《工程光學(xué)》物理光學(xué)參考答案.doc

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物理光學(xué)作業(yè)參考答案-光的衍射部分 趙琦 2007-8-1 物理光學(xué)作業(yè)參考答案 [13-1] 波長的單色光垂直入射到邊長3cm的方孔，在光軸（它通過孔中心并垂直孔平面）附近離孔z處觀察衍射，試求出夫瑯和費(fèi)衍射區(qū)的大致范圍。 解：夫瑯和費(fèi)衍射條件為： 即： [13-3]平行光斜入射到單縫上，證明：（1）單縫夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度公式為 式中，是中央亮紋中心強(qiáng)度；是縫寬；是衍射角，是入射角（見圖）。 證明：（1）建立如圖所示坐標(biāo)系，則入射光的波矢： 縫上任意點(diǎn)Q的位矢： 單逢上光場的復(fù)振幅為： 因此，觀察面上的夫瑯和費(fèi)衍射場為： （其中： ） 所以，觀察面上的光強(qiáng)分布為： 式中： （2）第一暗點(diǎn)位置： [13-4]在不透明細(xì)絲的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣中，測得暗條紋的間距為1.5mm，所用透鏡的焦距為30mm，光波波長為632.8nm。問細(xì)絲直徑是多少？ 解： 根據(jù)互補(bǔ)屏衍射原理，不透明細(xì)絲的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣與相同寬度單縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣除中心點(diǎn)之外是相同的，而衍射圖樣中暗條紋的間距等于中央亮紋寬度的一半，因此，有： 即細(xì)絲直徑是0.013mm. [13-6]導(dǎo)出外徑和內(nèi)徑分別為a和b的圓環(huán)（見圖）的夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度公式，并求出當(dāng)b=a/2時(shí)，（1）圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強(qiáng)度之比；（2）圓環(huán)衍射圖樣第一個(gè)暗環(huán)的角半徑。（注：） 解：半徑為a的圓孔在衍射場P點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為： 其中c為比例系數(shù)，因?yàn)閳鲋行恼穹扔趫A孔的面積。圓孔中的圓屏使P點(diǎn)的振幅減小： 因此，圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為： 圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的強(qiáng)度為： 式中，。對(duì)于衍射場中心，，相應(yīng)的強(qiáng)度為： 當(dāng)b=a/2時(shí)， （1） 所以，圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強(qiáng)度之比： （2）圓環(huán)衍射強(qiáng)度的第一個(gè)零值滿足: 即 利用貝塞耳函數(shù)表解上方程，得到： 因此，圓環(huán)衍射強(qiáng)度的第一個(gè)零點(diǎn)的角半徑為： [13-7] 不透明屏幕上有一孔徑，用一個(gè)向P點(diǎn)會(huì)聚的球面波照明，P點(diǎn)位于孔徑后面與孔徑相距z的平行平面上，如圖所示。 (1)求出孔徑平面上入射球面波的傍軸近似，設(shè)P點(diǎn)分別位于Z軸上和軸外(0，y1)點(diǎn)兩種情形。 (2)假設(shè)孔徑面到觀察面之間為菲涅耳衍射區(qū)，證明在上述兩種情形下，觀察到的強(qiáng)度分布是孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射，且分布中心在P點(diǎn)。 解： （1）孔徑平面上任意考察點(diǎn)(0,y0)處光場的復(fù)振幅分布為： k為波數(shù)。