河北保定易縣中學(xué)2017屆高三上學(xué)期周考數(shù)學(xué)(理)試卷(三)解析版.doc

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河北保定易縣中學(xué)2017屆高三上學(xué)期周考數(shù)學(xué)（理）試卷（三）解析版 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．已知集合U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x2﹣1≥0}則A∩（?UB）=（　?。? A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1|} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤1} 2．設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若z=1﹣i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)+z2+|z|在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=An2+Bn，且a1=1，a2=3，則a2017=（　?。? A．4031 B．4032 C．4033 D．4034 4．在正三角形△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到A，B，C的距離都大于該三角形邊長(zhǎng)一半的概率為（　?。? A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣ 5．已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f（﹣|x|）的圖象為（　?。? A． B． C． D． 6．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。? A．2 B．4 C．6 D．12 7．已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60，則雙曲線的離心率為（　　） A． B．2 C． D． 8．已知向量=（1，x﹣1），=（y，2），若向量，同向，則x+y的最小值為（　?。? A． B．2 C．2 D．2+1 9．程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出n的值是（　?。? A．4 B．2 C．1 D．2017 10．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則BM與AN所成角的余弦值為（　　） A． B． C． D． 11．設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）與直線y=x相交于M，N兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線MP，NP斜率之積為﹣，則橢圓離心率為（　?。? A． B． C． D． 12．已知ω＞0，在函數(shù)y=4sinωx與y=4cosωx的圖象的交點(diǎn)中，距離最近的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為6，則ω的值為（　?。? A． B． C． D． 　 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 13．若向量=（0，1），||=||， ?=，則||=　?。? 14．（x﹣）4（x﹣2）的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為　?。? 15．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q=2，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，記Tn=（n∈N*），則數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為　?。? 16．函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣1，且0≤f（1）≤1，﹣2≤f（﹣1）≤0，則z=的取值范圍是　?。? 　 三、解答題（共5小題，滿分60分） 17．已知函數(shù)f（x）=（m+2cos2x）?cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且f（）=0，其中m∈R，θ∈（0，π） （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間 （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且f（+）=﹣，c=1，ab=2，求△ABC的周長(zhǎng)． 18．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，AE⊥PC于點(diǎn)E，EF∥CD，交PD于點(diǎn)F （Ⅰ）證明：平面ADE⊥平面PBC （Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣F的余弦值． 19．在某校組織的“共筑中國(guó)夢(mèng)”競(jìng)賽活動(dòng)中，甲、乙兩班各有6名選手參賽，在第一輪筆試環(huán)節(jié)中，評(píng)委將他們的筆試成績(jī)作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成如圖所示的莖葉圖，為了增加結(jié)果的神秘感，主持人故意沒(méi)有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績(jī)，只是告訴大家，如果某位選手的成績(jī)高于90分（不含90分），則直接“晉級(jí)”（Ⅰ）求乙班總分超過(guò)甲班的概率 （Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位選手的得分是90分，乙班第六位選手的得分是97分 ①請(qǐng)你從平均分光和方差的角度來(lái)分析兩個(gè)班的選手的情況； ②主持人從甲乙兩班所有選手成績(jī)中分別隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽取到“晉級(jí)”選手的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 20．已知M是直線l：x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0），過(guò)M的直線l′與l垂直，并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)N （Ⅰ）求點(diǎn)N的軌跡C的方程 （Ⅱ）設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），直線AP與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B（B與A′不重合），直線P′H⊥A′B，垂足為H，是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得|QH|為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 21．