2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 復(fù)數(shù)的幾何意義課件 新人教A版選修2-2.ppt

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第二章,推理與證明,2．2直接證明與間接證明,2．3數(shù)學(xué)歸納法,自主預(yù)習(xí)學(xué)案,,,數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立．②(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明______________________．,當(dāng)n＝k＋1時命題也成立,1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，在驗證n＝1成立時，左邊所得的代數(shù)式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[解析]當(dāng)n＝1時，2n＋1＝21＋1＝3，所以左邊為1＋2＋3．故應(yīng)選C．,C,B,B,互動探究學(xué)案,命題方向1?數(shù)學(xué)歸納法的基本原理及用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式,典例1,『規(guī)律總結(jié)』用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；二是弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形．,C,B,命題方向2?用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,典例2,『規(guī)律總結(jié)』用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式和證明恒等式注意事項大致相同，需要注意的是：(1)在應(yīng)用歸納假設(shè)證明過程中，方向不明確時，可采用分析法完成，經(jīng)過分析找到推證的方向后，再用綜合法、比較法等其他方法證明．(2)在推證“n＝k＋1時不等式也成立”的過程中，常常要將表達(dá)式作適當(dāng)放縮變形，以便于應(yīng)用歸納假設(shè)，變換出要證明的結(jié)論．,命題方向3?用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R．[思路分析]證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項”，即采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊出n＝k時的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得以解決．[證明](1)當(dāng)n＝1時，a1＋1＋(a＋1)21－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝aak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1．由歸納假設(shè)知，上式能被a2＋a＋1整除，故當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．由(1)、(2)知，對一切n∈N*，命題都成立．,典例3,『規(guī)律總結(jié)』用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，首先從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除．其中的關(guān)鍵是“湊項”，可采用增項、減項、拆項和因式分解等方法分析出因子，從而利用歸納假設(shè)使問題得到解決．利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，由歸納假設(shè)P(k)能被p整除，證P(k＋1)能被p整除，也可運用結(jié)論：若P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝Pq(k)”，將P(k＋1)變形轉(zhuǎn)化分解因式產(chǎn)生因式p．,例如本題中，在推證n＝k＋1命題也成立時，可以用整除的定義，將歸納假設(shè)表示出來，假設(shè)n＝k時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)為多項式)，所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，所以n＝k＋1時，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1＝(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，顯然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1時，命題亦成立．,〔跟蹤練習(xí)3〕求證：當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除．[證明](1)顯然，當(dāng)n＝1時，命題成立，即x1＋y1能被x＋y整除．(2)假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時命題成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，則當(dāng)n＝2k＋1時，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)，又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1．由(1)、(2)可知當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除．,由已知條件首先計算數(shù)列{an}的前幾項的值，根據(jù)前幾項的特點，猜想出數(shù)列{an}的通項公式或遞推公式，利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明是求數(shù)列通項的一種常見的方法．,歸納——猜想——證明,設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n＝1,2,3，…)．(1)求a1，a2；(2)求{Sn}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．,典例4,『規(guī)律總結(jié)』數(shù)學(xué)歸納法源于對某些猜想的證明，而猜想是根據(jù)不完全歸納法對一些具體的、簡單的情形進(jìn)行觀察、類比而提出的．給出一些簡單的命題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對任意自然數(shù)n都成立的一般性命題．解題一般分三步進(jìn)行：(1)驗證P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，…；(2)提出猜想；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明．,〔跟蹤練習(xí)4〕在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項公式并加以證明．[解析](1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，將a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋4；將a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋8；將a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋16．,(2)由a2，a3，a4，對{an}的通項公式作出猜想：an＝(n－1)λn＋2n．證明如下：①當(dāng)n＝1時，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，ak＝(k－1)λk＋2k，則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝(k－1)λk＋1＋λ2k＋λk＋1＋(2－λ)2k＝kλk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1．由此可知，當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．由①②可知，an＝(n－1)λn＋2n對任意n∈N*都成立．,數(shù)學(xué)歸納法證明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N＋)．,未用歸納假設(shè)而致誤,典例5,,[辨析]錯解中的第二步?jīng)]用到歸納假設(shè)，直接使用了等比數(shù)列的求和公式．由于未用歸納假設(shè)，造成使用數(shù)學(xué)歸納法失誤．[正解](1)當(dāng)n＝3時，左邊＝2＋22＝6，右邊＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假設(shè)n＝k時，結(jié)論成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么n＝k＋1時，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝22k－2＝2(2k－1)．所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．由(1)(2)可知，等式對任意n>2，n∈N＋都成立．[點評]在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可．其中，第一步是遞推的基礎(chǔ)，驗證n＝n0時結(jié)論成立的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時可為2、3等；第二步是遞推的依據(jù)，證明n＝k＋1時命題也成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．,1．某命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋)時該命題成立，則可推得n＝k＋1時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝5時該命題不成立，則可推得()A．當(dāng)n＝6時，該命題不成立B．當(dāng)n＝6時，該命題成立C．當(dāng)n＝4時，該命題不成立D．當(dāng)n＝4時，該命題成立[解析]若n＝4時，該命題成立，由條件可推得n＝5命題成立．它的逆否命題為：若n＝5不成立，則n＝4時該命題也不成立．,C,