matlab解線性方程組.ppt

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第一講,矩陣和線性方程組,一、數(shù)學(xué)理論復(fù)習(xí),1、線性方程組,記為Ax=b其中A=(aij)mnx=(x1,xn),b=(b1,bm),若秩(A)秩(A,b)，則無解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)n,存在無窮多解；通解是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系與Ax=b的一個(gè)特解之和。,對(duì)于線性方程組Ax=b：,Ax=0稱為齊次的線性方程組,高斯消元法,對(duì)于線性方程組Ax=b,其中U是行簡(jiǎn)化階梯形矩陣,(1)階梯形矩陣(2)每行首個(gè)非零元素為1,并且該1所在列其它元素都為0,2、逆矩陣,方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使AB=BA=E，記B=A-1方陣A可逆的充分必要條件:A0,求逆矩陣方法：,A-1=A*/|A|這里A*為A的伴隨矩陣,（AE）行變換,（EA-1）,3、特征值與特征向量,對(duì)于方陣A，若存在數(shù)和非零向量x使Ax=x，則稱為A的一個(gè)特征值，x為A的一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。,特征值計(jì)算歸結(jié)為:特征多項(xiàng)式|A-E|=0的求根。對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量是齊次線性方程組(A-E)x=0的所有非零解,二、使用MATLAB,det方陣的行列式diag對(duì)角陣inv方陣的逆cond方陣的條件數(shù)trace方陣的跡orth正交規(guī)范化rank矩陣的秩null求基礎(chǔ)解系rref矩陣的行最簡(jiǎn)形eig特征值與特征向量jordan約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解norm矩陣或向量范數(shù),1、特殊矩陣生成zeros(m,n)生成m行n列的零矩陣;ones(m,n)生成m行n列的元素全為1的陣;eye(n)生成n階單位矩陣;當(dāng)A是矩陣,diag(A)返回A的對(duì)角線元素構(gòu)成的向量;當(dāng)X是向量,diag(X)返回由X的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣；,rand(m,n)生成m行n列0,1上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣；linspace(x1,x2,n)生成x1與x2間的n維等距行向量,即將x1,x2n-1等分。,2、行列式和逆矩陣det(A)返回方陣A的行列式;inv(A)返回A的逆矩陣。,3、矩陣除法,左除法AB求解矩陣方程AX=B右除法B/A求解矩陣方程XA=B,(1)當(dāng)A為方陣，AB與inv(A)*B基本一致：(2)當(dāng)A不是方陣，除法將自動(dòng)檢測(cè)。若方程組無解,除法給出最小二乘意義上的近似解，即使向量AXB的長(zhǎng)度達(dá)到最小；若方程組有無窮多解，除法將給出一個(gè)具有最多零元素的特解；若為唯一解，除法將給出解。,4、特征值和特征向量,D=eig(A)返回方陣A的特征值構(gòu)成的列向量；V,D=eig(A)返回方陣A的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣D和每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量按列構(gòu)成的矩陣V。其中每個(gè)特征向量都是模等于1的向量，并且屬于同一特征值的線性無關(guān)特征向量已正交化。,例1解下列方程組,A=12;3-2;B=1;4;x=AB求得唯一解,A=121;3-21;B=1;4;x=AB求得一特解,A=12;3-2;1-1;B=1;4;2;x=AB求得一最小二乘近似解,A=12;-2-4;B=1;-2;x=AB不能直接求解,A=12;-2-4;00;B=1;-2;0;x=AB仍可求一近似特解,增加方程0 x+0y=0,例2線性方程組的通解,解在無窮多解情況下可用三種方法求通解，用rref化為行最簡(jiǎn)形以后求解；用除法求出一個(gè)特解，再用null求得一個(gè)齊次組的基礎(chǔ)解系；用符號(hào)工具箱中的solve求解。,a=1-11-1;-111-1;2-2-11;b=1;1;-1;r=rank(a),rank(a,b);x0=ab,xx=null(a);%x0為一特解,xx為對(duì)應(yīng)齊次組的基礎(chǔ)解系,運(yùn)行后得:,r=(2,2)說明系數(shù)矩陣秩和增廣矩陣秩相等,自由未知量為4-2=2個(gè),方法一:,方程組的解=特解+對(duì)應(yīng)齊次組的通解,其中c1和c2為任意實(shí)數(shù),結(jié)果為:,a=1-11-1;-111-1;2-2-11;b=1;1;-1;r=rank(a),rank(a,b);t=rref(a,b);%此時(shí)得出一個(gè)行簡(jiǎn)化階梯形矩陣,解法二:,運(yùn)行后得:,從而知原方程組等價(jià)于,虛線為等號(hào),結(jié)果為:,其中c1和c2為任意實(shí)數(shù),例3判定下列線性方程組是否有解?若有解,求出其解,a=2-23;-11-2;1-11;b=5;3;4;r1=rank(a);r2=rank(a,b),r1r2,無解,唯一解,(2)a=2-23;-11-2;2-31;b=5;3;0;r1=rank(a);r2=rank(a,b),r1=r2=3,x=ab,或x=inv(a)*b,(3)a=2-23;-11-2;1-11;b=5;3;8;r1=rank(a);r2=rank(a,b),r1=r2=23,x0=ab,x=null(a1)%運(yùn)行后得基礎(chǔ)解x=(0.7071,0.7071,0),無窮解,經(jīng)運(yùn)行發(fā)現(xiàn)無法解出x0因此給原方程組加一個(gè)方程0 x1+0 x2+0 x3=0,a1=2-23;-11-2;1-11;000;b1=5;3;8;0;x1=a1b1;%經(jīng)運(yùn)行后可得出一個(gè)特解x1=(0,-19,-11),結(jié)果為:,其中c為任意實(shí)數(shù),三、國(guó)民經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出分析,設(shè)有n個(gè)經(jīng)濟(jì)部門，xi為部門i的總產(chǎn)出，cij為部門j單位產(chǎn)品對(duì)部門i產(chǎn)品的消耗，di為外部對(duì)部門i的需求，fj為部門j新創(chuàng)造的價(jià)值。