高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專(zhuān)題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專(zhuān)題6 立體幾何 第26練 完美破解立體幾何的證明問(wèn)題 文

《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專(zhuān)題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專(zhuān)題6 立體幾何 第26練 完美破解立體幾何的證明問(wèn)題 文》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專(zhuān)題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專(zhuān)題6 立體幾何 第26練 完美破解立體幾何的證明問(wèn)題 文（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第26練完美破解立體幾何的證明問(wèn)題題型分析高考展望立體幾何證明題是高考必考題，證明平行、垂直關(guān)系是主要題型，特別是垂直關(guān)系尤為重要掌握判定定理、性質(zhì)定理并能靈活運(yùn)用是解題的根本學(xué)會(huì)分析推理的方法和證明技巧是提升推理能力的關(guān)鍵，在二輪復(fù)習(xí)中，通過(guò)專(zhuān)題訓(xùn)練，使解立體幾何證明的能力更上一層樓，確保該類(lèi)題型不失分體驗(yàn)高考1(2015福建)若l，m是兩條不同的直線(xiàn)，m垂直于平面，則“l(fā)m”是“l(fā)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析m垂直于平面，當(dāng)l時(shí)，也滿(mǎn)足lm，但直線(xiàn)l與平面不平行，充分性不成立，反之，l，一定有l(wèi)m，必要性成立故選B.2(2016山東)已知直線(xiàn)a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)，則“直線(xiàn)a和直線(xiàn)b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若直線(xiàn)a和直線(xiàn)b相交，則平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直線(xiàn)a和直線(xiàn)b可能平行或異面或相交，故選A.3(2016課標(biāo)全國(guó)甲)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A(yíng)D，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H，將DEF沿EF折到DEF的位置(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐DABCFE的體積(1)證明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以O(shè)H1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S683.所以五棱錐DABCFE的體積V2.4(2016四川)如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線(xiàn)CM平面PAB，并說(shuō)明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD.(1)解取棱AD的中點(diǎn)M(M平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)，理由如下：因?yàn)锳DBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB.所以CM平面PAB.(說(shuō)明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線(xiàn)MN上任意一點(diǎn))(2)證明由已知，PAAB，PACD.因?yàn)锳DBC，BCAD，所以直線(xiàn)AB與CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.因?yàn)锳DBC，BCAD，M為AD的中點(diǎn)，連接BM，所以BCMD，且BCMD.所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.5(2016課標(biāo)全國(guó)丙)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積(1)證明由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM42.所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM.高考必會(huì)題型題型一空間中的平行問(wèn)題例1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)，求證：(1)直線(xiàn)EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.證明(1)如圖，連接SB，E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直線(xiàn)EG平面BDD1B1.(2)連接SD，F(xiàn)、G分別是DC、SC的中點(diǎn)，F(xiàn)GSD.又SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，由(1)知，EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.點(diǎn)評(píng)證明平行關(guān)系的方法(1)證明線(xiàn)線(xiàn)平行的常用方法：利用平行公理，即證明兩直線(xiàn)同時(shí)和第三條直線(xiàn)平行；利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；利用三角形中位線(xiàn)定理證明；利用線(xiàn)面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明(2)證明線(xiàn)面平行的常用方法：利用線(xiàn)面平行的判定定理，把證明線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行；利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行(3)證明面面平行的方法：證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行變式訓(xùn)練1(2015天津改編)如圖，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)求證：(1)EF平面A1B1BA；(2)平面AEA1平面BCB1.證明(1)如圖，連接A1B，在A(yíng)1BC中，因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的中點(diǎn)，所以EFBA1.又因?yàn)镋F平面A1B1BA，BA1平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)因?yàn)锳BAC，E為BC中點(diǎn)，所以AEBC，因?yàn)锳A1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，從而B(niǎo)B1AE.又因?yàn)锽CBB1B，所以AE平面BCB1，又因?yàn)锳E平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.題型二空間中的垂直問(wèn)題例2如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)求證：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.證明(1)如圖，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG.F為CD的中點(diǎn)，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四邊形GFAB為平行四邊形，AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.點(diǎn)評(píng)(1)證明線(xiàn)面垂直的常用方法：利用線(xiàn)面垂直的判定定理，把線(xiàn)面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直；利用常見(jiàn)結(jié)論，如兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面(2)證明面面垂直的方法：證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線(xiàn)，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，一般先從現(xiàn)有直線(xiàn)中尋找，若圖中不存在這樣的直線(xiàn)，則借助中點(diǎn)、高線(xiàn)或添加輔助線(xiàn)來(lái)解決變式訓(xùn)練2(2016北京)如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說(shuō)明理由(1)證明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，DC平面PAC.(2)證明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF.證明如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又E為AB的中點(diǎn)，EF為PAB的中位線(xiàn)，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.題型三空間中的平行、垂直綜合問(wèn)題例3(2015山東)如圖，三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)(1)求證：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH. 