圓的標準方程教案

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第四章 圓與方程 4.1 圓的方程 4.1.1 圓的標準方程 教材分析 本節(jié)內容數(shù)學必修2 第四章 第一節(jié)的起始課，是在學習了直線的有關知識后學習的，圓是學生比較熟悉的曲線，在初中就已學過圓的定義．這節(jié)課主要是根據(jù)圓的定義，推出圓的標準方程，并會求圓的標準方程．本節(jié)課的教學重點是圓的標準方程的理解、掌握；難點是會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法，幾何法求圓的標準方程．通過本節(jié)課的學習培養(yǎng)學生用坐標法研究幾何問題的能力，使學生加深對數(shù)形結合思想和待定系數(shù)法的理解，增強學生的數(shù)學意識． 課時分配 本節(jié)內容用1課時的時間完成，主要講解圓的標準方程的推導和應用． 教學目標 重點: 圓的標準方程的理解、掌握． 難點：會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標準方程． 知識點：會求圓的標準方程. 能力點：根據(jù)不同的已知條件求圓的標準方程. 教育點：嘗試用代數(shù)方法解決幾何問題探究過程，體會數(shù)形結合、待定系數(shù)法的思想方法. 自主探究點：點與圓的位置關系的判斷方法. 考試點：會求圓的標準方程. 易錯易混點：不同的已知條件，如何恰當?shù)那髨A的標準方程. 拓展點：如何根據(jù)不同的條件，靈活適當?shù)剡x取恰當?shù)姆椒ㄇ髨A的標準方程． 教具準備 多媒體課件和三角板 課堂模式 學案導學 一、引入新課 問題 1：什么是圓？ 【設計意圖】回顧圓的定義便于問題2的回答． 【設計說明】學生回答． 問題2：在平面直角坐標系中，兩點確定一條直線，一點和傾斜角也可以確定一條直線，那么在什么條件下可以確定一個圓？ 【設計意圖】使學生在已有知識的基礎上，結合圓的定義回答出確定圓的兩個要素—圓心（定位）和半徑（定形）． 【設計說明】教師引導，學生回答． 問題3：直線可以用一個方程表示，圓也可以用一個方程來表示嗎？ 【設計意圖】使學生在已有知識和經驗的基礎上，探索新知，引出本課題． 【設計說明】教師指出建立圓的方程正是我們本節(jié)課要探究的問題． 二、探究新知 問題4：已知圓的圓心坐標為，半徑為（其中、、都是常數(shù)，），如何確定圓的方程？ 師：類比直線點斜式方程的推導方法，引導學生回答求曲線的方程的一般步驟． 師生：教師引導學生回答如何求曲線的方程． (1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?x，y)表示曲線上任意點M的坐標； (2)寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)|}； (3)用坐標表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0； (4)化方程f(x，y)=0為最簡形式； (5)說明化簡后的方程就是所求曲線的方程． 師：設M(x,y)是圓上任意一點，根據(jù)圓的定義如何建立x，y滿足的關系式？ y x O A M 生：利用兩點間的距離公式，寫出點M的坐標適合的條件． 師：如何進一步化簡上述關系式得出圓的方程？ 生：學生自己化簡得出圓的方程為． 【設計意圖】讓學生掌握圓的標準方程的推導方法． 【設計說明】學生自己化簡得出結論便于學生理解記憶． 三、理解新知 圓的標準方程：，其中圓心為，半徑為． 強調：熟記圓的標準方程的結構特點，并能觀察出圓心和半徑． 師：那么確定圓的標準方程需要幾個獨立條件？ 生：只要、、三個量確定了且，圓的方程就給定了． 師：圓心在原點圓的方程是什么？ 生： 【設計意圖】便于學生理解掌握圓的標準方程，為準確地運用新知，作必要的鋪墊． 【設計說明】學生自己歸納總結． 基礎檢測： 1. 圓的圓心A的坐標為______,半徑為________. 2. 圓的圓心,半徑是？ 【設計意圖】熟練掌握圓的標準方程與圓心坐標,半徑長的關系． 【設計說明】學生口答． 四、運用新知 例1.寫出圓心為,半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上． 分析：判斷圓心是否在圓上，可以從計算點到圓心的距離入手． 【設計意圖】圓的標準方程的直接應用，并會判斷點與圓的位置關系． 【設計說明】培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力和良好的解題習慣． 探究：怎樣判斷點在圓上？圓內？還是圓外？ 【設計意圖】學生自己探討發(fā)現(xiàn)點與圓的位置關系的判定方法，從而歸納出下列結論． （1），點在圓外 （2），點在圓上 （3），點在圓內 【設計說明】培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力 練習： 1.點與圓的位置關系（ ） Ａ．在圓外 Ｂ．在圓上 Ｃ．在圓內 Ｄ．在圓上或圓外 2.求經過點P(5，1)，圓心在點C(8，-3)的圓的標準方程． 3.求以點位圓心且與直線相切的圓的標準方程． 【設計意圖】根據(jù)圓心和半徑熟練寫出圓的標準方程． 【設計說明】學生爬黑板． 例2.的三個頂點的坐標是，求它的外接圓的方程． 師生共同分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓．