初中教育數學論文].doc

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畢 業(yè) 論 文 2013 屆 初中數學概念的教學方法研究 學生姓名 張喜萍 學 號 09101231 院 系 數理信息學院 專 業(yè) 數學與應用數學 師范 指導教師 王淑華 完成日期 2013 年 5 月 25 日 初中數學概念的教學方法研究 摘 要 數學概念在初中數學中具有基礎性的地位 是數學的邏輯起點 是學生認知的基礎 是 學生數學思維的核心 學生只有學好了數學概念 才能很好地掌握數學知識 在需要時運用 自如 進而提高數學能力 本文對已有初中數學概念的教學方法進行研究 借鑒已有的教學經驗 總結已有的數 學概念教學方法 結合課程改革中的教學理念 從而找到既有利于提高數學教學質量 又 有利于數學概念思維能力培養(yǎng)的教學方法 給學生提供更多自主探索的機會 提出了初中 數學概念教學的探究性教學方法 關鍵詞 概念教學 教學方法 數學 探究性教學 Study on the method of mathematical concept teaching in junior middle school ABSTRACT Mathematical concepts have the basic status in junior high school mathematics is the logical starting point of mathematics is the Foundation for students to understand is at the heart of students mathematical thinking Only students learn mathematical concepts can be very good grasp of mathematical knowledge when they are needed they can use freedom thereby improving mathematical abilities This paper makes a research on the teaching method of mathematics concept for junior high school learn from the experience of teaching the teaching of mathematical concepts summarizes existing methods combined with the curriculum reform in the teaching idea in order to find is conducive to improve the quality of mathematics teaching and teaching method is beneficial to the mathematical concept of ability training to provide students with more independent exploration opportunity put forward methods of inquiry teaching in mathematics concept teaching KEY WORDS Mathematics concept teaching teaching method mathematics inquiry teaching 目 錄 摘 要 I ABSTRACT II 目 錄 III 引 言 1 1 今日數學教育 1 1 1 今日數學教育的背景 1 1 1 1 課程改革 1 1 1 2概念教學的重要地位 1 1 2初中數學概念的表現形式 1 1 3初中數學概念教學的現狀 2 2 初中數學概念教學 2 2 1初中數學概念教學的基本方法 2 2 1 1情境引導 發(fā)現本質 2 2 1 2呈現定義 促進理解 3 2 1 3新舊聯系 正反對照 3 2 1 4深入剖析 揭示本質 3 2 1 5注重應用 加深理解 3 2 