中考數(shù)學(xué) 第一部分 考點(diǎn)研究 第六章 圓 第二節(jié) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系試題

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第六章 圓 第二節(jié)　與圓有關(guān)的位置關(guān)系 玩轉(zhuǎn)廣東省卷6年中考真題（2011~2016） 命題點(diǎn)1　切線的性質(zhì)的相關(guān)計算(省卷6年2考) 1. (2011省卷9，4分)如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC.若∠A＝40，則∠C＝________． 第1題圖 命題點(diǎn)2　(省卷6年3考) 2. (2016省卷24，9分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30.過點(diǎn)B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點(diǎn)D，與半徑AO的延長線交于點(diǎn)E.過點(diǎn)A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點(diǎn)F. (1)求證：△ACF∽△DAE； (2)若S△AOC＝，求DE的長； (3)連接EF，求證：EF是⊙O的切線． 第2題圖 3. (2014省卷24，9分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長DO交⊙O于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長線于F點(diǎn)，連接PF. (1)若∠POC＝60，AC＝12，求劣弧的長；(結(jié)果保留π) (2)求證：OD＝OE； (3)求證：PF是⊙O的切線． 第3題圖 4. (2013省卷24，9分)如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90，弦BD＝BA，AB＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E. (1)求證：∠BCA＝∠BAD； (2)求DE的長； (3)求證：BE是⊙O的切線． 第4題圖 【拓展猜押】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD是直徑，AB＝AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE＝1，ED＝2，延長DB到點(diǎn)F，BF＝BO，連接FA. (1)求證：∠ABC＝∠D； (2)求AB的長； (3)求證：FA是⊙O的切線． 拓展猜押題圖 【新考法展示】 (2013茂名24題8分)如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)G，OA⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B的直線與CD的延長線交于點(diǎn)F，AC∥BF. (1)若∠FGB＝∠FBG，求證：BF是⊙O的切線； (2)若tan∠F＝，CD＝a，請用a表示⊙O的半徑； (3)求證：GF2－GB2＝DFGF. 新考法展示題圖 【答案】 1．25　【解析】如解圖，連接OB，∵AB為⊙O的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，∴∠OBA＝90，∵∠A＝40，∴∠BOA＝50，∴∠C＝25. 第1題解圖 2．(1)證明：∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAE＝∠ACF. ∵AF，BD是⊙O的切線， ∴∠OAF＝∠OBE＝90， 又∵∠BOE＝∠AOF， ∴∠AED＝∠AFC， ∴△ACF∽△DAE; …………………………(3分) (2)解：∵∠ABC＝30， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60， 又∵OA＝OC， ∴∠ACO＝60，△AOC是等邊三角形， ∵∠OBE＝90， ∴∠CBD＝90， 在Rt△DBC中，BD＝BCtan60＝2，……………………(4分) ∵S△AOC＝， ∴OA＝1， ∴BC＝2OA＝2， ∴AB＝BCcos∠ABC＝.………………………………(5分) ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝30， ∵∠BOE＝∠AOC＝60，∠OBE＝90， ∴∠BEO＝30，∠BAE＝∠AEB＝30， ∴BE＝AB＝， ∴DE＝BD＋BE＝3；……………………………………(6分) (3)證明：如解圖，過點(diǎn)O作OM⊥EF于點(diǎn)M， 第2題解圖 在△OAF和△OBE中， ， ∴△OAF≌△OBE(ASA)，………………………………(7分) ∴OE＝OF， ∴∠OEF＝∠OFE＝∠AOC＝30， ∴∠AFO＝∠MFO＝30， 又∵OA⊥AF，OM⊥EF ∴OM＝OA， ∵OA為⊙O的半徑， ∴EF是⊙O的切線．……………………………………(9分) 3．