從圓的標準方程 可知，要確定圓的標準方程，可用待定系數(shù)法確定三個參數(shù)． 解法一：設所求圓的方程是 (1) 因為都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程（1）．于是 所以，的外接圓的方程為 ． O x y L1 L2 M A B C D E 【設計意圖】掌握待定系數(shù)法求圓的標準方程． 【設計說明】學生自己運算解決． 師：除上述方法求圓的標準方程外還有沒有其它方法？ 師：教師畫圖引導． 生：學生討論發(fā)現(xiàn)，還可利用幾何法求的外接圓的方程． 師：確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小．那么如何確定圓心？ 生：學生探討發(fā)現(xiàn)：弦的垂直平分線與弦的垂直平分線的交點即為圓心． 師：如何確定半徑？ 生：圓心M與圓上任一點的距離即為半徑． 解法二：（師生共同完成） 因為，所以線段的中點的坐標為，直線的斜率， 因此線段的垂直平分線的方程是 ， 即 ， 同理可得線段的垂直平分線的方程是 ． 圓心的坐標是方程組 的解． 解此方程組，得 ， 所以圓心的坐標是． 圓心的圓的半徑長 ． 所以，的外接圓的方程為 ． 總結歸納：（教師啟發(fā)，學生自己比較、歸納）比較例2得出外接圓的標準方程的兩種求法： 方法一：代數(shù)法—待定系數(shù)法； 方法二：幾何法—數(shù)形結合． 【設計意圖】結合例2的理解，學生自己歸納出求任意三角形外接圓的標準方程的兩種方法，并比較兩種方法的優(yōu)劣． 【設計說明】學生自己歸納總結． 練習：課本第120頁，例3（不看課本，結合例2的理解，學生自己解決例3） A B C D O x y l 已知圓心為的圓經過點，且圓心在直線上，求圓心為的圓的標準方程．（給學生充分思考的時間，教師引導．） 師：本題求圓的標準方程，能否用上述兩種不同方法解決？ 生：學生畫圖思考． 師：找兩位同學分別用兩種不同的方法到黑板上解該題． 【設計意圖】結合對例2的理解，學生根據(jù)不同的條件，靈活適當?shù)剡x取恰當?shù)姆椒ㄇ髨A的標準方程，并比較兩種方法的優(yōu)劣． 【設計說明】學生爬黑板板書解題過程，以規(guī)范學生的解題步驟． 五、課堂小結 教師提問：本節(jié)課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學思想方法？學生作答： 1．知識：（1）圓的標準方程的結構特點． 　　 （2）點與圓的位置關系的判定． 　　　　 (3) 求圓的標準方程的方法： 　　　　　 ①待定系數(shù)法；②幾何法. 2．思想：數(shù)形結合的思想． 教師總結: 圓的標準方程的推導方法用到了前面學過的知識，提醒學生: 在學習新知時，也要經常復習前面學過的內容,“溫故而知新”．在應用中增強對知識的理解，及時查缺補漏,從而更好地運用知識,解題要有目的性，加強對數(shù)學知識、思想方法的認識與自覺運用． 【設計意圖】加強對學生學習方法的指導． 六、布置作業(yè) 1．書面作業(yè) 必做題： P124習題4.1 A組 第2，3，4題 選做題： P124習題4.1 A組 第5題 2．課外思考 圓的標準的方程形式是，該式展開后形式是什么？展開后的形式都表示圓嗎？ 【設計意圖】設計書面作業(yè)必做題，是引導學生先復習，再作業(yè)，培養(yǎng)學生良好的學習習慣.書面作業(yè)的布置，是為了讓學生能夠根據(jù)不同的條件，靈活適當?shù)剡x取恰當?shù)姆椒ㄇ髨A的標準方程；選做題是鼓勵學有余力的同學進一步加深本節(jié)內容的理解；課外思考的安排，是讓學生理解圓除了標準形式，還有一般形式，起讓學生課下探索發(fā)現(xiàn)、預習新課的作用． 七、教后反思 1.本教案的亮點是圓的標準方程的推導以及任意三角形外接圓的標準方程的兩種方法的得出，都是在學生已有的知識基礎上得到，不是生硬的拋出，而是水到渠成．例題也是變講為練，都是學生在獨立或小組討論中解決的，很好的調動學生的積極性與主動性，提高了學生的解題能力． 2.由于各校的情況不同，建議教師在使用本教案時靈活掌握，但必須在公式的推導過程上下足功夫． 3.本節(jié)課的弱項是課容量大，時間所限，在課堂上沒有充分暴露學生的思維過程，感覺一節(jié)課下來比較緊，學生理解不透徹． 八、板書設計 4.1.1 圓的標準方程 一、知識點 1．圓的標準方程： 其中圓心為A(a,b)，半徑為r． 強調：（1）熟記圓的標準方程的結構特點； （2）確定圓的標準方程的三個獨立條件 —a，b，r； （3）特別地，圓心在原點圓的方程是 2．點與圓的位置關系的判定方法： （1），點在圓外 （2），點在圓上 （3），點在圓內 二、應用 例1.寫出圓心為,半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上． 練習：1． 2． 3． 例2.的三個頂點的坐標是，求它的外接圓的方程． 解法一：設所求圓的方程是 (1) 因為都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程（1）．于是 所以，的外接圓的方程為． 解法二： 因為，所以線段的中點的坐標為，直線的斜率， 因此線段的垂直平分線的方程是 ， 即 ， 同理可得線段的垂直平分線的方程是 ． 圓心的坐標是方程組 的解． 解此方程組，得 ， 所以圓心的坐標是． 圓心的圓的半徑長 ． 所以，的外接圓的方程為 ． 課堂小結： 練習：課本第120頁，例3 7