2初中數學概念教學方法的設計理念 3 3 數學概念教學的誤區(qū)及其策略 4 3 1當前初中數學概念教學的幾個誤區(qū) 4 3 2改善數學概念教學方法的策略 5 4 探究性教學在數學概念教學中的應用 5 4 1關于探究性教學的基本介紹 5 4 1 1探究性教學的涵義 5 4 1 2探究性教學的基本特征 5 4 2初中數學概念教學中探究性教學的基本模式 6 4 3初中數學概念教學中的探究性教學 案例分析 6 5 結論 7 參考文獻 8 致 謝 9 引 言 初中數學概念是初中數學中的核心內容 是學好數學其他知識的前提 也有助于學生概 念思維能力的培養(yǎng) 因此 對初中數學概念的教學方法的研究是為了更好地進行初中數學 教學 提高教學質量 為數學教學實踐提供指導 讓學生的數學能力更上一層樓 在參考文 獻中 主要介紹了今日數學教學的背景 其中包括新課改的要求和初中數學概念教學的現 狀 另外 介紹了初中數學概念教學的基本方法 分別是 情景引導 發(fā)現本質 呈現定義 促進理解 新舊聯系 正反對照 深入剖析 揭示本質 注重應用 加深理解 本文的書寫思路 如下 先是通過閱讀文獻熟悉目前課程改革中有關數學概念教學的內容和數學概念教學的 現狀 再是介紹目前初中數學概念教學的基本方法 然后結合自己實習時的具體案例分析 得出目前初中數學概念教學的誤區(qū)和改善策略 最后提出本文的成果 初中數學概念教學 中的探究性教學 本文的主要工作是對初中數學概念的教學方法進行研究 主要通過閱讀 大量文獻和研究已有的初中數學概念教學的基本方法深入了解初中數學概念教學的現狀 進而通過分析并結合自己實習時的具體案例總結出初中數學概念教學的有效方法 探究 性教學 1 今日數學教育 1 1 今日數學教育的背景 1 1 1 課程改革 新課程改革強調的是以素質教育代替原有的應試教育 使教育的最終目標是為了不教 而 不是單純地為了獲得好成績 在基礎教育中 要做到兼顧教學目標的三個層次 即知識與 技能 過程與方法 情感態(tài)度價值并重 另外 要改變原有的以 教材 為本的教學理念 向以學生發(fā)展為本的方向發(fā)展 新課改的課程內容要和學生的生活實際 現代社會文化 科學技術的發(fā)展情況相聯系 改變機械記憶的學習方式 新課程倡導的教學不僅要注重知 識的傳授 還要注重形成學生積極主動的學習態(tài)度 注重學生能力 自主學習能力 創(chuàng)新能 力等 的培養(yǎng) 讓學生學會學習 促進學生生動活潑地 積極主動地發(fā)展 再者 在教學中要 做到確定合理正確的目標 充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體性 多給學生自主學習 和探索的空間 1 1 2 概念教學的重要地位 初中數學概念繁多 而且是數學知識的理論基礎 是數學思想方法的載體 在初中數學 學習中要想獲得好成績就必須很好地掌握概念 并且是在理解的基礎上掌握 這樣就體現 了概念教學的重要地位 概念教學是基礎知識和基本技能教學的核心 是整個數學體系構 建的核心 1 2 初中數學概念的表現形式 初中數學概念的表現形式主要有兩種 定義式和描述式 定義式 3 定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內涵和外延的方法 具體說來 是將原有的 概念進行組合來說明要定義的新概念 例如 頂點在圓上 它的兩邊都和圓相交的角叫圓 周角 三條邊長度都相等的三角形叫等邊三角形 等等就是用定義式定義的概念 定 義式概念抓住了一類事物的本質屬性 是在豐富經驗 綜合后得出的對客觀事物的理性認 識 定義式概念清晰地表述了概念的條件和結論 使學生能快速地抓住數學概念的本質 繼而能很好地理解掌握所描述的概念 描述式 3 描述式是用一些生動 具體的語言對概念進行描述 描述式概念不同于定義式 清晰 地表述了概念的條件和結論 而是借助表象 選取有代表性的特例作參照而建立 例如 如果三個數 a b c滿足 則稱 b為 a c的比例中項 abc 1 3 初中數學概念教學的現狀 第一 在概念教學中過分重視定義的文字敘述 將概念教學的重點放在名詞解釋上 在 概念和名詞間轉圈子 對定義是字句推敲 斟酌 為說明定義不斷地舉正反例子 并且要求 學生記背定義 