《數(shù)字邏輯基礎(chǔ)》-第01章.ppt

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數(shù)字邏輯基礎(chǔ),中國水利水電出版社,管庶安,第1章邏輯代數(shù)基礎(chǔ),1.1概述,1.2邏輯代數(shù)的基本概念,1.3邏輯函數(shù),1.4邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式,1.5邏輯代數(shù)的重要定理,1.6邏輯函數(shù)化簡,,1.1概述,1.1.1數(shù)字系統(tǒng)的基本概念數(shù)字系統(tǒng)：對數(shù)字信號進(jìn)行加工、傳輸、和存儲的實(shí)體。數(shù)字信號：一系列離散的數(shù)據(jù)。,舉例：用計(jì)算機(jī)播放電影,計(jì)算機(jī)就是一個(gè)典型的數(shù)字系統(tǒng)。,數(shù)字量的表示形式：用“0”和“1”兩個(gè)基本邏輯量組成。例：十進(jìn)制數(shù)9用1001表示；字符A用1000001表示。邏輯運(yùn)算：對兩種基本邏輯量進(jìn)行的邏輯意義上的運(yùn)算。邏輯運(yùn)算是對數(shù)字量進(jìn)行處理的最基本運(yùn)算，任何運(yùn)算歸根到底是由大量的邏輯運(yùn)算綜合形成的。邏輯電路：實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算的電子電路。在邏輯電路中，一般用高電平表示邏輯“1”，用低電平表示邏輯“0”。邏輯電路的特點(diǎn)：抗干擾能力強(qiáng)、運(yùn)算精確、速度高、集成度高。,1.1.2數(shù)字邏輯技術(shù)的主要內(nèi)容,邏輯代數(shù)對邏輯量進(jìn)行運(yùn)算的規(guī)律、法則和方法。邏輯電路分析邏輯電路設(shè)計(jì)就是根據(jù)給定的功能要求，設(shè)計(jì)出邏輯電路。邏輯電路設(shè)計(jì)對于一個(gè)給定的邏輯電路，分析其工作原理，獲得該電路所具有的邏輯功能。,1.2邏輯代數(shù)的基本概念,1.2.1邏輯變量及基本運(yùn)算邏輯常量僅有兩個(gè)：“1”和“0”，代表某命題為“真”或?yàn)椤凹佟?。邏輯變量值可以變化的邏輯量，取值只能?或1。邏輯變量用英文字母表示，如A、B、C、F等?；具壿嬤\(yùn)算與運(yùn)算，用符號“?”表示，例如A?B或運(yùn)算，用符號“+”表示，例如A+B非運(yùn)算，用符號“￣”表示。例如,三種基本邏輯運(yùn)算的法則,1.2.2邏輯表達(dá)式,由邏輯變量、常量及基本邏輯運(yùn)算符所構(gòu)成的式子。例：“與”運(yùn)算符號“?”可以省略：邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序：括號可以改變優(yōu)先順序。例：,1.2.3邏輯代數(shù)的公理,邏輯代數(shù)的公理：從邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則出發(fā)，經(jīng)推導(dǎo)得出的、具有普遍使用意義的邏輯運(yùn)算規(guī)律。,對偶：將基本式中的“＋”換成“?”，“?”換成“＋”，0換成1，1換成0，便得到對偶式。,先列出前5條公理：,1~5的證明：用枚舉法。例：證明重疊律。已知變量A的取值僅有1或0兩種。將A=0代入A+A=A有：0+0=0，等式成立；將A=1代入A+A=A有：1+1=1，等式成立；即無論A為0還是A為1等式均成立，重疊律得證。,用推理法可證明6~7式。例：證明吸收律。吸收律得證。,公理（續(xù)）,用推理法可證明9~11式。例：證明消去律。消去律得證。,公理（續(xù)）,1.3邏輯函數(shù),1.3.1邏輯函數(shù)的定義,若邏輯變量F的值由邏輯變量A1、A2、…、An的值所決定，則稱F為A1、A2、…、An的函數(shù)，記為F值也只能為0或1。,用邏輯電路實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù),輸入,輸出,1.3.2邏輯函數(shù)的表示法,用邏輯表達(dá)式表達(dá)此邏輯命題：,邏輯命題：A、B兩人對某問題發(fā)表的意見，否定記為0，肯定記為1；F為結(jié)果，意見不同時(shí)F的值為0，相同時(shí)F的值為1。,,用真值表表達(dá)此邏輯命題：,特點(diǎn)：簡潔、便于運(yùn)用公理計(jì)算。但不夠直觀。,特點(diǎn)：直觀。