《數(shù)字邏輯基礎》-第01章.ppt

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數(shù)字邏輯基礎,中國水利水電出版社,管庶安,第1章邏輯代數(shù)基礎,1.1概述,1.2邏輯代數(shù)的基本概念,1.3邏輯函數(shù),1.4邏輯函數(shù)的標準形式,1.5邏輯代數(shù)的重要定理,1.6邏輯函數(shù)化簡,,1.1概述,1.1.1數(shù)字系統(tǒng)的基本概念數(shù)字系統(tǒng)：對數(shù)字信號進行加工、傳輸、和存儲的實體。數(shù)字信號：一系列離散的數(shù)據(jù)。,舉例：用計算機播放電影,計算機就是一個典型的數(shù)字系統(tǒng)。,數(shù)字量的表示形式：用“0”和“1”兩個基本邏輯量組成。例：十進制數(shù)9用1001表示；字符A用1000001表示。邏輯運算：對兩種基本邏輯量進行的邏輯意義上的運算。邏輯運算是對數(shù)字量進行處理的最基本運算，任何運算歸根到底是由大量的邏輯運算綜合形成的。邏輯電路：實現(xiàn)邏輯運算的電子電路。在邏輯電路中，一般用高電平表示邏輯“1”，用低電平表示邏輯“0”。邏輯電路的特點：抗干擾能力強、運算精確、速度高、集成度高。,1.1.2數(shù)字邏輯技術的主要內(nèi)容,邏輯代數(shù)對邏輯量進行運算的規(guī)律、法則和方法。邏輯電路分析邏輯電路設計就是根據(jù)給定的功能要求，設計出邏輯電路。邏輯電路設計對于一個給定的邏輯電路，分析其工作原理，獲得該電路所具有的邏輯功能。,1.2邏輯代數(shù)的基本概念,1.2.1邏輯變量及基本運算邏輯常量僅有兩個：“1”和“0”，代表某命題為“真”或為“假”。邏輯變量值可以變化的邏輯量，取值只能是0或1。邏輯變量用英文字母表示，如A、B、C、F等?；具壿嬤\算與運算，用符號“?”表示，例如A?B或運算，用符號“+”表示，例如A+B非運算，用符號“￣”表示。例如,三種基本邏輯運算的法則,1.2.2邏輯表達式,由邏輯變量、常量及基本邏輯運算符所構成的式子。例：“與”運算符號“?”可以省略：邏輯運算的優(yōu)先順序：括號可以改變優(yōu)先順序。例：,1.2.3邏輯代數(shù)的公理,邏輯代數(shù)的公理：從邏輯代數(shù)的基本運算法則出發(fā)，經(jīng)推導得出的、具有普遍使用意義的邏輯運算規(guī)律。,對偶：將基本式中的“＋”換成“?”，“?”換成“＋”，0換成1，1換成0，便得到對偶式。,先列出前5條公理：,1~5的證明：用枚舉法。例：證明重疊律。已知變量A的取值僅有1或0兩種。將A=0代入A+A=A有：0+0=0，等式成立；將A=1代入A+A=A有：1+1=1，等式成立；即無論A為0還是A為1等式均成立，重疊律得證。,用推理法可證明6~7式。例：證明吸收律。吸收律得證。,公理（續(xù)）,用推理法可證明9~11式。例：證明消去律。消去律得證。,公理（續(xù)）,1.3邏輯函數(shù),1.3.1邏輯函數(shù)的定義,若邏輯變量F的值由邏輯變量A1、A2、…、An的值所決定，則稱F為A1、A2、…、An的函數(shù)，記為F值也只能為0或1。,用邏輯電路實現(xiàn)邏輯函數(shù),輸入,輸出,1.3.2邏輯函數(shù)的表示法,用邏輯表達式表達此邏輯命題：,邏輯命題：A、B兩人對某問題發(fā)表的意見，否定記為0，肯定記為1；F為結果，意見不同時F的值為0，相同時F的值為1。,,用真值表表達此邏輯命題：,特點：簡潔、便于運用公理計算。但不夠直觀。,特點：直觀。但當變量多時規(guī)模大。,用卡諾圖表達此邏輯命題：,F,注意：卡諾圖在分析和設計邏輯電路中具有重要地位。,例如：A=0的行和B=0的列相交的小方格的值為1，表示：當A=0、B=0時F的值為1,1.3.3復合邏輯,——用三種基本邏輯運算組成的特殊邏輯運算,與非邏輯,例：,,與非邏輯可以表達任何復雜的邏輯。,或非邏輯,例：,或非邏輯可以表達任何復雜的邏輯。,異或邏輯,例：,簡記為,同或邏輯,例：,,簡記為,,注意,,1.4邏輯函數(shù)的標準形式,1.4.1最小項,什么是最小項？n個邏輯變量組成的“與”項中，所有變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。,例：對于2個邏輯變量，共可寫出4個最小項：,用mi最小項,例：,用二進制數(shù)0表示反變量,1表示原變量;,改用十進制數(shù)表示;,此十進制數(shù)就是mi的下標.,最小項的性質(zhì),性質(zhì)1任取一組值,僅有一個最小項的值為1。性質(zhì)2任意兩個最小項相與,結果為0。性質(zhì)3全部最小項相或,結果為1。即：,,用最小項表達邏輯函數(shù),例：,1.4.2最大項,什么是最大項？n個邏輯變量組成的“或”項中，所有變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。