高考沖刺 數形結合的思想

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BatchDoc Word文檔批量處理工具高考沖刺 數形結合的思想【高考展望】在高考題中，數形結合的題目出現(xiàn)在高中數學知識的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數形結合的簡捷、靈活特點的多是填空小題。從近三年新課標高考卷來看，涉及數形結合的題目略少，預測今后可能有所加強。因為對數形結合等思想方法的考查，是對數學知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學生思維品質和數學技能的考查，是新課標高考明確的一個命題方向。1數形結合是把數或數量關系與圖形對應起來，借助圖形來研究數量關系或者利用數量關系來研究圖形的性質，是一種重要的數學思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化?！皵等毙螘r少直觀，形少數時難入微”，利用數形結合的思想方法可以深刻揭示數學問題的本質。2數形結合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想思想方法的考查，注重對數學能力的考查”，靈活運用數形結合的思想方法，可以有效提升思維品質和數學技能。3“對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次的抽象和概括的考查，考查時要與數學知識相結合”，用好數形結合的思想方法，需要在平時學習時注意理解概念的幾何意義和圖形的數量表示，為用好數形結合思想打下堅實的知識基礎。4函數的圖象、方程的曲線、集合的文氏圖或數軸表示等，是 “以形示數”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標表示則是“以數助形”，還有導數更是數形結合的產物，這些都為我們提供了 “數形結合”的知識平臺。5在數學學習和解題過程中，要善于運用數形結合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數形結合的習慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數形結合的方法，能起到事半功倍的效果，“數形結合千般好，數形分離萬事休”。【知識升華】縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。是通過“以形助數”（將所研究的代數問題轉化為研究其對應的幾何圖形）或“以數助形”（借助數的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，是解決問題的一種數學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數學解題中具有極為獨特的策略指導與調節(jié)作用。具體地說，數形結合的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數的問題；或將圖形信息全部轉化成代數信息，使解決形的問題轉化為數量關系的討論。選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創(chuàng)造了靈活運用數形結合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數形結合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。1高考試題對數形結合的考查主要涉及的幾個方面：（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；（2）數軸及直角坐標系的廣泛應用；（3）函數圖象的應用；（4）數學概念及數學表達式幾何意義的應用；（5）解析幾何、立體幾何中的數形結合。2. 數形結合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍；(2)構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍；(3)構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系；(4)構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式；(5)構建立體幾何模型研究代數問題；(6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)構建方程模型，求根的個數；(8)研究圖形的形狀、位置關系、性質等3運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數量關系所帶來的負面效應；（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分析容易出錯；（3）簡單性原則。不要為了“數形結合”而數形結合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線為佳。4進行數形結合的信息轉換，主要有三個途徑：（1）建立坐標系，引入參變數，化靜為動，以動求解，如解析幾何；（2）構造成轉化為熟悉的函數模型，利用函數圖象求解；（3）構造成轉化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。5.常見的“以形助數”的方法有：(1)借助于數軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；(2)借助于函數圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；(3)借助于方程的曲線，由方程代數式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關系等，對解決代數問題都有重要作用，應充分予以重視.。