（山西專用）2019中考數(shù)學二輪復習 專題八 函數(shù)與幾何的動態(tài)探究題習題

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1、專題八　函數(shù)與幾何的動態(tài)探究題 1.如圖,已知拋物線y=ax2-23ax-9a與坐標軸交于A,B,C三點,其中C(0,3),∠BAC的平分線AE交y軸于點D,交BC于點E,過點D的直線l與射線AC,AB分別交于點M,N. (1)直接寫出a的值,點A的坐標及拋物線的對稱軸; (2)點P為拋物線的對稱軸上一動點,若△PAD為等腰三角形,求出點P的坐標; (3)求證:當直線l繞點D轉(zhuǎn)動時,1AM+1AN為定值,并求出該定值. 2.(2018·曲靖)如圖:在平面直角坐標系中,直線l:y=13x-43與x軸交于點A,經(jīng)過點A的拋物線y=ax2-3x+c的對稱軸是直線x=32.

2、 (1)求拋物線的解析式; (2)平移直線l,使其經(jīng)過原點O,得到直線m,點P是直線l上任意一點,PB⊥x軸于點B,PC⊥y軸于點C,若點E在線段OB上,點F在線段OC的延長線上,連接PE,PF,且PF=3PE,求證:PE⊥PF; (3)若(2)中的點P坐標為(6,2),點E是x軸上的點,點F是y軸上的點,當PE⊥PF時,拋物線上是否存在點Q,使四邊形PEQF是矩形?如果存在,請求出點Q的坐標;如果不存在,請說明理由. 3.如圖,拋物線y=ax2+bx(a≠0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上.設A(t,0)

3、,當t=2時,AD=4. (1)求拋物線的函數(shù)表達式; (2)當t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少? 4.(2018·長沙)如圖,在平面直角坐標系xOy中,函數(shù)y=mx(m為常數(shù),m>1,x>0)的圖象經(jīng)過點P(m,1)和Q(1,m),直線PQ與x軸、y軸分別交于C、D兩點.點M(x,y)是該函數(shù)圖象上的一個動點,過點M分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為A、B. (1)求∠OCD的度數(shù); (2)當m=3,1

4、?請說明你的理由. 5.(2018·成都)如圖,在平面直角坐標系xOy中,以直線x=52為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1)、B兩點,與y軸交于點C(0,5),直線l與y軸交于點D. (1)求拋物線的函數(shù)表達式; (2)設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F,G是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點,若AFFB=34,且△BCG與△BCD的面積相等,求點G的坐標; (3)若在x軸上有且只有一點P,使∠APB=90°,求k的值. 答案精解精析 1.解析　(1)a=-13,點A的坐標為(-3,0),

5、對稱軸為直線x=3. 將點C(0,3)代入解析式得-9a=3,∴a=-13,∴y=-13x2+233x+3.令-13x2+233x+3=0,整理得x2-23x-9=0,解得x1=33,x2=-3,∴點A的坐標為(-3,0),點B的坐標為(33,0),對稱軸為直線x=3 (2)由(1)得OA=3,又OC=3, ∴tan∠CAO=COAO=3, ∴∠CAO=60°, ∴∠DAO=30°, ∴DO=1,AD=2, ∴D(0,1). 設P(3,m),因為△PAD為等腰三角形,則 ①當PD=AD時,∵PD2=(3)2+(m-1)2, ∴(3)2+(m-1)2=22,∴m=0或m=2(

6、舍去), ∴P(3,0). ②當PA=PD時,PA2=PD2,∴(3+3)2+m2=(3)2+(m-1)2, 得m=-4,∴P(3,-4). ③當AD=AP時,∵APmin=23>AD, ∴此種情況不存在. 綜上,當P為(3,0)或(3,-4)時,△PAD為等腰三角形. (3)證明:設M,N所在直線的函數(shù)解析式為yMN=k1x+b1,A,C所在直線的函數(shù)解析式為yAC=k2x+3. ∵D(0,1)在直線MN上,A(-3,0)在直線AC上, ∴yMN=k1x+1,yAC=3x+3, ∴N-1k1,0,AN=-1k1+3= 3k1-1k1. ∵M是直線MN與直線AC的交點,