但當(dāng)變量多時(shí)規(guī)模大。,用卡諾圖表達(dá)此邏輯命題：,F,注意：卡諾圖在分析和設(shè)計(jì)邏輯電路中具有重要地位。,例如：A=0的行和B=0的列相交的小方格的值為1，表示：當(dāng)A=0、B=0時(shí)F的值為1,1.3.3復(fù)合邏輯,——用三種基本邏輯運(yùn)算組成的特殊邏輯運(yùn)算,與非邏輯,例：,,與非邏輯可以表達(dá)任何復(fù)雜的邏輯。,或非邏輯,例：,或非邏輯可以表達(dá)任何復(fù)雜的邏輯。,異或邏輯,例：,簡記為,同或邏輯,例：,,簡記為,,注意,,1.4邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式,1.4.1最小項(xiàng),什么是最小項(xiàng)？n個(gè)邏輯變量組成的“與”項(xiàng)中，所有變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。,例：對于2個(gè)邏輯變量，共可寫出4個(gè)最小項(xiàng)：,用mi最小項(xiàng),例：,用二進(jìn)制數(shù)0表示反變量,1表示原變量;,改用十進(jìn)制數(shù)表示;,此十進(jìn)制數(shù)就是mi的下標(biāo).,最小項(xiàng)的性質(zhì),性質(zhì)1任取一組值,僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。性質(zhì)2任意兩個(gè)最小項(xiàng)相與,結(jié)果為0。性質(zhì)3全部最小項(xiàng)相或,結(jié)果為1。即：,,用最小項(xiàng)表達(dá)邏輯函數(shù),例：,1.4.2最大項(xiàng),什么是最大項(xiàng)？n個(gè)邏輯變量組成的“或”項(xiàng)中，所有變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。,例：對于2個(gè)邏輯變量，共可寫出4個(gè)最大項(xiàng)：,用Mi最大項(xiàng),例：,,,,,,,,,,,,,用二進(jìn)制數(shù)1表示反變量,0表示原變量;,改用十進(jìn)制數(shù)表示;,此十進(jìn)制數(shù)就是Mi的下標(biāo).,最大項(xiàng)的性質(zhì),性質(zhì)1任取一組值,僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。性質(zhì)2任意兩個(gè)最小項(xiàng)相或,結(jié)果1。性質(zhì)3全部最大項(xiàng)相與,結(jié)果為0。即：,用最大項(xiàng)表達(dá)邏輯函數(shù),例：,互補(bǔ)律，0-1律,分配律,重疊律,1.4.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換,例：,F=1時(shí)的最小項(xiàng),F=0時(shí)的最大項(xiàng),注意：最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的下標(biāo)相互錯(cuò)開,1.真值表法,2.卡諾圖法,卡諾圖的結(jié)構(gòu)（以2變量卡諾圖為例）,,,排列原則：任何兩個(gè)上下或左右相鄰的小方格對應(yīng)的兩個(gè)最小項(xiàng)中，有且僅有一個(gè)變量發(fā)生變化。,3變量卡諾圖的結(jié)構(gòu)：,注意：（1）應(yīng)遵守排列原則；（2）四個(gè)角上的小方格也相鄰，也應(yīng)遵守排列原則；（3）為了滿足（2），BC的取值順序并非由小到大，見圖中的紅色數(shù)字。,4變量卡諾圖的結(jié)構(gòu)：,注意：（1）應(yīng)遵守排列原則；（2）上下兩行上的小方格對應(yīng)相鄰，如m1和m9相鄰；（3）左右兩列上的小方格對應(yīng)相鄰，如m4和m6相鄰；（4）為了滿足（2）和（3），AB、CD的取值順序并非由小到大。,5變量及以上的卡諾圖為多層立體結(jié)構(gòu)，較復(fù)雜，操作不便。,用卡諾圖表達(dá)邏輯函數(shù),例：用卡諾圖表達(dá),（1）計(jì)算出與F對應(yīng)的各最小項(xiàng)的值：,m0=0、m1=0、m2=0、m3=1、m4=0、m5=1、m6=1、m7=1,（2）將各最小項(xiàng)的值填入3變量卡諾圖中：,,3變量卡諾圖,（3）由卡諾圖得到F的最小項(xiàng)表達(dá)式：,,1.4.4邏輯函數(shù)的相等,如果兩個(gè)邏輯函數(shù)F、G具有相同的邏輯變量，且對任何一組變量取值，F(xiàn)和G的值都相等，則F=G。