中考數(shù)學命題研究 第一編 教材知識梳理篇 第七章 圓 第三節(jié) 正多邊形與圓有關的計算（精講）試題

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第三節(jié) 正多邊形與圓有關的計算 ,貴陽五年中考命題規(guī)律) 年份 題型 題號 考查點 考查內(nèi)容 分值 總分 2016 選擇 8 正多邊形與圓 已知圓內(nèi)接等邊三角形邊長求圓的半徑 3 解答 23(3) 與圓有關 的面積計算 在圓中求由線段和弧圍成的區(qū)域面積 3 6 2015 填空 12 正多邊形與圓 以圓內(nèi)接正方形為背景，求圓的面積 4 解答 23 求陰影部分面積 利用垂徑定理，結合直角三角形性質，求陰影部分面積 10 14 2014 解答 23 求陰影部分面積 利用切線的性質，(1)求角的度數(shù)；(2)證線段相等；(3)求陰影部分面積 10 10 2013 解答 22 求陰影部分面積 利用圓的有關性質，求陰影部分面積 10 10 2012 解答 23 求陰影部分面積 利用切線的性質，求陰影部分面積 10 10 命題規(guī)律 縱觀貴陽市5年中考，本節(jié)內(nèi)容為必考內(nèi)容，題型為解答題，基本固定在22、23題，分值為10分． 命題預測 預計2017年貴陽市中考，求陰影部分面積仍是重點考查內(nèi)容，題型為解答題，應加強對該題型的訓練力度. ,貴陽五年中考真題及模擬) 正多邊形與圓的相關計算(2次) 1．(2016貴陽8題3分)小穎同學在手工制作中，把一個邊長為12 cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上，若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上，則圓的半徑為( B ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 2．(2016適應性考試)用一枚直徑為25 mm的硬幣完全覆蓋一個正六邊形，則這個正六邊形的最大邊長是( A ) A. mm B. mm C. mm D. mm 3．(2015貴陽12題4分)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，若正方形的面積等于4，則⊙O的面積等于__2π__． 求陰影部分面積(5次) 4．(2015貴陽23題10分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)O⊥AB，垂足為點O，連接AF并延長交⊙O于點D，連接OD交BC于點E，∠B＝30，F(xiàn)O＝2. (1)求AC的長度； (2)求圖中陰影部分的面積．(計算結果保留根號) 解：(1)∵OF⊥AB，∴∠BOF＝90，∵∠B＝30，F(xiàn)O＝2，∴OB＝6，AB＝2OB＝12.又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90，∴AC＝AB＝6； (2)如圖，由(1)可知AB＝12，∴AO＝6，即AC＝AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，AF＝AF，AC＝AO，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO＝∠FAC＝30，∴∠DOB＝60.過點D作DG⊥AB于點G，∵OD＝6，∴DG＝3，∴S△ACF＋S△FOD＝S△AOD＝63＝9，即S陰影＝9. 5．(2014貴陽23題10分)如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∠APB＝60，連接AO，BO. (1)所對的圓心角∠AOB＝__120__； (2)求證：PA＝PB； (3)若OA＝3，求陰影部分的面積． 解：(2)連接OP，∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90.∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△PAO≌Rt△PBO，∴PA＝PB；(3)由(2)得，Rt△PAO≌Rt△PBO，∴∠APO＝∠BPO＝30，在Rt△OAP中，OA＝3，∴AP＝3，∴S△APO＝33＝，∴S陰影＝2S△APO－S扇形AOB＝2－＝9－3π. 6．(2013貴陽22題10分)已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE，OF分別交AB于點E，F(xiàn)，OF的延長線交⊙O于點D，且AE＝BF，∠EOF＝60. (1)求證：△OEF是等邊三角形； (2)當AE＝OE時，求陰影部分的面積．(結果保留根號和π) 解：(1)提示：作OC⊥AB于點C，易得△OEF是等邊三角形；(2)易求OF＝，∴S△AOF＝10＝，S扇形AOD＝25π，∴S陰＝S扇形AOD－S△AOF＝25π－. 7．(2012貴陽23題10分)如圖，在⊙O中，直徑AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45，則 (1)BD的長是____； (2)求陰影部分的面積． 解：連接OD，AD，易得OD是△ABC的中位線，∴OD＝1，∴OD⊥AB，∴＝，∴與弦BD組成的弓形的面積等于與弦AD組成的弓形的面積，∴S陰＝S△ABC－S△ABD＝22－21＝1. 8．