這種教學方法比較費時 使學生的精力被引到次要地方 而且只注重了概念 的表現形式而忽略了其實質 這樣就導致了取不得較好的教學效果 第二 在概念教學中不注重揭示概念的形成過程 只注重概念的運用 這樣就會導致學 生機械記憶的學習方式 對所學習的內容是死記硬背而不是真正的理解 同時導致學生不 能知識結構的總體上把握概念 學到的知識是零散的 無序的 不能用數學思想和方法去 看待和分析數學問題 無法發(fā)展學生的數學思維能力 2 初中數學概念教學 2 1 初中數學概念教學的基本方法 2 1 1 情境引導 發(fā)現本質 數學主要有兩個來源 一是數學本身 另一個來自人類的生產生活實際和其他相關聯 的學科 在此基礎上 課堂引導的情景也有兩類 一類是來自數學自身發(fā)展的需要 一類來 自現實生活 需要根據教學內容和學生實際來確定 情景引導的方法主要有 以感性材料 為基礎導入 感性材料可以是實物本身 如果條件允許 也可以是各種形式的模像直觀教 具 通過動手操作導入 比如 在上正方體有關的知識時 讓學生動手做一做正方體 并剪 一剪 了解正方體的結構 利用多媒體手段導入 在學習有些抽象的概念時 如不能通過 直觀教具和模型教具顯示時 可以通過多媒體使抽象的數學知識以直觀的形式出現 從而 突破重難點 如在學習線段 射線 直線的概念時 先用課件播放一些圖片 再動畫演示 從學生感興趣的生活實際引入 例如 在 二元一次方程 中 了解二元一次方程及解 的概念 是教學目標之一 考慮到學生平時愛好籃球 可以自編籃球賽 設置幾個問題 以 激起學生對問題的思考 在創(chuàng)設問題情境時要注意創(chuàng)設的課堂情境要與教學內容有密切聯系 且具有較大的吸 引力 另外 設置的課堂情境具有一定的懸念 可以充分調動學生學習的積極性 2 1 2 呈現定義 促進理解 新課改要求在數學教學過程中要關注數學文化背景 新課標也一再強調 關注概念的 實際背景與形成過程 幫助學生盡量克服機械記憶的學習方式 讓學生親身體驗概念的形 成過程 發(fā)展學生的數學思維 許多數學概念都是從現實生活中抽象出來的 呈現概念的形 成過程 既可以讓學生對新接觸的概念感到不抽象 促進對概念的理解 而且有利于形成 生動活潑的學習氛圍 2 1 3 新舊聯系 正反對照 知識的學習過程一般都是由簡單到復雜 具體到抽象 特殊到一般的過程 所以 在數 學概念的學習過程中要注重新舊知識的聯系 在學習新概念時通過聯系比較簡單 具體 特殊的舊概念 采取合適的方式引導學生辨析 探究概念之間的關系 從而比較容易地學 習和理解新概念 數學的系統性較強 任何數學概念必定有聯系 因此教學中要以學生已 經掌握的知識為基礎 引導學生探求新舊概念之間的區(qū)別和聯系 通過類比教學引出新概 念 這樣既復習了以前學過的舊知識 也有助于構建知識體系 例如 在學習 一元二次方 程 時 教師通過列出一些一元二次方程 然后讓學生回憶 一元一次方程 比較兩類方 程的區(qū)別和聯系 從而由教師引導得出一元二次方程的概念 2 1 4 深入剖析 揭示本質 知識的掌握鞏固是概念教學的重要環(huán)節(jié) 對知識進行剖析 揭示概念的本質 有助于對 概念的理解 進而掌握概念 需要的時候運用自如 首先 在初步形成概念后引導學生正確 復述 當然 復述并不是要求學生死記硬背 而是要求學生在熟記的基礎上能把握概念的要 點 本質特征 并且能用自己的語言對概念進行闡述 其次 挖掘概念的內涵與外延 理解 概念 也即掌握概念的本質屬性和適用范圍 讓學生不僅知其然 而且知其所以然 再者 通 過具體的例子 把所教概念同類似的 相關的概念比較 總結出它們的異同點和適用范圍 這 樣有助于概念的正確運用 最后 要恰當運用變式 不斷變換概念的非本質屬性而保持本質 屬性不變 通過分析比較突出概念的本質屬性 恰當運用變式 能排除學生的思維定式 發(fā) 散學生思維 進而易于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力 2 1 5 注重應用 加深理解 學習新概念時 在講述和剖析新概念后要有相應的練習 通過應用概念解題幫助學生 理解新學的概念 另外 對數學概念的深刻理解是提高學生解題能力的前提 在概念教學中 一定要加強學生的概念應用意識和能力 例如 在學習了 