,討論,狀態(tài)不存在,描寫同一狀態(tài),所以 n 只取正整數(shù)，即,于是：,或,113,于是波函數(shù)：,類似 I 中關(guān)于 n = ? m 的討論可知：,114,綜合 I 、II 結(jié)果，最后得：,對應(yīng) m = 2 n,對應(yīng) m = 2n+1,115,能量最低的態(tài)稱為基態(tài)，其上為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)依次類推。,,116,由此可見，對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠(yuǎn)處，ψ = 0 。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運(yùn)動能量本征值是分立能級，組成分立譜。,（4）由歸一化條件定系數(shù) A,117,[小結(jié)] 由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解S—方程的一般步驟如下：,一、列出各勢域上的S—方程； 二、求解S—方程；,三、利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)）定 未知數(shù)和能量本征值；,四、由歸一化條件定出最后一個待定系數(shù)（歸一化系 數(shù)）。,118,（三）宇稱,（1）空間反射：空間矢量反向的操作。,（2）此時如果有：,稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）；,稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）；,119,（四）討論,一維無限深 勢阱中粒子 的狀態(tài),,（2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，態(tài)不存在，無意義。 而n = ± k, k=1,2,.,可見，n取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。,120,（4）ψn*(x) = ψn(x) 即波函數(shù)是實(shí)函數(shù)。,（5）定 態(tài) 波 函 數(shù),（3）波函數(shù)宇稱,121,作 業(yè),周世勛：《量子力學(xué)教程》第二章 2.3、 2.4、 2.8,122,§2 線性諧振子,（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子 （二）線性諧振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論 （三）實(shí)例,123,（一）引言,（1）何謂諧振子,量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運(yùn)動的粒子。,在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 ? 的粒子，受彈性力F = - kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動方程為：,其解為 x = Asin(ω t + δ)。這種運(yùn)動稱為簡諧振動， 作這種運(yùn)動的粒子叫諧振子。,若取V0 = 0，即平衡位置處于勢 V = 0 點(diǎn)，則,,124,（2）為什么研究線性諧振子,自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運(yùn)動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。 例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù)，如圖所示。在 x = a 處，V 有一極小值V0 。在 x = a 附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：,,125,取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a, V0)，則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式：,可見，一些復(fù)雜的勢場下粒子的運(yùn)動往往可以用線性諧振動來近似描述。,126,（二）線性諧振子,（1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論,127,（1）方程的建立,,線性諧振子的 Hamilton量：,則 Schrodinger 方程可寫為 ：,為簡單計， 引入無量綱變量ξ代替x，,128,（2）求解,為求解方程，我們先看一下它的漸 近解，即當(dāng) ξ→±∞ 時波函數(shù) ψ的行為。在此情況下，λ ξ2， 于是方程變?yōu)椋?其解為：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，,1. 漸近解,欲驗(yàn)證解的正確性，可將其代回方程，,波函數(shù)有限性條件：,,當(dāng)ξ→±∞ 時，應(yīng)有 c2 = 0，,因整個波函數(shù)尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為：,ξ2 ± 1,129,其中 H(ξ) 必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即： ① 當(dāng)ξ有限時，H(ξ)有限； ② 當(dāng)ξ→∞時，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→ 0。,將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得 關(guān)于 待求函數(shù) H(ξ) 所滿足的方程：,2. H(ξ)滿足的方程,130,3.級數(shù)解,我們以級數(shù)形式來求解。 為此令：,用 k 代替 k’,131,由上式可以看出： b0 決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)； b1 決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)。 因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個 線性獨(dú)立解。可分別令：,,b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).,即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0 從而導(dǎo)出系數(shù) bk 的遞推公式：,該式對任意ξ都成立， 故ξ同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零，,只含偶次冪項,只含奇次冪項,則通解可記為： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2],132,（3）應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件,(I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限,(II) ξ→±∞ 需要考慮無窮級數(shù)H(ξ)的收斂性,為此考察相鄰 兩項之比：,考察冪級數(shù)exp[ξ2}的 展開式的收斂性,比較二級數(shù)可知： 當(dāng)ξ→±∞時， H(ξ)的漸近 行為與exp[ξ2]相同。,單值性和連續(xù)性二條件自然滿足， 只剩下第三個有限性條件需要進(jìn)行討論。,因?yàn)镠(ξ)是一個冪級數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點(diǎn)， 即勢場有跳躍的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞。,133,所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：,為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級數(shù) H(ξ) 必須從某一項截斷變成一個多項式。換言之，要求 H(ξ) 從某一項（比如第 n 項）起 以后各項的系數(shù)均為零，即 bn ≠ 0, bn+2 = 0.,代入遞推關(guān)系)得：,結(jié)論 基于波函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)處的 有限性條件導(dǎo)致了 能量必須取 分立值。,,134,（4）厄密多項式,附加有限性條件得到了 H(ξ)的 一個多項式，該多項式稱為厄密 多項式，記為 Hn(ξ)，于是總波 函數(shù)可表示為：,由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次冪是 n 其系數(shù)是 2n。,歸一化系數(shù),Hn(ξ) 也可寫成封閉形式：,λ = 2n+1,135,厄密多項式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：,從上式出發(fā)，可導(dǎo)出 厄密多項式的遞推關(guān)系：,應(yīng) 用 實(shí) 例,例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，則 根據(jù)上述遞推關(guān)系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2,下面給出前幾個厄密 多項式具體表達(dá)式： H0=1 H2=4ξ2-2 H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ H3=8ξ3-12ξ H5=32ξ5-160ξ3+120ξ,基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)Ψ(x)的遞推關(guān)系：,136,（5）求歸一化系數(shù),( 分 步 積 分 ),該式第一項是一個多項式與 exp[-ξ2] 的 乘積，當(dāng)代入上下限ξ=±∞后，該項為零。,繼續(xù)分步積分到底,因?yàn)镠n的最高次項 ξn的系數(shù)是2n，所以 dnHn /dξn = 2n n!。,于是歸一化系數(shù),則諧振子 波函數(shù)為：,(I)作變量代換，因?yàn)棣?αx， 所以dξ=α dx； (II)應(yīng)用Hn(ξ)的封閉形式。,137,（6）討論,3. 對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量 E0={1/2}?ω ≠0，稱為零點(diǎn)能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止