已知函數(shù)f（x）=+lnx﹣3有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2） （Ⅰ）求證：0＜a＜e2 （Ⅱ）求證：x1+x2＞2a． 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22．已知曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）． （Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)是M，N是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值． 　 [選修4-5：不等式選講] 23．已知函數(shù)f（x）=|x﹣m|（m＞0），g（x）=2f（x）﹣f（x+m），g（x）的最小值為﹣1． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，且a≠0．求證：f（ab）＞|a|f（）． 　  參考答案 　 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．已知集合U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x2﹣1≥0}則A∩（?UB）=（　?。? A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜1|} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x≤1} 【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B，找出A與B補(bǔ)集的交集即可． 【解答】解：由A中不等式變形得：20=1＜2x＜4=22， 解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}， 由B中不等式變形得：（x+1）（x﹣1）≥0， 解得：x≤﹣1或x≥1，即B={x|x≤﹣1或x≥1}， ∴?UB={x|﹣1＜x＜1}， 則A∩（?UB）={x|0＜x＜1}， 故選：B． 　 2．設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若z=1﹣i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)+z2+|z|在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出． 【解答】解：復(fù)數(shù)+z2+|z|=+（1﹣i）2+|1﹣i|=﹣2i+=﹣i+．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限． 故選：D． 　 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=An2+Bn，且a1=1，a2=3，則a2017=（　?。? A．4031 B．4032 C．4033 D．4034 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【分析】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=An2+Bn，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．再利用通項(xiàng)公式即可得出． 【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=An2+Bn，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列． ∵a1=1，a2=3，則公差d=3﹣1=2． a2017=1+2=4033． 故選：C． 　 4．在正三角形△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到A，B，C的距離都大于該三角形邊長(zhǎng)一半的概率為（　?。? A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣ 【考點(diǎn)】幾何概型． 【分析】先求出滿足條件的正三角形ABC的面積，再求出滿足條件正三角形ABC內(nèi)的點(diǎn)到三角形的頂點(diǎn)A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積，然后代入幾何概型公式即可得到答案． 【解答】解：滿足條件的正三角形ABC如下圖所示：設(shè)邊長(zhǎng)為2， 其中正三角形ABC的面積S三角形=4=． 滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離至少有一個(gè)小于1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其加起來(lái)是一個(gè)半徑為1的半圓， 則S陰影=π， 則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于1的概率是：P=1﹣． 故選：A． 　 5．已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f（﹣|x|）的圖象為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象． 【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，然后利用已知條件轉(zhuǎn)化判斷即可． 【解答】解：函數(shù)y=f（﹣|x|）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)B，D； 當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=f（﹣|x|）=f（﹣x）與原函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，是x＜0對(duì)稱的函數(shù)的圖象， 排除C，圖象A滿足題意． 故選A． 　 6．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。? A．2 B．4 C．6 D．12 【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積． 【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，代入棱錐體積公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐， 其底面面積S=（1+2）2=3， 高h(yuǎn)=2， 故體積V==2， 故選：A　 7．已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若|PF2|=2|PF1|，∠PF1F2=60，則雙曲線的離心率為（　?。? A． B．2 C． D． 【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題設(shè)條件，利用余弦定理能夠求出|PF1|=c，再由雙曲線定義可以推導(dǎo)出2a=c，從而求出該雙曲線的離心率． 【解答】解：設(shè)|PF1|=x，|PF2|=2x，|F1F2|=2c， ∵∠PF1F2=60， ∴cos60==?x=c， ∵|PF2|﹣|PF1|=2a， ∴x=2a=c， ∴e==． 故選：D． 　 8．已知向量=（1，x﹣1），=（y，2），若向量，同向，則x+y的最小值為（　?。? A． B．2 C．2 D．