一元一次方程 后 學生了解 了一元一次方程的概念 接著并會有 一元一次方程的應用 專門讓學生應用一元一次 方程解決實際問題 2 2 初中數學概念教學方法的設計理念 在初中數學概念教學中 教師要盡可能的用感性材料引入 讓學生獲得生動形象的概 念表象 對于具體的概念 教師可以舉生活中的實際例子 讓學生在頭腦中建立有關概念的 表象 再者 展示直觀教具 讓學生通過觀察發(fā)現事物的關鍵特征 對于抽象的概念 教師可 以創(chuàng)設與之相應的情境 讓學生置身其中 對于定義式概念 教師要分析透徹概念的條件和 結論 讓學生把握概念的本質 對于描述式概念 教師要多舉正反例子 讓學生在判斷中掌 握概念 在概念教學中 特別要注意概念的新舊聯系 體現概念的同化 區(qū)分相似概念 另外 在 概念教學中要注重練習 通過練習 可以使學生很好地掌握鞏固概念 并且可以提高學生的 應用能力 3 數學概念教學的誤區(qū)及其策略 3 1 當前初中數學概念教學的幾個誤區(qū) 誤區(qū)一 對概念的表述用詞不當 數學概念是用科學的 精明的數學語言概括表達出來的 所揭示的是事物的本質屬性 所 以描述出來的概念必須準確無誤 無矛盾 條理清楚 如等腰三角形的定義 有兩腰相等的 三角形叫等腰三角形 這樣就出現自相矛盾了 同時 教師的正確表述概念能潛移默化地影 響學生 促進學生思維的深刻性 培養(yǎng)學生的數學邏輯思維能力 誤區(qū)二 為創(chuàng)設情境而創(chuàng)設情境 在數學概念教學中 情境教學 是一種特殊且很有效的教學手段 但要注意的是 不 要濫用 情境教學 不是每一節(jié)課都需要創(chuàng)設情境 有些容易的或難以創(chuàng)設情境的概念 教師可以采用開門見山的方式進行教學 在教學中如果一味地追求情境教學 有時候可能 會適得其反 取不到良好的教學效果 例如 九年級上第四章第一節(jié) 比例線段 設計時是 這樣引入的 請同學們回憶一下 什么是兩個數的比 2 與 3 的比 4 和 6的比 如何表示 請同學表示 再問 其比值相等嗎 教師引導出 2 與 3 的比值和 4 與 6的比值相等 我們 就稱 2 3 4 6成比例 注意書寫順序 誤區(qū)三 用課件代替黑板 隨著現代科技的發(fā)展 越來越提倡教師運用多媒體輔助教學 的確 多媒體輔助教學有 它的優(yōu)勢 對教學也有幫助 但是如果教師每節(jié)課甚至整節(jié)課都采用多媒體放映課件 那么 學生的注意力將被集中到課件之中而不是知識本身 學生的思路是循著課件的流程 無法 體現學生的個體差異 同時也不利于學生的探索 另外 多媒體教學不利于學生記下知識要 點 在教學中教師要做到的是 在需要的時候用多媒體進行輔助教學 而不是處處用多媒體 在 必要的時候要用板書 要將多媒體輔助教學的優(yōu)勢發(fā)揮到最大 例如 在上九年級上第三章 第五節(jié) 弧長與扇形的面積公式 這一課時 教師選擇的是用多媒體課件進行教學 原因 是本節(jié)課要介紹的知識點就是兩個公式 大多數時間是讓學生進行練習 這樣用課件就可 以節(jié)約許多教師寫題目的時間 但是 教師只是在一味地放幻燈片 讓學生的思路跟著課件 走 沒有用板書展示本節(jié)課的重難點 可想而知 這樣的教學效果是大打折扣的 也許有些 學生連最基本的公式都沒掌握 何談運用 誤區(qū)四 強調學生主體 忽視教師主導 新課標提倡在課堂教學過程中要充分發(fā)揮學生的主體作用 給學生留充分地時間和空 間去探索和發(fā)現知識 但是要切記任何東西都是過猶不及的 要把握一個度 在教育學中教 學的雙邊性規(guī)律也闡述道 要充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用 抵制兩種傾向 誤區(qū)五 過分追求課堂活躍氛圍 在課堂教學中教師為了激發(fā)學生的學習興趣和學習的積極性 常常會引入一些有趣的 材料 或組織課堂活動 這樣的行為的確有利于學生的學習 給枯燥的數學課增添活力 但 要注意的是不能為了活躍的課堂氛圍而組織教學 明確教學的主要目的是使學生掌握知識 3 2 改善數學概念教學方法的策略 在數學概念教學中 教師要從思想上高度重視概念教學 特別是對于比較抽象 考試 