備戰(zhàn)2014高考數(shù)學(xué)真題集錦：《三角化簡與求值》.doc

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2.【2010新課標(biāo)全國理】如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0（，-），角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像大致為 【答案】C 【解析】通過分析可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到x軸距離d為，于是可以排除答案A,D，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在x軸上此時(shí)點(diǎn)到x軸距離d為0,排除答案B，應(yīng)選C. 命題意圖：本題的求解可以利用排除法，根據(jù)某具體時(shí)刻點(diǎn)的位置到到x軸距離來確定答案.本題也可以借助解析式來處理. 3.【2010新課標(biāo)全國理】若，是第三象限的角，則 (A) (B) (C) 2 (D) -2 【命題意圖猜想】 1. 三角函數(shù)的化簡、求值及最值問題，主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半、和積互化公式在求三角函數(shù)值時(shí)的應(yīng)用，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能，以及基本運(yùn)算的能力，特別突出算理方法的考查． 2.2011年的試題主要考查三角函數(shù)的概念、二倍角的余弦公式．2010年試題主要考查三角恒等變換中的倍角公式的靈活運(yùn)用、同角的三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力. 通過這兩年試題來看，二倍角公式是必考的內(nèi)容，是一個(gè)核心.2012年因?yàn)榭疾榱艘坏廊呛瘮?shù)的解答題，故小題中沒有涉及三角化簡求值，而是命制了一道三角函數(shù)的性質(zhì)的題目，預(yù)測2013年高考題會(huì)考查三角函數(shù)的化簡與求值，但是題目難度為中低檔，且很有可能與三角函數(shù)的定義聯(lián)系到一起. 3.從近幾年的高考試題來看，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱，利用誘導(dǎo)公式、和差角公式及二倍角公式改變角的恒等變換是高考的熱點(diǎn)，常與三角函數(shù)式的求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量等知識(shí)綜合考查，既有選擇題、填空題，又有解答題，屬中低檔題． 【最新考綱解讀】 1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念． (2)了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化． 2．和與差的三角函數(shù)公式 (1)會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式． (2)能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式． (3)能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系． 3．簡單的三角恒等變換 能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶)． 【回歸課本整合】 一．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式 1.對(duì)于形如即滿足中取偶數(shù)時(shí)：等于角的同名三角函數(shù)，前面加上一個(gè)把看成是銳角時(shí)，該角所在象限的符號(hào)； 2.對(duì)于形如即滿足中取奇數(shù)時(shí)：等于角的余名三角函數(shù)，前面加上一個(gè)把看成是銳角時(shí)，該角所在象限的符號(hào). 3.口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角）. 4.運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化角的一般步驟： (1)負(fù)化正：當(dāng)已知角為負(fù)角時(shí)，先利用負(fù)角的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)值； (2)正化負(fù)：當(dāng)已知角是大于的角時(shí)，可用的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)值化為主區(qū)間內(nèi)的三角函數(shù)值； (3)主化銳：當(dāng)已知角是到內(nèi)的角時(shí)，可利用的誘導(dǎo)公式把這個(gè)角的三角函數(shù)值化為到內(nèi)的角. 二． 兩角和與差的三角函數(shù)公式 1. 兩角和與差的正弦公式：. 變形式： ； 2.兩角和與差的余弦公式： 變形式：； ； 3．兩角和與差的正切公式：. 變形式：. 注意：運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn). 三．二倍角公式的正弦、余弦、正切 1.二倍角的正弦公式:； 二倍角的余弦公式:； 二倍角的正切公式: . 2. 降冪公式：；；. 3.升冪公式：;;. 注意：在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換. 【方法技巧提煉】 1. 正、余弦三兄妹“、”的應(yīng)用 與通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起，即， 因此在解題中若發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件有三者之一，就可以利用上述關(guān)系求出或轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè). 2.如何利用“切弦互化”技巧 （1）弦化切：把正弦、余弦化成切得結(jié)構(gòu)形式，這樣減少了變量，統(tǒng)一為“切”得表達(dá)式，進(jìn)行求值. 常見的結(jié)構(gòu)有: ① 的二次齊次式（如）的問題常采用“”代換法求解； ②的齊次分式（如）的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形． （2）切化弦：利用公式，把式子中的切化成弦.一般單獨(dú)出現(xiàn)正切、余切的時(shí)候，采用此技巧. 3.三角函數(shù)的化簡、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路 基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心.第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).基本的技巧有: （1）巧變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，，，，等. (2)三角函數(shù)名互化：切割化弦，弦的齊次結(jié)構(gòu)化成切. (3)公式變形使用：如 (4)三角函數(shù)次數(shù)的降升：降冪公式與升冪公式. (5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化. (6)常值變換主要指“1”的變換：等. （7）輔助角公式： (其中角所在的象限由的符號(hào)確定，的值由 確定.在求最值、化簡時(shí)起著重要作用,這里只要掌握輔助角為特殊角的情況即可. 如等. 【考場經(jīng)驗(yàn)分享】 1．在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)．|OP|＝r一定是正值． 2．同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍判斷符號(hào)，正確取舍． 3．