對(duì)相位因子中的r取傍軸近似： 則復(fù)振幅分布： 當(dāng)P點(diǎn)位于z軸上時(shí)，，則有： （2）入射球面波被孔徑衍射后，在觀察面上復(fù)振幅分布為： 此結(jié)果表明，觀察面上復(fù)振幅分布就是平行光垂直照射孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射場分布，只不過分布的中心在(0,y1)點(diǎn)處，即P點(diǎn)處。 當(dāng)P點(diǎn)位于z軸上時(shí)，，此時(shí)只是上述情況的特例： [13-12] 一臺(tái)顯微鏡的數(shù)值孔徑為0.85，問(1)它用于波長為400nm時(shí)的最小分辨距離是多少?(2)若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大到1.45，分辨率提高了多少倍?(3)顯微鏡的放大率應(yīng)設(shè)計(jì)成多大?(設(shè)人眼的最小分辨角為1)。 解： （1） 顯微鏡的分辨率為： （2） 數(shù)值孔徑增大后顯微鏡的分辨率為： 所以，分辨率提高了：倍 （3） 人眼的明視距離為250mm，所以人眼的最小分辨距離為： 所以顯微鏡的放大率應(yīng)設(shè)計(jì)成： 倍 [13-15] 光柵的寬度為l0cm，每毫米內(nèi)有500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為500mm。問(1)它產(chǎn)生的波長632.8nm的單色光的1級(jí)和2級(jí)譜線的半寬度是多少?(2)若入射光是波長為632.8nm和波長之相差0.5nm的兩種單色光，它們的1級(jí)和2級(jí)譜線之間的距離是多少? 解： （1） 光柵常數(shù) 光柵總縫數(shù) 光柵的角半寬度： 光柵產(chǎn)生的m級(jí)譜線的峰值強(qiáng)度位置由光柵方程確定： 所以，波長632.8nm的單色光的1級(jí)和2級(jí)譜線的方向： 因此，波長632.8nm的單色光的1級(jí)和2級(jí)譜線的半寬度是 ： （2） 光柵的線色散為： 波長632.8nm的單色光的1級(jí)和2級(jí)譜線相應(yīng)的線色散為： 而波長差的兩種單色光的1級(jí)和2級(jí)譜線之間的距離為： [13-16]設(shè)計(jì)一塊光柵，要求(1)使波長=600nm的第2級(jí)譜線的衍射角，(2)色散盡可能大，(3)第3級(jí)譜線缺級(jí)，(4)在波長=600nm的2級(jí)譜線處能分辨0.02nm的波長差。在選定光柵的參數(shù)后，問在透鏡的焦面上只可能看到波長600nm的幾條譜線? 解： 為達(dá)到條件（1），光柵必須滿足： 根據(jù)條件（2），應(yīng)選擇d盡可能小，故 根據(jù)條件（3），光柵縫寬a應(yīng)為： 再根據(jù)條件（4），光柵的縫數(shù)N至少應(yīng)有： 所以，光柵的總寬度W至少為： 光柵產(chǎn)生的譜線應(yīng)在的范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)： 第4級(jí)譜線對(duì)應(yīng)于方向，實(shí)際上不可能看到，此外第3級(jí)缺級(jí)，所以，只能看見共5條譜線。 [13-19] 解： 方法一：把每兩條縫寬為a，間隔的雙縫看作一個(gè)衍射單元，整個(gè)衍射屏由間距的N個(gè)這樣的衍射單元組成。則單元衍射因子為: 其中： 所以， N個(gè)衍射單元的干涉因子為： 其中： 所以， 最終，得到整個(gè)衍射屏產(chǎn)生的夫瑯和費(fèi)衍射場的復(fù)振幅為： 故，整個(gè)衍射屏產(chǎn)生的夫瑯和費(fèi)衍射場的強(qiáng)度分布為： 其中，為單縫衍射零級(jí)主強(qiáng)度。 方法二：分別把N條奇數(shù)縫與N條偶數(shù)縫看作二個(gè)相同的衍射單元。于是，整個(gè)衍射屏就只是由間距的兩個(gè)衍射單元組成。而單元衍射因子為: 元間干涉因子為; 所以，得到整個(gè)衍射屏產(chǎn)生的夫瑯和費(fèi)衍射場的復(fù)振幅為： 故，整個(gè)衍射屏產(chǎn)生的夫瑯和費(fèi)衍射場的強(qiáng)度分布為： 其中，為單縫衍射零級(jí)主強(qiáng)度。 第 8 頁 共 8 頁