,,例：下面的兩個(gè)函數(shù)相等：,1.5邏輯代數(shù)的重要定理,摩根定理,例：運(yùn)用摩根定理可得,香農(nóng)定理,如果將一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中的原變量換成反變量，反變量換成原變量；將“＋”運(yùn)算換成“?”運(yùn)算，“?”運(yùn)算換成“＋”運(yùn)算；將常量“1”換成“0”，“0”換成“1”，則得到的新函數(shù)是原來函數(shù)的反函數(shù)。,例：運(yùn)用香農(nóng)定理，有：,,對偶定理,如果將一個(gè)函數(shù)f中的“＋”運(yùn)算換成“?”運(yùn)算，“?”運(yùn)算換成“＋”運(yùn)算；將常量“1”換成“0”，“0”換成“1”，但變量保持不變，則得到的新函數(shù)稱為原來函數(shù)的對偶函數(shù)，記為f。,例：,對偶函數(shù)為：,推論：,1.,2.若,，則,。,若有，則f稱為自對偶函數(shù)。,例：,是自對偶函數(shù),1.6邏輯函數(shù)化簡,若“與-或”表達(dá)式滿足：（1）表達(dá)式中的“與”項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；（2）每個(gè)乘積項(xiàng)中變量個(gè)數(shù)最少。則稱為最簡“與-或”式。,1.6.1代數(shù)化簡法,例：,例：,,,,包含律,,,,,,吸收律,,包含律,,,。,例：,,,1.6.2卡諾圖化簡法,1基本原理,上下或左右相鄰的兩個(gè)“1”小方格可以合并為一個(gè)與項(xiàng)，并且消去一個(gè)變量。,例：化簡,F的卡諾圖中，為1的小方格上下相鄰。上面的小方格代表的最小項(xiàng)中A以反變量出現(xiàn)；下面的小方格代表的最小項(xiàng)中A以原變量出現(xiàn)。因此，兩個(gè)最小項(xiàng)相“或”可消去A。,操作：將相鄰小方格圈在一起。此圈稱為卡諾圈。一個(gè)卡諾圈對應(yīng)一個(gè)與項(xiàng)，此卡諾圈為。,因只有1個(gè)卡諾圈，故化簡結(jié)果為：,例：化簡函數(shù),注意：紅色小方格也是相鄰格,結(jié)果：,例：化簡函數(shù),注意：綠色小方格與其他小方格均不相鄰,結(jié)果：,若四個(gè)相鄰最小項(xiàng)排成一個(gè)矩形，則可合并為一個(gè)與項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。合并后的結(jié)果中只包含最小項(xiàng)的公共因子。,例：化簡函數(shù),左下角的四個(gè)小方格相鄰，在垂直方向上變量B發(fā)生了變化，A保持為1；在水平方向上變量D發(fā)生了變化，C保持為0。因此，化簡結(jié)果中消去了變量B、D，保留了公共因式。,操作：1.將四個(gè)相鄰小方格圈在一起，得與項(xiàng)。2.將二個(gè)相鄰小方格圈在一起，得與項(xiàng)ABD。注：這里重復(fù)利用了一個(gè)小方格。,結(jié)果：,,例：化簡函數(shù),注意：紅色小方格也是相鄰格,結(jié)果：,注意：應(yīng)盡可能圈出最大的圈，否則結(jié)果將不是最簡的。,例：上例若按下面的圈法：,結(jié)果雖然正確，但未達(dá)到最簡。,結(jié)果：,若八個(gè)相鄰最小項(xiàng)排成一個(gè)矩形，則可合并為一個(gè)與項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。合并后的結(jié)果中只包含最小項(xiàng)的公共因子。,例：化簡函數(shù),結(jié)果：,卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟：,畫卡諾圈。構(gòu)成卡諾圈的小方格必須滿足：①對應(yīng)的函數(shù)值全部為1。②總數(shù)為2n個(gè)。③拼成盡可能大的矩形。2按2的要求圈出全部可能的卡諾圈，即：直到為1的所有小方格圈完為止。小方格可以重復(fù)利用，但每一卡諾圈中至少應(yīng)含有一個(gè)未被其它卡諾圈使用的小方格。3一一寫出每個(gè)卡諾圈表示的“與”項(xiàng)。該“與”項(xiàng)由這樣的變量乘積組成：①沿垂直方向保持不變的斜線下方的變量。②沿水平方向保持不變的斜線上方的變量。③保持為0的采用反變量形式，保持為1的采用原變量形式。4將各卡諾圈表示的“與”項(xiàng)累加起來，得到化簡結(jié)果。,