證明(1)方法一如圖，連接DG，設(shè)CDGFM，連接MH.在三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DFGC，DFGC，所以四邊形DFCG為平行四邊形則M為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.方法二在三棱臺(tái)DEFABC中，由BC2EF，H為BC的中點(diǎn)，可得BHEF，BHEF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，可得BEHF.在A(yíng)BC中，G為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，所以GHAB.又GHHFH，ABBEB，所以平面FGH平面ABED.又因?yàn)锽D平面ABED，所以BD平面FGH.(2)連接HE，因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點(diǎn)，所以EFHC，EFHC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.點(diǎn)評(píng)(1)立體幾何中，要證線(xiàn)垂直于線(xiàn)，常常先證線(xiàn)垂直于面，再用線(xiàn)垂直于面的性質(zhì)易得線(xiàn)垂直于線(xiàn)要證線(xiàn)平行于面，只需先證線(xiàn)平行于線(xiàn)，再用線(xiàn)平行于面的判定定理易得(2)證明立體幾何問(wèn)題，要緊密結(jié)合圖形，有時(shí)要利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，因此需要多畫(huà)出一些圖形輔助使用(3)平行關(guān)系往往用到三角形的中位線(xiàn)，垂直關(guān)系往往用到三角形的高線(xiàn)、中線(xiàn)變式訓(xùn)練3(2015北京)如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且ACBC，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)(1)求證：VB平面MOC；(2)求證：平面MOC平面VAB；(3)求三棱錐VABC的體積(1)證明因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)MVB，又因?yàn)閂B平面MOC，所以VB平面MOC.(2)證明因?yàn)锳CBC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)CAB.又因?yàn)槠矫鎂AB平面ABC，且OC平面ABC，所以O(shè)C平面VAB.又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以等邊三角形VAB的面積SVAB.又因?yàn)镺C平面VAB.所以VCVABOCSVAB，又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等，所以三棱錐VABC的體積為.高考題型精練1(2016浙江)已知互相垂直的平面，交于直線(xiàn)l.若直線(xiàn)m，n滿(mǎn)足m，n，則()AmlBmnCnlDmn答案C解析由已知，l，l，又n，nl，C正確故選C.2(2015安徽)已知m，n是兩條不同直線(xiàn)，是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A若，垂直于同一平面，則與平行B若m，n平行于同一平面，則m與n平行C若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線(xiàn)D若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面答案D解析對(duì)于A(yíng)，垂直于同一平面，關(guān)系不確定，故A錯(cuò)；對(duì)于B，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯(cuò)；對(duì)于C，不平行，但內(nèi)能找出平行于的直線(xiàn)，如中平行于，交線(xiàn)的直線(xiàn)平行于，故C錯(cuò)；對(duì)于D，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則mn，其逆否命題即為D選項(xiàng)，故D正確3已知，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)條件：存在一條直線(xiàn)a，a，a；存在一個(gè)平面，；存在兩條平行直線(xiàn)a，b，a，b，a，b；存在兩條異面直線(xiàn)a，b，a，b，a，b，可以推出的是()ABCD答案C解析對(duì)于，平面與還可以相交；對(duì)于，當(dāng)ab時(shí)，不一定能推出，所以是錯(cuò)誤的，易知正確，故選C.4如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，ACEFG.現(xiàn)在沿AE，EF，F(xiàn)A把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，則在四面體PAEF中必有()AAPPEF所在平面BAGPEF所在平面CEPAEF所在平面DPGAEF所在平面答案A解析在折疊過(guò)程中，ABBE，ADDF保持不變AP平面PEF.5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C與PM相交；NC與PM異面其中不正確的結(jié)論是()A B C D答案B解析作出過(guò)M，N，P，Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)R，如圖所示中的六邊形MNSPQR，顯然點(diǎn)A1，C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論不正確6下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形的序號(hào)是()ABCD答案B解析中易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB可得出AB平面MNP(如圖)中，NPAB，能得出AB平面MNP.7(教材改編)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為_(kāi)答案平行解析連接BD，設(shè)BDACO，連接EO，在BDD1中，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為BDD1的中位線(xiàn)，則BD1EO，而B(niǎo)D1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.8如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論中：PBAE；平面ABC平面PBC；直線(xiàn)BC平面PAE；PDA45.其中正確的有_(把所有正確的序號(hào)都填上)答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六邊形的性質(zhì)得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正確；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直線(xiàn)BC平面PAE也不成立，錯(cuò)；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正確9如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為_(kāi)答案異面垂直解析AO平面BB1C1C，AOB1C，又平面BB1C1C為菱形，B1CBO，B1C平面ABO，AB平面ABO，B1CAB.10如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿(mǎn)足_時(shí)，平面MBD平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC，答案不唯一)解析四邊形ABCD是菱形，ACBD，又PA平面ABCD，PABD，又ACPAA，BD平面PAC，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí)，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.11(2015江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1CBC1E.求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DEAC.又因?yàn)镈E平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因?yàn)槔庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因?yàn)锳C平面ABC，所以ACCC1.又因?yàn)锳CBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1平面BCC1B1，所以BC1AC.因?yàn)锽CCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因?yàn)锳C，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因?yàn)锳B1平面B1AC，所以BC1AB1.12(2016山東)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC，求證：ACFB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點(diǎn)，求證：GH平面ABC.證明(1)因?yàn)镋FDB，所以EF與DB確定平面BDEF，如圖，連接DE.因?yàn)锳EEC，D為AC的中點(diǎn)，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因?yàn)镕B平面BDEF，所以ACFB.(2)如圖，設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.在CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因?yàn)镚H平面GHI，所以GH平面ABC.