不要求的概念 數學的學習一是為了掌握數學本身的知識 另一方面是培養(yǎng)學生嚴謹的邏 輯思維能力 所以教科書中存在的每一部分的內容都有其合理性 改善概念教學方法的策 略有 第一 把概念教學貫穿于數學概念教學全過程 同時教師要用探究的思想進行概念教 學 力求改善概念教學方法 首先 數學的公式 定理和方法反映的是數學對象和概念之 間的關系 都是在概念的基礎上建立的 所以學生必須掌握準確的概念 其次 概念在學生 的思維能力的發(fā)展上也起到了極其重要的作用 第二 注重概念的過程教學 數學概念的教 學過程大致可以分為四個過程 1 概括 一類是從學生的實際經驗出發(fā) 歸納概括出事物 的本質屬性 從而得到概念 另一類是直接向學生展現定義 運用學生已有的知識系統理解 概念 2 表述 引導學生用自己的語言對概念進行準確的描述 揭示概念的本質 3 識別 在向學生介紹概念后 向學生展示練習 根據定義進行辨別 同時 讓學生練習已學過的類 似知識 進行比較區(qū)分 準確的把握概念的本質特征 4 運用 概念的運用是概念掌握重要 環(huán)節(jié) 設置的練習要由簡到難 層層推進 符合學生的認知規(guī)律 第三 注重學生的個體差異 做 到因材施教 4 探究性教學在數學概念教學中的應用 4 1 關于探究性教學的基本介紹 4 1 1 探究性教學的涵義 探究性教學是一種在教師的指導下體現學生的主動學習和主觀能動性的教學方式 簡 言之 探究性教學是學生在教師的指導下對知識進行發(fā)現 探索和研究 探究性教學是模 擬數學家發(fā)現新的概念和命題 不同于那種自發(fā)的 盲目的 低效或無效的探究活動 4 1 2 探究性教學的基本特征 第一 注重教師的引導作用 第二 充分發(fā)揮學生的主體性 注重學生的主動學習 第三 探 究性教學是一種模擬過程 而不是在好奇心驅動下的自主創(chuàng)生 第四 探究性教學的主要目 的是發(fā)現 探索和研究知識 4 2 初中數學概念教學中探究性教學的基本模式 根據新課標的教學要求可將初中數學概念探究性教學概括成五種基本模式 即內涵定 義探究性教學模式 發(fā)生定義探究性教學模式 外延定義探究性教學模式 規(guī)定定義探究性 教學模式 公理定義探究性教學模式 4 3 初中數學概念教學中的探究性教學 案例分析 本節(jié)結合實習教學實踐對探究性教學進行具體的案例分析研究 研究案例 對于八年級下冊第二章第一節(jié) 一元二次方程 這一節(jié)課 實踐對象 東湖鎮(zhèn)中學八年級 A班 B 班 在 A班我用傳統的灌輸式教學方法進行教學 在平行班 B我運用了探究性教學理念進 行教學 A班的教學設計如下 一 根據題意 列出方程 1 把面積為 4的一張紙分割成如圖所示的正方形和長方形兩部分 設正方形的邊長為 x 長方形的長為 3求 正方形的邊長 234x 2 根據國家統計局公布的數據 浙江省 2001年全省實現生產總值 6700億元 2003 年生產 總值達 9200億元 求平均增長率 設平均增長率為 x 2670190 x 教師給學生 2分鐘 讓學生思考并列出相應的式子 叫學生舉手回答 教師 看上面兩個方程 像這類方程我們稱之為一元二次方程 教師給出一元二次方程的定義 像這樣 等式兩邊都是整式 只含有一個未知數且未知數的 最高次數為 2次的方程叫一元二次方程 教師分析定義 并指出一元二次方程的三個必要條件 讓學生記背一元二次方程的定義 教師問 記住了嗎 接下來 給出練習 判斷下列方程是否為一元二次方程 并說明理由 通過練習 給出一元二次方程的一般形式 20 axbca B班的教學設計如下 一 根據題意 列出方程 1 把面積為 4的一張紙分割成如圖所示的正方形和長方形兩部分 設正方形的邊長為 x 長方形的長為 3求 正方形的邊長 234x 2 根據國家統計局公布的數據 浙江省 2001年全省實現生產總值 6700億元 2003 年生產 總值達 9200億元 求平均增長率 設平均增長率為 x 2670190 x 教師給學生 2分鐘 讓學生思考并列出相應的式子 叫學生舉手回答 教師 觀察上面兩個方程 是否為一元一次方程 學生 不是 教師 那請個同學說說一元一次方程的概念 大家思考一下 并小組討論一下 這兩個方程 與一元一次方程有何異同 