【典型例題】類型一、數軸、韋恩圖在集合中的應用【例1】設集合A=x|1x4，集合B =x|-2x-30, 則A（）=（ ）A(1,4) B(3,4) C.(1,3) D(1,2)（3,4）【思路點撥】先求出集合B，再利用數軸畫圖求解?！敬鸢浮緽；【解析】B =x|-2x-30=，A（）=x|1x4=。故選B. 【總結升華】不等式型集合的交、并集通?？梢岳脭递S進行，解題時注意驗證區(qū)間端點是否符合題意。舉一反三：【變式1】設全集則（ ）A B 【答案】B；【解析】畫出韋恩圖，可知。【變式2】設平面點集，則所表示的平面圖形的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D；【解析】由可知或者，在同一坐標系中做出平面區(qū)域如圖，由圖象可知的區(qū)域為陰影部分，根據對稱性可知，兩部分陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積為，選D.類型二、利用數形結合思想解決函數問題【例2】已知，若的最小值記為，寫出的表達式?！舅悸伏c撥】 依據函數的對稱軸與區(qū)間的位置關系，結合函數圖象確定在上的增減情況，進而可以明確在何處取最小值?！窘馕觥坑捎?，所以拋物線的對稱軸為，開口向上，當，即時，在t，t+1上單調遞增（如圖所示），當x=t時，最小，即。當，即時，在上遞減，在上遞增（如圖）。當時，最小，即。當，即時，在t，t+1上單調遞減（如圖）。當x=t+1時，最小，即， 圖 圖 圖綜合得?！究偨Y升華】通過二次函數的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現(xiàn)了數形結合的優(yōu)越性。應特別注意，對于二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，應抓住對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系進行討論解決。首先確定其對稱軸與區(qū)間的位置關系，結合函數圖象確定在閉區(qū)間上的增減情況，然后再確定在何處取最值。舉一反三：【變式1】已知函數在0x1時有最大值2，求a的值?！窘馕觥?，拋物線的開口向下，對稱軸是，如圖所示： （1） （2） （3）（1）當a0時，如圖（1）所示，當x=0時，y有最大值，即。1a=2。即a=1，適合a0。（2）當0a1時，如圖（2）所示，當x=a時，y有最大值，即。a2a+1=2，解得。0a1，不合題意。（3）當a1時，如圖（3）所示。當x=1時，y有最大值，即。a=2。綜合（1）（2）（3）可知，a的值是1或2【變式2】已知函數。（）寫出的單調區(qū)間；（）設，求在0，a上的最大值。【解析】如圖：（1）的單調增區(qū)間：，；單調減區(qū)間：（1，2）（2）當a1時， 當時， 當，。例3. （2015 重慶校級模擬）定義在R上的奇函數f（x），當x0時，f（x）=，則關于x的函數F（x）=f（x）a（0a1）的所有零點之和為（）A12aB2a1C12aD2a1【思路點撥】函數F（x）=f（x）a（0a1）的零點轉化為：在同一坐標系內y=f（x），y=a的圖象交點的橫坐標作出兩函數圖象，考查交點個數，結合方程思想，及零點的對稱性，根據奇函數f（x）在x0時的解析式，作出函數的圖象，結合圖象及其對稱性，求出答案【答案】A【解析】當x0時，f（x）=；即x0，1）時，f（x）=（x+1）（1，0；x1，3時，f（x）=x21，1；x（3，+）時，f（x）=4x（，1）；畫出x0時f（x）的圖象，再利用奇函數的對稱性，畫出x0時f（x）的圖象，如圖所示；則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個交點，則方程f（x）a=0共有五個實根，最左邊兩根之和為6，最右邊兩根之和為6，x（1，0）時，x（0，1），f（x）=（x+1），又f（x）=f（x），f（x）=（x+1）=（1x）1=log2（1x），中間的一個根滿足log2（1x）=a，即1x=2a，解得x=12a，所有根的和為12a故選A【總結升華】這類題“萬變不離其宗”只需掌握基本初等函數的圖像及其圖像變換口訣再配合函數性質即可輕松解決.舉一反三：【變式】（2016 渭南一模）設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的xR，都有f（x+2）=f（x）當1x0時，f（x）=x2，若直線y=x+m與函數y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點，則實數m的值為（）A2k（kZ） B2k+（kZ）C2k或2k（kZ） D2k或2k+（kZ）【答案】D【解析】f（x+2）=f（x）函數的周期是2，若0x1，則1x0，則f（x）=x2，函數f（x）是偶函數，f（x）=x2=f（x），即f（x）=x2，0x1，作出函數f（x）的圖象如圖：作出直線y=x+m，在一個周期1，1內，當直線經過點（1，1）時，兩個函數有兩個交點，此時m=0，當直線與y=x2相切時，兩個函數有兩個交點，由x2=x+m得x2x+m=0，由判別式=0，即14m=0，得m=，函數的周期是2k，m=2k或2k+（kZ），故選D【變式2】設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是（ ）（A）函數有極大值和極小值 （B）函數有極大值和極小值 （C）函數有極大值和極小值 （D）函數有極大值和極小值【答案】D；【解析】由圖象可知當時，所以此時，函數遞增.當時，所以此時，函數遞減.當時，所以此時，函數遞減.當時，所以此時，函數遞增.所以函數有極大值，極小值,選D.類型二：利用數形結合思想解決方程中的參數問題【例4】若關于x的方程有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍?！舅悸伏c撥】將方程的左右兩邊分別看作兩個函數，畫出函數的圖象，借助圖象間的關系后求解，可簡化運算。