(2016貴陽23題3分)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB＝8. (1)利用尺規(guī)，作∠CAB的平分線，交⊙O于點D；(保留作圖痕跡，不寫作法) (2)在(1)的條件下，連接CD，OD，若AC＝CD，求∠B的度數(shù)； (3)在(2)的條件下，OD交BC于點E，求由線段ED，BE，所圍成區(qū)域的面積．(其中表示劣弧，結果保留π和根號) 解：(1)如圖所示，AP即為所求的∠CAB的平分線；(2)∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B，∴∠CAD＝∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90，∴∠CAB＋∠B＝90，∴3∠B＝90，∴∠B＝30；(3)由(2)知：∠DAB＝30，又∵∠DOB＝2∠DAB，∴∠BOD＝60，∴∠OEB＝90，在Rt△OEB中，OE＝OB＝2，∴BE＝＝＝2，∴S扇形BOD＝＝，S△OEB＝22＝2，S所圍成區(qū)域的面積＝π－2. ,中考考點清單) 圓的弧長及扇形面積公式(高頻考點) 1．如果圓的半徑是R，弧所對的圓心角度數(shù)是n，那么 弧長公式 弧長l＝①____ 扇形面積公式 S扇＝＝②__lR__ 正多邊形與圓 2. 如果正多邊形的邊數(shù)為n，外接圓半徑為R，那么 邊長an＝③__2Rsin__ 周長C＝④__2nRsin__ 邊心距rn＝⑤__Rcos__ ,中考重難點突破) 弧長與扇形面積的計算 【例1】(2016遵義中考)如圖，半圓的圓心為O，直徑AB的長為12，C為半圓上一點，∠CAB＝30，的長是( ) A．12π B．6π C．5π D．4π 【解析】根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝2∠CAB＝230＝60，所以∠COA＝180－60＝120.又由弧長公式可得：l＝π＝4π. 【學生解答】D 1．(2016包頭中考)120的圓心角所對的弧長是6π，則此弧所在圓的半徑是( C ) A．3 B．4 C．9 D．18 2．(2016宜賓中考)半徑為6，圓心角為120的扇形的面積是( D ) A．3π B．6π C．9π D．12π 3．(2016株洲中考)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為3的圓O，則劣弧AB的長度為__π__． ,(第3題圖)) ,(第4題圖)) 4．(2016臺州中考)如圖，△ABC的外接圓O的半徑為2，∠C＝40，則弧AB的長是__π__． 求陰影部分面積 【例2】(2016棗莊中考)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30，CD＝2，則陰影部分的面積為( ) A．2π B．π C. D. 【解析】設CD與AB的交點為E，連接AD，根據(jù)垂徑定理可得：△OCE≌△ODE.所以S△OCE＝S△ODE，所以圖中陰影部分的面積即為扇形OBD的面積，因為∠CDB＝30，所以∠BOD＝∠COB＝60，解直角三角形可得：OD＝OC＝2，所以S扇形ODB＝π22＝π.即圖中陰影部分面積． 【學生解答】D 5．(2016廣安中考)如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD＝30，CD＝4，則S陰影等于( B ) A．2π B.π C.π D.π ,(第5題圖)) ,(第6題圖)) 6．(2016安順中考)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，先以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，再以AB邊的中點為圓心，AB長的一半為半徑畫弧，則陰影部分的面積是__2π__．(結果保留π) 7．(2016淮安中考)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90，點O在邊AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過點C，過點C作直線MN，使∠BCM＝2∠A. (1)判斷直線MN與⊙O的位置關系，說明理由； (2)若OA＝4，∠BCM＝60，求圖中陰影部分的面積． 解：(1)NM與⊙O相切，連接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOC＝∠OAC＋∠OCA＝2∠A.∵∠BCM＝2∠A，∴∠BOC＝∠BCM.又∵∠B＝90，∴∠BOC＋∠BCO＝90，∴∠BCO＋∠BCM＝90，∴直線MN與⊙O相切；(2)S陰＝S扇形OAC－S△OAC＝－42＝－4. 8．(2016梅州中考)如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120. (1)求證：CD是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積． 解：(1)連接OC.∵AC＝CD，∠ACD＝120，∴∠CAD＝∠D＝30.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAD＝30，∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝90，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切線；(2)由(1)知∠ACO＝∠CAD＝30，∴∠COD＝60，∴S扇形BOC＝＝.在Rt△OCD中，∵tan60＝，OC＝2，∴CD＝2，∴SRt△OCD＝OCCD＝22＝2，∴圖中陰影部分的面積為S陰影＝2－.