使用誘導(dǎo)公式時(shí)一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似kπα(k∈Z)的形式時(shí)，需要對(duì)k的取值進(jìn)行分類討論，從而確定三角函數(shù)值的正負(fù)． 4.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角為：對(duì)角的拆分要盡可能化為同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡、證明問題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危? 5.本熱點(diǎn)一般難度不大，屬于得全分的題目，一般放在選擇題的中間位置.但是因題目解法的靈活性造成在緊張的考試氛圍里面，容易一時(shí)的思路堵塞，需冷靜處理.如果一時(shí)想不到化簡的方向，可暫且放一放，不要鉆牛角尖，否則可能造成心理負(fù)擔(dān)，情緒受到影響.因新課標(biāo)高考對(duì)這個(gè)熱點(diǎn)考查難度已經(jīng)降低，同學(xué)們應(yīng)有必勝的信心. 【新題預(yù)測演練】 1.【2013河北省名校名師俱樂部高三3月模擬考試】 已知，，則（ ） A． B． C． D． 2.【廣東省華南師大附中2012-2013學(xué)年度高三第三次月考】設(shè)，，則的值（　?。? （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由，，不妨在角的終邊上取點(diǎn)，則，于是由定義可得，，所以，故選A． 3.【四川省綿陽南山中學(xué)高2013級(jí)第五期零診考試】若點(diǎn)P(3，y)是角α終邊上的一點(diǎn)，且滿足y<0，cosα＝，則tanα＝(　) A．- B. C. D. - 【答案】D　 【解析】 cosα＝＝，∴y2＝16.∵y<0，∴y＝－4，∴tanα＝－. 4. [2012-2013學(xué)年云南省昆明市高三（上）摸底調(diào)研測試]已知，則sin2x的值為（　?。? 　 A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】∵sin（x﹣）=（sinx﹣cosx）=， ∴sinx﹣cosx=， 兩邊平方得：（sinx﹣cosx）2=sin2x﹣2sinxcosx+cos2x=1﹣sin2x=， 則sin2x=． 故選B 6.【山東省煙臺(tái)市2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期模塊檢測】已知，，則等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知 故選B. 7. 【天津一中2012-2013學(xué)年高三年級(jí)一月考】函數(shù)的最小值和最大值分別為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，選C. 8.【河北省唐山市2012-2013學(xué)年度高三年級(jí)摸底考試】若tanθ=2，則cos2θ＝ （A）　?。˙）－　?。–）　?。―）－[ 【答案】D 【解析】 9.【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2013屆高三第二次診斷性測試】已知，且，則等于 A. B. C. D. 10.【重慶市部分重點(diǎn)中學(xué)2012—2013年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】 當(dāng)0＜x＜時(shí),函數(shù)的最小值為 A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】 ． ∵0＜x＜,∴tanx＞0． ∴． 當(dāng)時(shí),f(x)min=4．故選C． 11.【江西省2013屆百所重點(diǎn)高中階段性診斷考試】 已知，則等于 A. B. C. D. 13.【山東省泰安市2013屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)】已知，則等于 A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】由得，所以，即，所以，所以，所以，選A. 14.【2012-2013學(xué)年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】若，則的值是（　?。? 　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵sin2θ+cos2θ=1， ∴便得出方程組 解這個(gè)關(guān)于sinθ與cosθ的2元2次方程組， ∴．所以tanθ=1． 故有． 答案：B． 15.【天津市新華中學(xué)2011-2012學(xué)年度第一學(xué)期第二次月考】 已知，則_____________________. 16.【天津一中2012-2013學(xué)年高三年級(jí)一月考】已知，sin()=－ sin則cos=________. 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以，所以，?又，所以，即.又. 17.【四川省成都市2013屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測】已知角,構(gòu)成公差為的等差數(shù)列.若， 則=__________. 18.【安徽省皖南八校2013屆高三第二次聯(lián)考】 已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,- 6),且tan a= ,則x的值為 ____. 【答案】10 【解析】根據(jù)題意，所以 19.【江蘇省南通市2013屆高三第二次調(diào)研測試】設(shè)，且．則的值為 ． 【答案】 【解析】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的恒等變換等. 法一：由得，，， 由，，所以. =. 法二：由得，，由法一可知，，. . 法三：由，得，，= . 20.【2013屆貴州天柱民中、錦屏中學(xué)、黎平一中、黃平民中四校聯(lián)考】已知 。 【答案】 【解析】因?yàn)樗?，，，即，又，?lián)立解得，所以 22.【2012-2013學(xué)年江西省南昌市調(diào)研考試】（本小題滿分12分） 已知且，求. 【解析】：因?yàn)?，所以，………………………………?分 又，所以，…………8分 ………………11分 ……………………………………………………………12分 23.【廣東省潮州市2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測】（本小題共12分）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的值的集合； （2）若，求的值． 24.【北京市房山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的定義域； （Ⅱ）若，求的值. （Ⅰ）由 ………………1分 得 ………………3分 所以函數(shù)的定義域?yàn)? ……………4分 （Ⅱ） 25.【北京市豐臺(tái)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末理】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)． （Ⅰ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，求的值； （Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值. 解：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的定義得， ， ． ………………………………………………………2分 ∵的終邊在第一象限，∴． ……………………………………………3分 ∵的終邊在第二象限，∴ ．………………………………………4分 ∴==+=．……………7分 （Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||, ……………………………………9分 又∵，…………………11分