【解析】畫出和的圖象，當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。又由當曲線與曲線相切時，二者只有一個交點，設切點，則，即，解得切點，又直線過切點，得，當時，兩函數圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關系不準確，易造成結果錯誤?！究偨Y升華】1解決這類問題時要準確畫出函數圖象，注意函數的定義域。2用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩個函數的圖象，由圖求解。3在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；要正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏；精心聯(lián)想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化，便于問題求解。舉一反三：【變式】若關于x的方程在（1，1）內有1個實根，則k的取值范圍是 ?！窘馕觥堪逊匠套?、右兩側看作兩個函數，利用函數圖象公共點的個數來確定方程根的個數。設（x1，1）xy=k如圖：當或時，關于x的方程在（1，1）內有1個實根。【例5】若方程在內有唯一解，求實數m的取值范圍。【思路點撥】將方程的左右兩邊分別看作兩個函數，畫出函數的圖象，借助圖象間的關系后求解。【解析】（1）原方程可化為 設 在同一坐標系中畫出它們的圖象（如圖）。由原方程在（0，3）內有唯一解，知的圖象只有一個公共點，可見m的取值范圍是或。舉一反三：【變式1】若不等式logaxsin 2x (a0，a1)對任意x都成立，則a的取值范圍為_【解析】記y1logax，y2sin 2x，原不等式相當于y1y2，作出兩個函數的圖象，如圖所示，知當y1logax過點A時，a，所以當ay2.【變式2】若02，且方程有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍及這兩個實根的和?！窘馕觥繉⒃匠剔D化為三角函數的圖象與直線有兩個不同的交點時，求a的范圍及+的值。設，在同一坐標中作出這兩個函數的圖象由圖可知，當或時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應方程有兩個不同的實數根，若，設原方程的一個根為，則另一個根為.若，設原方程的一個根為，則另一個根為，. 所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。類型三：依據式子的結構，賦予式子恰當的幾何意義，數形結合解答【例6】求函數的最大值和最小值【思路點撥】可變形為，故可看作是兩點和的連線斜率的倍，只需求出范圍即可；也可以利用三角函數的有界性，反解求解。方法一：數形結合可看作是單位圓上的動點，為圓外一點，如圖，由圖可知：，顯然，設直線的方程：， ，解得，方法二：令，【總結升華】一些代數式所表示的幾何意義往往是解題的關鍵，故要熟練掌握一些代數式的幾何意義：（1）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點間的距離；（2）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點連線的斜率；（3）求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值。舉一反三：【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x2y的最大、最小值?！窘馕觥柯?lián)想所求代數式的幾何意義，再畫出草圖，結合圖象求解。（1）表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（2，0），半徑r=1。|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2r=21=1。（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，設Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖：將整理得kxy+2k=0。，解得，所以的最大值為，最小值為。（3）令x2y=u，則可視為一組平行線系，當直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時，。x2y的最大值為，最小值為?！咀兪?】求函數的最小值?！窘馕觥縿ty看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和xA(1,1)A(1,1)B(3,2)y0P如圖，點A（1，1）關于x軸的對稱點A（1，1），則即為P到A，B距離之和的最小值，【例7】已知變量滿足約束條件，則目標函數的取值范圍是( )（A） （B） （C） （D） 【思路點撥】利用約束條件畫出目標函數可行域，尋找目標函數幾何意義求解。【答案】A；【解析】做出不等式所表示的區(qū)域如圖，由得，平移直線，由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最小，此時最大為，當直線經過點時，直線截距最大，此時最小，由，解得，此時，所以的取值范圍是，選A.【總結升華】線性規(guī)劃是借助平面區(qū)域表示直線、不等式等代數表達式，最終借助圖形的性質解決問題。舉一反三：【變式】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ）A B或 C D或【解析】如圖xy1由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則 ，即下面利用線性規(guī)劃的知識，則可看作可行域內的點與原點O（0，0）連線的斜率ab0(2,1)a+b+1=02a+b+3=0則 ，選C。BatchDoc Word文檔批量處理工具