那么各經(jīng)濟(jì)部門總產(chǎn)出應(yīng)滿足下列關(guān)系式：,消耗平衡方程組,j=1,2,n,令C=（cij），X=(x1,xn),D=(d1,dn)，F(xiàn)=(f1,fn)則X=CX+D令A(yù)=EC，E為單位矩陣，則AX=D,C稱為直接消耗矩陣，A稱為列昂杰夫（Leontief）矩陣。,分配平衡方程組,i=1,2,n,Y=1,1,1B,Y表示各部門的總投入，稱為投入向量。,新創(chuàng)造價(jià)值向量F=XY,B=C,B表示各部門間的投入產(chǎn)出關(guān)系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。,四、實(shí)驗(yàn)例題,例4某地有三個(gè)產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi);生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi);創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi),鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)和0.10元的電費(fèi)，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對(duì)地方鐵路沒有需求。,解：這是一個(gè)投入產(chǎn)出分析問題。設(shè)x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值,x3為鐵路總產(chǎn)值,則,問三個(gè)企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界需求？三個(gè)企業(yè)間相互支付多少金額？三個(gè)企業(yè)各創(chuàng)造多少新價(jià)值?,直接消耗矩陣C=,外界需求向量D=,產(chǎn)出向量X=,則原方程為(E-C)X=D,投入產(chǎn)出矩陣為B=C*diag(X)總投入向量Y=ones(1,3)*B新創(chuàng)造價(jià)值向量F=X-Y,Matlab程序:,C=00.650.55;0.250.050.1;0.250.050;D=50000;25000;0;A=eye(3)-C;X=AD;%總產(chǎn)出矩陣向量B=C*diag(X);%投入產(chǎn)出矩陣Y=ones(1,3)*B;%總投入向量F=X-Y%新創(chuàng)造價(jià)值向量,投入產(chǎn)出分析表,例4（隱性病遺傳）染色體遺傳中，后代是從父母體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制，那么就有三種基因型，,上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因?qū)Φ母怕省?設(shè)金魚某種遺傳病染色體的正?；?yàn)锳，不正?；?yàn)閍,那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚，隱性患者，顯性患者。設(shè)初始分布為90%正常金魚，10%的隱性患者，無顯性患者。考慮下列兩種配種方案對(duì)后代該遺傳病基因型分布的影響,方案一：同類基因結(jié)合，均可繁殖；方案二：顯性患者不允許繁殖，隱性患者必須與正常金魚結(jié)合繁殖,解設(shè)初始分布X(1)=(0.90.10),第n代分布為X(n)=,A=,B=,則X(n)=An-1X(1)X(n)=Bn-1X(1)分別是兩種情況下第n代的基因型分布,AA,Aa,aa,Matlab程序:,方案一:,A=11/40;01/20;01/41;x=0.90.10;fori=2:20 x=A*x;endx20=x,方案二:,clear;B=11/20;01/20;000;y=0.90.10;fori=2:20y=B*y;endy20=y,運(yùn)行程序后得結(jié)果,x20=(0.9500,0.0000,0.0500),y20=(1.0000,0.0000,0.0000),可見按方案：很多代以后將出現(xiàn)5%的穩(wěn)定顯性患者,按方案：很多代以后顯性患者將趨于消失,方案體現(xiàn)了雜交的優(yōu)勢(shì),補(bǔ)充內(nèi)容,解的誤差分析,解的誤差分析,對(duì)于實(shí)際問題導(dǎo)出的方程組Ax=b,系數(shù)矩陣A與向量b往往帶有誤差（擾動(dòng)），下面討論A或b的微小變化對(duì)解x的影響。,解線性方程Ax=b,可得出解為,若方程右端變?yōu)?則方程的解變?yōu)?可見x對(duì)b的擾動(dòng)敏感,從圖可以看出，原方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線（紅與黑）交于（2，0）點(diǎn)，但由于兩直線幾近平行，所以當(dāng)?shù)诙€(gè)方程有微小變化（從2到2.01）時(shí)，交點(diǎn)變（1，1），變化很大。,對(duì)Ax=b，如果解x對(duì)b或A的擾動(dòng)敏感，就稱方程組是病態(tài)的，也稱系數(shù)矩陣A是病態(tài)的。,為了定量地估計(jì)x對(duì)b或A的擾動(dòng)敏感的程度,需要度量向量或矩陣“大小”的數(shù)量指標(biāo)。向量范數(shù)或矩陣范數(shù)正是這樣的指標(biāo)，它們分別用來表示。,向量范數(shù):設(shè),范數(shù)記作,常見的向量范數(shù)：,矩陣范數(shù):,A的條件數(shù)越大,(由b的擾動(dòng)引起的)x的誤差可能越大A的條件數(shù)越大,(由A的擾動(dòng)引起的)x的誤差越大x的(相對(duì))誤差不超過b的(相對(duì))誤差的Cond(A)倍,也大致上是A的(相對(duì))誤差的Cond(A)倍。條件數(shù)大的矩陣是病態(tài)矩陣,結(jié)論,