2+1 【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示． 【分析】由已知得xy﹣y﹣2=0，y≥0，x﹣1≥0，從而得到（x+y）2≥4y+8≥8，由此能求出x+y的最小值． 【解答】解：∵向量=（1，x﹣1），=（y，2），向量，同向， ∴，整理得：xy﹣y﹣2=0， ∵向量，同向，∴y≥0，x﹣1≥0， ∴y+2=xy≤， ∴（x+y）2≥4y+8≥8， ∴x+y≥． 故選：C． 9．程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出n的值是（　　） A．4 B．2 C．1 D．2017 【考點(diǎn)】程序框圖． 【分析】根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句，一旦不滿足條件就退出循環(huán)，執(zhí)行語(yǔ)句輸出n，從而到結(jié)論． 【解答】解：第1步：n=1，k=0，n=4，k=1， 第2步：n=4，n=2，k=2， 第3步：n=2，n=1，k=3， 第4步：n=1，n=4，k=4， 第5步：n=4，n=2，k=5， 第6步：n=2，n=1，k=6， …， 由20183=672+2， 同第2步，此時(shí)n=4，n=2，k=2018＞2017， 輸出n=2， 故選：B． 　 10．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=AB，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則BM與AN所成角的余弦值為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角． 【分析】如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，A1C1的中點(diǎn)D1，建立空間直角坐標(biāo)系．利用=，即可得出． 【解答】解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)D，A1C1的中點(diǎn)D1，建立空間直角坐標(biāo)系． 不妨設(shè)AC=2．則A（0，﹣1，0），M（0，0，2），B（﹣，0，0）， N． =（0，1，2），=． ∴===． 故選：C． 　 11．設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）與直線y=x相交于M，N兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線MP，NP斜率之積為﹣，則橢圓離心率為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】求得直線直線MP，NP的斜率分別為，，則則=﹣，M，P是橢圓C上的點(diǎn)，則+=1，，兩式相減可得=﹣， =，利用離心率公式可知：e==． 【解答】解：橢圓+=1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)P（x，y），M（m，m），N（﹣m，﹣m）， 則直線MP，NP的斜率分別為，， ∵直線MP，NP斜率之積為﹣，即?=﹣，則=﹣， ∵M(jìn)，P是橢圓C上的點(diǎn)， ∴+=1，， 兩式相減可得=﹣， ∴=﹣， ∴=， ∴橢圓離心率e====， 故選B． 　 12．已知ω＞0，在函數(shù)y=4sinωx與y=4cosωx的圖象的交點(diǎn)中，距離最近的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為6，則ω的值為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)正弦線，余弦線得出交點(diǎn)（（k1π+，2），（（k2π+，﹣2），k1，k2都為整數(shù)，兩個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)周期內(nèi)，距離最近，即可得出方程求解即可． 【解答】解：∵函數(shù)y=4sinωx與y=4cosωx的圖象的交點(diǎn)， ∴根據(jù)三角函數(shù)線可得出交點(diǎn)（（k1π+，2），（（k2π+，﹣2），k1，k2都為整數(shù)， ∵距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為6， ∴這兩個(gè)交點(diǎn)在同一個(gè)周期內(nèi)， ∴36=（﹣）2+（﹣2﹣2）2，ω=， 故選：D． 　 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 13．若向量=（0，1），||=||， ?=，則||=　?。? 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，由已知列式求得的坐標(biāo)，可得的坐標(biāo)，則可求． 【解答】解：設(shè)， 由=（0，1），||=||， ?=0， 得，∴x=1． 則或， ∴或． 則． 故答案為：． 　 14．（x﹣）4（x﹣2）的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為　16?。? 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【分析】（x﹣）4展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：Tr+1==x4﹣2r，分別令4﹣2r=2，4﹣2r=1，解得r，進(jìn)而得出． 【解答】解：（x﹣）4展開(kāi)式的通項(xiàng)公式：Tr+1==x4﹣2r， 令4﹣2r=2，解得r=1；令4﹣2r=1，解得r=舍去． ∴（x﹣）4（x﹣2）的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為=16． 故答案為：16． 　 15．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q=2，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，記Tn=（n∈N*），則數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為　3　． 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【分析】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)出Tn=9﹣2n﹣，由此能示出數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值． 【解答】解：∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q=2，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，Tn=（n∈N*）， ∴Tn==9﹣2n﹣， ∵=4， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 又n∈N*，n=1或2時(shí)，Tn取最大值T1=9﹣2﹣4=3． ∴數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為3． 故答案為：3． 　 16．函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣1，且0≤f（1）≤1，﹣2≤f（﹣1）≤0，則z=的取值范圍是　[，2]?。? 