高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問題 文

《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問題 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問題 文（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第32練圓錐曲線中的探索性問題題型分析高考展望本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定值、最值范圍問題或探索性問題，試題難度較大體驗(yàn)高考1(2016課標(biāo)全國乙)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故N，ON的方程為yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N為OH的中點(diǎn)，即2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn)，理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點(diǎn)2(2016四川)已知橢圓E：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：yx3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值解(1)由已知，得ab，則橢圓E的方程為1.由方程組得3x212x(182b2)0.方程的判別式為24(b23)，由0，得b23，此時(shí)方程的解為x2，所以橢圓E的方程為1.點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1)(2)由已知可設(shè)直線l的方程為yxm(m0)，由方程組可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，|PT|2m2.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程組可得3x24mx(4m212)0.方程的判別式為16(92m2)，由0，解得mb0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，請(qǐng)說明理由解(1)依題意得b，e，a2b2c2，a2，c1，橢圓C的方程為1.(2)直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為yk(x1)，求得l與y軸交于M(0，k)，設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，的值為定值.點(diǎn)評(píng)(1)定點(diǎn)問題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)(2)定值問題的求解策略在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就是“定值”問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值變式訓(xùn)練1已知拋物線y22px(p0)，過點(diǎn)M(5，2)的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn)(1)求拋物線的方程；(2)拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，直線l的方程為xy30，即x3y，代入y22px(p0)得y22py6p0，p2，p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線l的方程為xm(y2)5，代入y24x得y24my8m200，設(shè)點(diǎn)A(，y1)，B(，y2)，則y1y24m，y1y28m20，假設(shè)存在點(diǎn)P(，y0)總是在以弦AB為直徑的圓上，則()()(y1y0)(y2y0)0，當(dāng)y1y0或y2y0時(shí)，等式顯然成立；當(dāng)y1y0或y2y0時(shí)，則有(y1y0)(y2y0)16，即4my0y8m2016，(4my02)(y02)0，解得y02，x01，所以存在點(diǎn)P(1,2)滿足題意題型二定直線問題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x22py(p0)相交于A，B兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解方法一(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，p)，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22pk，x1x22p2.于是SABNSBCNSACN2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，當(dāng)k0時(shí)，(SABN)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，AC的中點(diǎn)為O，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，則OHPQ，O點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)|OP|AC|，|OH|2ay1p|，|PH|2|OP|2|OH|2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，|PQ|2(2|PH|)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此時(shí)|PQ|p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一，再由弦長(zhǎng)公式得|AB|x1x2|2p，又由點(diǎn)到直線的距離公式得d.從而SABNd|AB|2p 2p2.當(dāng)k0時(shí)，(SABN)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，將直線方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0，則x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則有|PQ|x3x4|2 .令a0，得a，此時(shí)|PQ|p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線點(diǎn)評(píng)(1)定直線由斜率、截距、定點(diǎn)等因素確定(2)定直線一般為特殊直線xx0，yy0等變式訓(xùn)練2橢圓C的方程為1(ab0)，F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，已知橢圓C過點(diǎn)(0,1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l的方程為x4，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn)，求的值；(3)過點(diǎn)Q(1,0)任意作直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，與l交于R點(diǎn)，x，y，求證：4x4y50.(1)解由題意可得b1，a3，橢圓C的方程為y21.(2)解設(shè)P(x0，y0)，則直線PA、PB的方程分別為y(x3)，y(x3)，將x4分別代入可求得D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D(4，)，E(4，)由(1)知，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，(42，)(42，)8，又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C上，y1，.(3)證明設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，t)，由x得(x14，y1t)x(1x1，y1)，(x1)，代入橢圓方程得(4x)29t29(1x)2，同理由y得(4y)29t29(1y)2，消去t，得xy，4x4y50.題型三存在性問題例3(1)已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_答案1，)解析以AB為直徑的圓的方程為x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知解得a1.(2)如圖，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x2)2y2r2 (r0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N.求橢圓C的方程；求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)試問：是否存在使SPOSSPOR最大的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解由題意知解之，得a2，c，由c2a2b2，得b1，故橢圓C的方程為y21.點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨設(shè)y10，由于點(diǎn)M在橢圓C上，y1.由已知T(2,0)，則(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)22.由于2xb0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)P(1，)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；(3)過橢圓C1：1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作圓O：x2y2的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N(M，N不在坐標(biāo)軸上)，若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：為定值(1)解由題意得c1，所以a2b21，又因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)在橢圓C上，所以1，可解得a24，b23，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)解設(shè)直線l方程為ykx2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因?yàn)?2k230，所以k2，又x1x2，x1x2，因?yàn)锳OB為銳角，所以0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，即0，所以k2，所以k2，解得k或kb0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是否存在直線l，使得BFM與BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由已知得c1，a2c2，b2a2c23，所以橢圓C的方程為1.(2)2等價(jià)于2，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，1，不符合題意，舍去；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，由消去x并整理得，(34k2)y26ky9k20，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，y1y2，由2得y12y2，由解得k，因此存在直線l：y(x1)使得BFM與BFN的面積比值為2.