高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 4 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征學案 北師大版必修31

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4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征1能結合具體情境理解不同數(shù)字特征的意義，并能根據(jù)問題的需要選擇適當?shù)臄?shù)字特征來表達數(shù)據(jù)的信息2通過實例理解數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差1眾數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)_的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(2)特征：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能_個，也可能沒有，它反映了該組數(shù)據(jù)的_眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征2中位數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列，處于_位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是_的，反映了該組數(shù)據(jù)的_中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點【做一做1】某班50名學生右眼視力的檢查結果如下表所示：視力0.10.20.30.40.50.60.70.81.01.21.5人數(shù)113434468106則該班學生右眼視力的眾數(shù)為_，中位數(shù)為_3平均數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為_.(2)特征：平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的_任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化，這是_和_都不具有的性質所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的_，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的_的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低【做一做2】對甲、乙二人的學習成績進行抽樣分析，各抽4門功課，得到的觀測值如下：甲65828085乙75657090問：甲、乙誰的平均成績較好？4標準差(1)定義：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計算s_.可以用計算器或計算機計算標準差(2)特征：標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞_波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大小標準差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較_；標準差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較_【做一做3】從某項綜合能力測試中抽取100人的成績?nèi)缦卤恚瑒t這100人成績的標準差為()分數(shù)54321人數(shù)2010303010A B C3 D5方差(1)定義：標準差的平方，即s2_.(2)特征：與標準差的作用_，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小(3)取值范圍：_.數(shù)據(jù)組x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，標準差為s，則數(shù)據(jù)組ax1b，ax2b，axnb(a，b為非零常數(shù))的平均數(shù)為ab，方差為a2s2，標準差為as.【做一做4】下列能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是()A平均數(shù) B方差 C中位數(shù) D眾數(shù)6極差(1)定義：一組數(shù)據(jù)的最_值與最_值的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差(2)特征：表示該組數(shù)據(jù)之間的差異情況極差利用了數(shù)據(jù)組中最大和最小的兩個值，對極值過于敏感但由于只涉及兩個數(shù)據(jù)，便于得到，所以極差在實際中也經(jīng)常應用【做一做5】一組數(shù)據(jù)3，1，0，2，x的極差是5，則x_.平均數(shù)與標準差(方差)這兩個數(shù)字特征在實際問題中如何應用？剖析：平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均水平，在實際應用中，平均數(shù)常被理解為平均水平標準差反映的是數(shù)據(jù)的離散程度的大小，反映了各個樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度，標準差越小表明在樣本平均數(shù)的周圍越集中；反之，標準差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散在實際應用中，標準差常被理解為穩(wěn)定性，常常與平均數(shù)結合起來解決問題例如，要從甲、乙兩名射擊運動員中選一名參加2012年倫敦奧運會，如果你是教練，你會制定怎樣的選拔標準？制定怎樣的選拔方案？選拔標準是：要考慮射擊運動員的射擊水平即平均射擊環(huán)數(shù)，再就是考慮射擊運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性當射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)不相同時，選擇平均數(shù)較大的運動員；當射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)相同時，選擇發(fā)揮穩(wěn)定(標準差較小)的運動員選拔方案：讓這兩名運動員在相同的環(huán)境中進行相同次數(shù)的射擊，比如參加射擊世錦賽、世界杯、國際邀請賽、熱身賽或國內(nèi)比賽，并記錄每次射擊的環(huán)數(shù)然后計算兩名運動員射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差，再根據(jù)選拔標準作出選擇題型一 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應用【例題1】某公司30名職工的月工資(單位：元)如下：職務董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11212320工資5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求該公司職工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)(2)假設副董事長的工資從5 000元提升到20 000元，董事長的工資從5 500元提升到30 000元，那么該公司職工的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元)(3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司職工的月工資水平？結合此問題談一談你的看法分析：根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念求解反思：平均數(shù)是將所有的數(shù)據(jù)都考慮進去得到的量，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢最常用的量，中位數(shù)可靠性較差，當一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)變動較大時，常用中位數(shù)表示該組數(shù)據(jù)的集中趨勢而眾數(shù)求法較簡便，也經(jīng)常被用到考查一組數(shù)據(jù)的特征時，這三個數(shù)字特征要結合在一起考慮大多情況下人們會把眼光僅停留在工資表中的最大值與最小值處，把最高工資作為一個單位工資的評價，這是一種錯誤的評價方式題型二 標準差、方差的計算【例題2】已知一個樣本為x,1，y,5，其中x，y是方程組的解，則這個樣本的標準差是()A2 B C5 D反思：深刻理解平均數(shù)、方差的計算公式，靈活應用xy2和x2y210進行整體求解是提高解題速度的關鍵題型三 綜合應用題【例題3】對劃艇運動員甲、乙二人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰更優(yōu)秀分析：分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均值與方差，然后加以比較并作出判斷反思：判斷甲、乙兩運動員成績的優(yōu)劣，通常用平均數(shù)和方差作為標準來比較，當平均數(shù)相同時，還應考察他們的成績波動情況(方差)，以達到判斷上的合理性和全面性1(2011廣東汕頭期中，6)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A91.5和91.5 B91.5和92C91和91.5 D92和922甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)要檢驗它們的運行情況，統(tǒng)計10天中兩臺機床每天出的次品數(shù)分別為甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.則出次品數(shù)較少的為()A甲 B乙 C相同 D不能比較3已知一個樣本中含有5個數(shù)據(jù)3,5,7,4,6，則樣本方差為()A1 B2 C3 D44已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差是a，那么另一組數(shù)據(jù)x12，x22，xn2的方差是_5對甲、乙的學習成績進行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測值如下：甲6080709070乙8060708075問：甲、乙誰的平均成績較好？誰的各門功課發(fā)展較平衡？答案：基礎知識梳理1(1)最多(2)不止一集中趨勢2(1)中間(2)唯一集中趨勢【做一做1】1.20.83(1)(2)平均水平眾數(shù)中位數(shù)信息極端值【做一做2】解：甲(65828085)78，乙(75657090)75，甲的平均成績較好4(1)(2)平均數(shù)大小【做一做3】B這100人的總成績?yōu)?20410330230110300，則平均成績?yōu)?，則這100人成績的標準差為.5(1)(x1)2(x2)2(xn)2(2)相同(3)0，)【做一做4】B方差能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的大小6(1)大小【做一做5】2或4典型例題領悟【例題1】解：(1)平均數(shù)是2 050(元)，中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元(2)平均數(shù)是3 367(元)，中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的月工資水平因為公司中少數(shù)人的月工資與大多數(shù)人的月工資差別較大，這樣導致平均數(shù)與職工整體月工資的偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司職工的月工資水平【例題2】Dxy2，x2y210，(x1y5)(xy)62，s2(x2)2(12)2(y2)2(52)2(x2y2)4(xy)18205，s.【例題3】解：甲(273830373531)33，s甲2(2733)2(3833)2(3133)29415.7，乙(332938342836)33，s乙2(3333)2(2933)2(3633)27612.7.甲乙，s甲2s乙2這說明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀隨堂練習鞏固1A90(13316402)91.5.中位數(shù)91.5.2B甲1.5，乙1.2.3B5，則方差s2(35)2(55)2(75)2(45)2(65)22.4a將一組數(shù)據(jù)同時減去一個數(shù)，所得新數(shù)據(jù)的方差與原數(shù)據(jù)的方差相等5解：甲(6080709070)74；乙(8060708075)73.s甲2(142624216242)104；s乙2(72132327222)56.甲乙，s甲2s乙2，甲的平均成績較好，乙的各門功課發(fā)展較平衡