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】利用已知條件得到a，b的不等式組，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的范圍即可． 【解答】解：函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣1，且0≤f（1）≤1，﹣2≤f（﹣1）≤0， 可得0≤a+b﹣1≤1，﹣2≤a﹣b﹣1≤0， 即，表示的可行域如圖： ， 則z==，令t=，可得z==+．t≥0． ，又b=1，a=0成立，此時(shí)z=， 可得z∈[，2] 故答案為：[，2]． 　 三、解答題（共5小題，滿分60分） 17．已知函數(shù)f（x）=（m+2cos2x）?cos（2x+θ）為奇函數(shù)，且f（）=0，其中m∈R，θ∈（0，π） （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間 （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且f（+）=﹣，c=1，ab=2，求△ABC的周長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象；余弦定理． 【分析】（Ⅰ）把x=代入函數(shù)解析式可求得m的值，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出f（0）=0，進(jìn)而求得cosθ，則θ的值可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間 （Ⅱ）由f（+）=﹣可得C角，結(jié)合余弦定理及c=1，ab=2，可得△ABC的周長(zhǎng)． 【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣（m+1）sinθ=0， ∵θ∈（0，π）． ∴sinθ≠0， ∴m+1=0，即m=﹣1， ∵f（x）為奇函數(shù)， ∴f（0）=（m+2）cosθ=0， ∴cosθ=0，θ=．故f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x?（﹣sin2x）=﹣sin4x， 由4x=kπ，k∈Z得：x=kπ，k∈Z， 故函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為：（kπ，0），k∈Z， 由4x∈[+2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[+kπ， +kπ]，k∈Z， 即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[+kπ， +kπ]，k∈Z， （Ⅱ）∵f（+）=﹣sin（2C+）﹣，C為三角形內(nèi)角， 故C=， ∴c2=a2+b2﹣2abcosC==， ∵c=1，ab=2， ∴a+b=2+， ∴a+b+c=3+， 即△ABC的周長(zhǎng)為3+． 　 18．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，AE⊥PC于點(diǎn)E，EF∥CD，交PD于點(diǎn)F （Ⅰ）證明：平面ADE⊥平面PBC （Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣F的余弦值． 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出PD⊥AD，AD⊥PC，AE⊥PC，從而PC⊥平面ADE，由此能證明平面ADE⊥平面PBC． （Ⅱ）以DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣F的余弦值． 【解答】證明：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD， ∵AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC， ∵AE⊥PC，∴PC⊥平面ADE， ∵PC?平面PBC，∴平面ADE⊥平面PBC． 解：（Ⅱ）設(shè)AB=1，則PD=，PC=PA=2，由（Ⅰ）知PC⊥平面ADE， ∴DE⊥PC，CE=，PE=， 以DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，）， E（0，，），F(xiàn)（0，0，）， 設(shè)平面AEF的法向量為=（x，y，z）， 則，取x=，得=（）， ∵PC⊥平面ADE，∴平面ADE的一個(gè)法向量是=（0，1，﹣）， 設(shè)二面角D﹣AE﹣F的平面角為θ， cosθ==， ∴二面角D﹣AE﹣F的余弦值為． 　 19．在某校組織的“共筑中國(guó)夢(mèng)”競(jìng)賽活動(dòng)中，甲、乙兩班各有6名選手參賽，在第一輪筆試環(huán)節(jié)中，評(píng)委將他們的筆試成績(jī)作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成如圖所示的莖葉圖，為了增加結(jié)果的神秘感，主持人故意沒(méi)有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績(jī)，只是告訴大家，如果某位選手的成績(jī)高于90分（不含90分），則直接“晉級(jí)” （Ⅰ）求乙班總分超過(guò)甲班的概率 （Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位選手的得分是90分，乙班第六位選手的得分是97分 ①請(qǐng)你從平均分光和方差的角度來(lái)分析兩個(gè)班的選手的情況； ②主持人從甲乙兩班所有選手成績(jī)中分別隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽取到“晉級(jí)”選手的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖． 【分析】（Ⅰ）先分別求出甲班前5位選手的總分和乙班前5位選手的總分，由此利用列舉法能求出乙班總分超過(guò)甲班的概率． （Ⅱ）①分別求出甲、乙兩班平均分和方差，由此能求出甲班選手間的實(shí)力相當(dāng)，相差不大，乙班選手間實(shí)力懸殊，差距較大． ②ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）． 【解答】解：（Ⅰ）甲班前5位選手的總分為88+89+90+91+92=450， 乙班前5位選手的總分為82+84+92+91+94=443， 若乙班總分超過(guò)甲班，則甲、乙兩班第六位選手的成績(jī)可分別為： （90，98），（90，99），（91，99），共三個(gè)， ∴乙班總分超過(guò)甲班的概率為p==． （Ⅱ）①甲班平均分為=（88+89+90+91+92+90）=90， 乙班平均數(shù)為=（82+84+92+91+94+97）=90， 甲班方差為S2甲=（22+12+12+22）=， 乙班方差為S2乙=（82+62+22+12+42+72）=， 兩班的平均分相同，但甲班選手的方差小于乙班， 故甲班選手間的實(shí)力相當(dāng)，相差不大，乙班選手間實(shí)力懸殊，差距較大． ②ξ的可能取值為0，1，2，3，4， P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==， P（ξ=4）==， ∴ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 4 P ∴E（ξ）==2． 　 20．