(1)解：∵AC＝12， ∴OC＝6， ∵∠POC＝60， ∴劣弧的長為：＝＝2π；………………………(3分) (2)證明：在△OAD和△OPE中， ， ∴△OAD≌△OPE(AAS)，………………………………(5分) ∴OD＝OE；………………………………………………(6分) (3)證明：如解圖①，連接PC， 第3題解圖① ∵AC是直徑， ∴BC⊥AB. 又∵OD⊥AB， ∴PD∥BF， ∴∠OPC＝∠PCF，∠ODE＝∠CFE，………………………(7分) 由(2)知OD＝OE，則∠ODE＝∠OED， 又∵∠OED＝∠FEC， ∴∠FEC＝∠CFE， ∴EC＝FC， ∵OP＝OC， ∴∠OPC＝∠OCP， ∴∠PCE＝∠PCF. 在△PCE和△PCF中， ， ∴△PCE≌△PCF(SAS)， ∴∠PFC＝∠PEC＝90. 又∵PD∥BF， ∴∠OPF＝90，即OP⊥PF， ∵OP為⊙O的半徑， ∴PF是⊙O的切線．………………………………………(9分) 【一題多解】如解圖②，延長OD交⊙O于點(diǎn)M，連接MC，連接O與BC的中點(diǎn)N. …………………………………………(7分) 第3題解圖② ∵OM＝OC，OD＝OE， ∴＝， ∴DE∥MC， ∵BC⊥AB，OD⊥AB， ∴BF∥MD， ∴四邊形DMCF是平行四邊形， ∴CF＝MD. ∵OD是△ABC的中位線， ∴OD＝CN＝BN＝BC. ∵OP＝OD＋DM， ∴OP＝CN＋CF＝FN， ∴四邊形ONFP是平行四邊形． ∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)， ∴ON∥AB， ∴∠ONC＝∠ABC＝90， ∴四邊形ONFP是矩形． ∴∠OPF＝90，即OP⊥PF， ∵OP為⊙O的半徑， ∴PF是⊙O的切線．……………………………………(9分) 4．(1)證明：∵BD＝BA， ∴∠BDA＝∠BAD. 又∵∠BDA＝∠BCA， ∴∠BCA＝∠BAD; ………………………………………(3分) (2)解：∵AC是⊙O的直徑， ∴∠CBA＝90. 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC＝＝＝13， ∵∠CBA＝∠E＝90， ∠BDC＝∠BAC， ∴△ACB∽△DBE， ∴＝， ∴DE＝＝；……………………………………(6分) (3)證明：如解圖，連接OB，則OB＝OC， 第4題解圖 ∴∠OBC＝∠OCB， ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180， 又∵∠BCE＋∠BCD＝180， ∴∠BCE＝∠BAD， 由(1)知∠BCA＝∠BAD， ∴∠BCE＝∠BCA， 又∵∠BCA＝∠OBC， ∴∠BCE＝∠OBC， ∴OB∥DE. ∵BE⊥DE， ∴OB⊥BE， ∵OB為⊙O的半徑， ∴BE是⊙O的切線. ………………………………………(9分) 【拓展猜押】　(1)證明：∵AB＝AC， ∴＝， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠ACB＝∠D， ∴∠ABC＝∠D； (2)解：∵∠ABC＝∠D，∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴＝， 又∵AE＝1，AD＝AE＋ED＝1＋2＝3， ∴AB2＝ADAE＝31＝3， ∴AB＝； (3)證明：∵BD是⊙O的直徑， ∴∠BAD＝90， ∴在△ABD中，BD＝＝＝2， ∴OB＝， 如解圖，連接OA，在△FOA中， 拓展猜押題解圖 ∵BF＝BO＝AB＝， ∴AB＝FO， 由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得，∠FAO＝90， 即FA⊥AO， ∵AO為⊙O的半徑， ∴FA是⊙O的切線． 【新考法展示】　 (1)證明：∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，…………………………………………(1分) ∵OA⊥CD， ∴∠OAB＋∠AGE＝90， ∴∠OBA＋∠AGE＝90， 又∵∠FGB＝∠FBG，∠FGB＝∠AGE， ∴∠FBG＝∠AGE， ∴∠OBA＋∠FBG＝90， 即OB⊥FB， 又∵OB為⊙O的半徑， ∴BF是⊙O的切線；…………………………(3分) (2)解：∵OA⊥CD，CD＝a， ∴CE＝CD＝， ∵AC∥BF， ∴∠ACE＝∠F， ∴tan∠ACE＝tan∠F＝.…………………………(4分) 在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝， ∴AE＝CE＝. 如解圖，連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝ r－， 新考法展示題解圖 在Rt△OCE中，(r－)2＋()2＝r2， 解得r＝， ∴⊙O的半徑為；…………………………(5分) (3)證明：如解圖，連接BD. ∵AC∥BF， ∴∠F＝∠ACD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD＝∠F， 又∵∠DGB＝∠BGF， ∴△DGB∽△BGF，…………………………(7分) ∴＝， ∴GB2＝GDGF＝(GF－DF)GF＝GF2－DFGF， ∴GF2－GB2＝DFGF. …………………………(8分)