,例：對于2個邏輯變量，共可寫出4個最大項：,用Mi最大項,例：,,,,,,,,,,,,,用二進制數(shù)1表示反變量,0表示原變量;,改用十進制數(shù)表示;,此十進制數(shù)就是Mi的下標.,最大項的性質(zhì),性質(zhì)1任取一組值,僅有一個最大項的值為0。性質(zhì)2任意兩個最小項相或,結果1。性質(zhì)3全部最大項相與,結果為0。即：,用最大項表達邏輯函數(shù),例：,互補律，0-1律,分配律,重疊律,1.4.3邏輯函數(shù)表達式的轉換,例：,F=1時的最小項,F=0時的最大項,注意：最小項與最大項的下標相互錯開,1.真值表法,2.卡諾圖法,卡諾圖的結構（以2變量卡諾圖為例）,,,排列原則：任何兩個上下或左右相鄰的小方格對應的兩個最小項中，有且僅有一個變量發(fā)生變化。,3變量卡諾圖的結構：,注意：（1）應遵守排列原則；（2）四個角上的小方格也相鄰，也應遵守排列原則；（3）為了滿足（2），BC的取值順序并非由小到大，見圖中的紅色數(shù)字。,4變量卡諾圖的結構：,注意：（1）應遵守排列原則；（2）上下兩行上的小方格對應相鄰，如m1和m9相鄰；（3）左右兩列上的小方格對應相鄰，如m4和m6相鄰；（4）為了滿足（2）和（3），AB、CD的取值順序并非由小到大。,5變量及以上的卡諾圖為多層立體結構，較復雜，操作不便。,用卡諾圖表達邏輯函數(shù),例：用卡諾圖表達,（1）計算出與F對應的各最小項的值：,m0=0、m1=0、m2=0、m3=1、m4=0、m5=1、m6=1、m7=1,（2）將各最小項的值填入3變量卡諾圖中：,,3變量卡諾圖,（3）由卡諾圖得到F的最小項表達式：,,1.4.4邏輯函數(shù)的相等,如果兩個邏輯函數(shù)F、G具有相同的邏輯變量，且對任何一組變量取值，F(xiàn)和G的值都相等，則F=G。,,例：下面的兩個函數(shù)相等：,1.5邏輯代數(shù)的重要定理,摩根定理,例：運用摩根定理可得,香農(nóng)定理,如果將一個函數(shù)表達式中的原變量換成反變量，反變量換成原變量；將“＋”運算換成“?”運算，“?”運算換成“＋”運算；將常量“1”換成“0”，“0”換成“1”，則得到的新函數(shù)是原來函數(shù)的反函數(shù)。,例：運用香農(nóng)定理，有：,,對偶定理,如果將一個函數(shù)f中的“＋”運算換成“?”運算，“?”運算換成“＋”運算；將常量“1”換成“0”，“0”換成“1”，但變量保持不變，則得到的新函數(shù)稱為原來函數(shù)的對偶函數(shù)，記為f。,例：,對偶函數(shù)為：,推論：,1.,2.若,，則,。,若有，則f稱為自對偶函數(shù)。,例：,是自對偶函數(shù),1.6邏輯函數(shù)化簡,若“與-或”表達式滿足：（1）表達式中的“與”項個數(shù)最少；（2）每個乘積項中變量個數(shù)最少。則稱為最簡“與-或”式。,1.6.1代數(shù)化簡法,例：,例：,,,,包含律,,,,,,吸收律,,包含律,,,。,例：,,,1.6.2卡諾圖化簡法,1基本原理,上下或左右相鄰的兩個“1”小方格可以合并為一個與項，并且消去一個變量。,例：化簡,F的卡諾圖中，為1的小方格上下相鄰。上面的小方格代表的最小項中A以反變量出現(xiàn)；下面的小方格代表的最小項中A以原變量出現(xiàn)。因此，兩個最小項相“或”可消去A。,操作：將相鄰小方格圈在一起。此圈稱為卡諾圈。一個卡諾圈對應一個與項，此卡諾圈為。,因只有1個卡諾圈，故化簡結果為：,例：化簡函數(shù),注意：紅色小方格也是相鄰格,結果：,例：化簡函數(shù),注意：綠色小方格與其他小方格均不相鄰,結果：,若四個相鄰最小項排成一個矩形，則可合并為一個與項，并消去2個變量。合并后的結果中只包含最小項的公共因子。,例：化簡函數(shù),左下角的四個小方格相鄰，在垂直方向上變量B發(fā)生了變化，A保持為1；在水平方向上變量D發(fā)生了變化，C保持為0。因此，化簡結果中消去了變量B、D，保留了公共因式。,操作：1.將四個相鄰小方格圈在一起，得與項。2.將二個相鄰小方格圈在一起，得與項ABD。注：這里重復利用了一個小方格。,結果：,,例：化簡函數(shù),注意：紅色小方格也是相鄰格,結果：,注意：應盡可能圈出最大的圈，否則結果將不是最簡的。,例：上例若按下面的圈法：,結果雖然正確，但未達到最簡。,結果：,若八個相鄰最小項排成一個矩形，則可合并為一個與項，并消去3個變量。合并后的結果中只包含最小項的公共因子。,例：化簡函數(shù),結果：,卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟：,畫卡諾圈。構成卡諾圈的小方格必須滿足：①對應的函數(shù)值全部為1。②總數(shù)為2n個。③拼成盡可能大的矩形。2按2的要求圈出全部可能的卡諾圈，即：直到為1的所有小方格圈完為止。小方格可以重復利用，但每一卡諾圈中至少應含有一個未被其它卡諾圈使用的小方格。3一一寫出每個卡諾圈表示的“與”項。該“與”項由這樣的變量乘積組成：①沿垂直方向保持不變的斜線下方的變量。②沿水平方向保持不變的斜線上方的變量。③保持為0的采用反變量形式，保持為1的采用原變量形式。4將各卡諾圈表示的“與”項累加起來，得到化簡結果。,