已知M是直線l：x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0），過(guò)M的直線l′與l垂直，并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點(diǎn)N （Ⅰ）求點(diǎn)N的軌跡C的方程 （Ⅱ）設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），直線AP與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B（B與A′不重合），直線P′H⊥A′B，垂足為H，是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得|QH|為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；軌跡方程． 【分析】（Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），點(diǎn)N的軌跡C的方程y2=4x； （Ⅱ）設(shè)A（，a），則A′（，﹣a），直線AB的方程y=（x﹣2），代入拋物線方程，求得B的坐標(biāo)，A′B的方程為y+a=﹣（x﹣），則令y=0，則x=﹣2，直線A′B與x軸交于定點(diǎn)T（﹣2，0），即可求得存在一個(gè)定點(diǎn)T（﹣2，0），使得T，A′，B三點(diǎn)共線，△PHT為直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，丨OH丨=丨TP丨=2，即存在點(diǎn)O（0，0），使得丨OH丨為定值2，則O即為點(diǎn)Q（0，0）． 【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲線C為拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）， 準(zhǔn)線方程為l：x=﹣1， ∴點(diǎn)N的軌跡C的方程y2=4x； （Ⅱ）設(shè)A（，a），則A′（，﹣a）， 直線AP的斜率kAP==， 直線AB的方程y=（x﹣2）， 由，整理得：ay2﹣（a2﹣8）y﹣8a=0， 設(shè)B（x2，y2），則ay2=﹣8，則y2=﹣，x2=， 則B（，﹣）， 又A′（，﹣a）， ∴A′B的方程為y+a=﹣（x﹣）， 令y=0，則x=﹣2， 直線A′B與x軸交于定點(diǎn)T（﹣2，0）， △PHT為直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨， ∴丨OH丨=丨TP丨=2， 即存在點(diǎn)O（0，0），使得丨OH丨為定值2，則O即為點(diǎn)Q（0，0）． 　 21．已知函數(shù)f（x）=+lnx﹣3有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2） （Ⅰ）求證：0＜a＜e2 （Ⅱ）求證：x1+x2＞2a． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，求出a的范圍即可； （Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f（x2）＞f（2a﹣x1），設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可． 【解答】證明：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）=， ①a≤0時(shí)，f′（x）≥0， ∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)， 不可能有2個(gè)零點(diǎn)； ②a＞0時(shí)，在區(qū)間（0，a）上，f′（x）＜0，在區(qū)間（a，+∞）上，f′（x）＞0， ∴f（x）在區(qū)間（0，a）遞減，在區(qū)間（a，+∞）遞增； f（x）的最小值是f（a）=lna﹣2， 由題意得：有f（a）＜0，則0＜a＜e2； （Ⅱ）要證x1+x2＞2a，只要證x2＞2a﹣x1， 易知x2＞a，2a﹣x1＞a， 而f（x）在區(qū)間（a，+∞）遞增， ∴只要證明f（x2）＞f（2a﹣x1）， 即證f（x2）＞f（2a﹣x1）， 設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x）， 則g（a）=0，且區(qū)間（0，a）上， g′（x）=f′（x）+f′（2a﹣x）=＜0， 即g（x）在（0，a）遞減， ∴g（x1）＞g（a）=0， 而g（x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0， ∴f（x2）＞f（2a﹣x1）成立， ∴x1+x2＞2a． 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22．已知曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)是M，N是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值． 【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2=2ρcosθ，利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，即可得出； （Ⅱ）求出點(diǎn)M與圓心的距離d，即可得出最小值． 【解答】解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2=2ρcosθ， 又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣2x=0． （Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得y=2x+2， 令x=0得y=2，即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）． 又曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑r=1， 則|MC|=， |MN|≤|MC|+r=+1． ∴MN的最大值為+1． 　 [選修4-5：不等式選講] 23．已知函數(shù)f（x）=|x﹣m|（m＞0），g（x）=2f（x）﹣f（x+m），g（x）的最小值為﹣1． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，且a≠0．求證：f（ab）＞|a|f（）． 【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=|x﹣m|（m＞0），可得函數(shù)g（x）的解析式，進(jìn)而構(gòu)造方程，可得m的值； （Ⅱ）若|a|＜m，|b|＜m，要證f（ab）＞|a|f（）．即證|ab﹣1|＞|a﹣b|平方可得結(jié)論． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣m|（m＞0）， ∴g（x）=2f（x）﹣f（x+m）=， 故當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)取最小值﹣m=﹣1， 解得：m=1； （Ⅱ）證明：要證f（ab）＞|a|f（）． 即證|ab﹣1|＞|a﹣b|， ∵|a|＜1，|b|＜1， ∴（ab﹣1）2﹣（a﹣b）2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， 即（ab﹣1）2＞（a﹣b）2， ∴|ab﹣1|＞|a﹣b|， ∴f（ab）＞|a|f（）