同學答 等式兩邊都是整式 只有一個未知數 未知數的最高次數是一次的方程叫一元一 次方程 學生進行討論 得出 相同之處 等式兩邊都是整式 只含有一個未知數 不同之處 一元一次方程未知數的最高次數是一次 這兩個方程未知數的最高次數是兩次 教師引導得出一元二次方程的概念 像這樣 等式兩邊都是整式 只含有一個未知數且未 知數的最高次數為 2次的方程叫一元二次方程 教師分析定義 并指出一元二次方程的三個必要條件 并讓學生在理解的基礎上記憶 接下來 給出練習 判斷下列方程是否為一元二次方程 并說明理由 通過練習 給出一元二次方程的一般形式 20axbc 教師 大家思考一下 a 可以等于 0嗎 b c 可以等于 0嗎 并說明理由 教師補充 一元二次方程的一般形式 2 axbca 在上完課后 對兩個班的部分學生進行了調查 問他們課聽下來有何體會 A 班的學生 這樣回答 整節(jié)課下來感覺很乏味 不是聽老師講就是做練習 很少有思考的空間 另外 一 堂課的 45分鐘感覺過得很慢 B 班的學生是這樣回答的 整堂課下來感覺自己的腦筋一直 在轉 在思考問題 思路跟著老師走 不容易神游 將知識點理解透徹 同時 我將同一份練習發(fā)給兩個班的學生作為獨立作業(yè) 知識的掌握上也存在很大的 差別 B 班學生的作業(yè)總體上明顯比 A班學生做的要好 正確率較高 5 結論 本文通過參考有關文獻 熟悉課程改革的有關內容 明確當前的教育思想和教育理念 并且關注其在初中數學概念教學中的運用 了解初中數學概念在數學與整個教育體系中的 重要地位 了解概念教學的現狀 明確概念教學的重要地位 從而得出進行初中數學概念教 學方法研究的必要性 介紹了現存的初中數學概念教學的基本方法 并且結合具體案例分 析總結出當前初中數學概念教學的誤區(qū)和解決策略 本文最重要的部分就是第四部分 先 是簡要介紹了探究性教學的基本內容 再是通過實習時的具體案例分析研究 得出本文的 主要成果 初中數學概念教學的探究性教學 探究性教學充分體現了學生的主體性 給了 學生充分地思考時間和空間 并且兼顧了教師的主導作用 而且讓學生的思路始終跟著老 師的節(jié)奏走 一直處于思考狀態(tài) 無疑 探究性教學是初中數學概念教學的有效方法 有利 于很好地掌握和理解概念 參考文獻 1 彭世雄 初中數學概念教學方法探析 J 科教創(chuàng)新 2010 2 143 153 2 馬海勇 關于初中數學概念的教學方法探討 J 教師 2010 80 81 3 張 穎 初中數學概念教學方法初探 J 數學教學通訊 教師版 21 23 4 程俊玲 初中數學概念該如何教 J 學術爭鳴 2013 2 31 31 5 常有毅 初中數學概念教學的策略探討 J 數學學習與研究 2012 6 15 15 6 白錦琛 初中數學概念教學方法的探討 J 現代閱讀 2013 1 189 189 7 牛建靖 初中數學概念教學方法淺議 J 新課程改革與實踐 2Ol1 6 6 104 105 8 徐永海 初中數學概念課教學的幾點思考 J 數學學習與研究 2012 6 93 93 9 史震南 初中數學教學方法的探討與思考 J 都市家教 2012 8 152 153 10 馮仰明 基于數學概念探究性學習的初中數學教學方法研究 J 群文天地 2012 9 207 207 11 李書英 數學教學方法之我見 J 中華少年 2012 24 345 345 12 石確次仁 初中數學概念教學方法初探 J 教法新探 2012 5 94 95 14 Shafqat Ali Shah Reforming Education and Reforming the Educated J Market Forces 2005 1 1 181 189 致 謝 本課題在研究和書寫的過程中得到了我的指導老師王老師的悉心指導 王老師仔細閱 讀我的外文翻譯 文獻綜述 開題報告和論文 并幫助我修改文章中不足之處 給我提論 文的書寫意見 王老師也多次詢問我的論文書寫進程 幫助我開拓書寫思路 糾正書寫偏差 精 心點撥 指點迷津 在這里我要衷心的感謝王老師 我還要感謝開題報告答辯小組的各位教 師 認真閱讀我的開題報告并提出寶貴的修改意見 最后 我要感謝的是我的朋友 感謝你 們的支持和幫助 讓我能克服一個個的困難 直至本文的順利完成