7、 ∴(k1-3)xM=2,xM=2k1-3, ∴AM=23+2k1-3=2(3k1-1)k1-3, ∴1AM+1AN=k1-32(3k1-1)+k13k1-1=k1-32(3k1-1)+2k12(3k1-1)=3(3k1-1)2(3k1-1) =32.∴1AM+1AN為定值,該定值為32. 2.解析　(1)由題意知y=x2-3x-4. (2)∵直線l:y=13x-43平移得到直線m, ∴直線m的解析式為y=13x.如圖, 又∵P在直線m上,∴可設P(3a,a), ∴PC=3a,PB=a, ∵cos∠CPF=PCPF, cos∠BPE=PBPE, ∴cos∠CPF=3

8、a3PE=aPE, cos∠BPE=aPE, ∴cos∠CPF=cos∠BPE, ∴∠CPF=∠BPE, 又∵∠BPE+∠CPE=90°, ∴∠CPF+∠CPE=90°, ∴PE⊥PF. (3)∵P(6,2),∴B(6,0),可設E(a,0), 情形①當E在B的左邊,即a<6時, BE=6-a, ∵△PBE∽△PCF, ∴PBPC=BECF, ∴26=6-aCF,∴CF=18-3a, 由題意知,當E在B的左側(cè)時,F一定在C的上方, ∴F(0,20-3a), ∴P(6,2),E(a,0),F(0,20-3a), 可設Q(xQ,yQ), 當四邊形PEQF是矩形時,

9、 ∠FPE=90°, ∴只需四邊形PEQF是平行四邊形(四邊形順序固定,一種圖形). ∵四邊形PEQF為矩形, ∴xE+xF=xQ+xP,yE+yF=yQ+yP?a+0=xQ+6,0+20-3a=yQ+2 ?xQ=a-6,yQ=18-3a, ∴Q(a-6,18-3a). 又∵Q在拋物線y=x2-3x-4上, ∴代入拋物線可得a1=4,a2=8,∵a<6, ∴a=4,∴Q(-2,6). 情形②,當E在B的右側(cè),即a>6時, BE=a-6, ∵△PBE∽△PCF, ∴PBPC=BECF, ∴26=a-6CF,∴CF=3a-18, 由題意知,當E在B的右側(cè)時,F一定在C

10、的下方, ∴F(0,20-3a), ∴P(6,2),E(a,0),F(0,20-3a), 可設Q(xQ,yQ), 當四邊形PECF是矩形時, ∠FPE=90°, ∴只需四邊形PEQF是平行四邊形(四邊形順序固定,一種圖形), ∵四邊形PEQF為矩形, ∴xE+xF=xQ+xP,yE+yF=yQ+yP?a+0=xQ+6,0+20-3a=yQ+2? xQ=a-6,yQ=18-3a, ∴Q(a-6,18-3a), 又∵Q在拋物線y=x2-3x-4上, 代入拋物線可得a1=4,a2=8. ∵a>6,∴a=8,∴Q(2,-6). 綜上,滿足條件的Q的坐標為(-2,6),(2,

11、-6). 3.解析　(1)∵當t=2時,AD=4. ∴此時D點坐標為(2,4), 設y=ax(x-10),把(2,4)代入拋物線方程,得4=2a(2-10),解得a=-14, ∴y=-14x(x-10)=-14x2+52x. (2)由拋物線的對稱性,得OA=BE=t, ∴AB=10-2t, 當x=t時,y=-14t2+52t, ∴AD=-14t2+52t, ∴矩形ABCD的周長=2(AB+AD)=210-2t-14t2+52t =-12t2+t+20 =-12(t-1)2+412, ∵-12<0,∴當t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,為412. 4.解析　(1)設

12、直線PQ的解析式為y=kx+b(k≠0). 依題意可得mk+b=1,k+b=m,解得k=-1,b=m+1. 故直線PQ的解析式為y=-x+m+1, ∴C(m+1,0),D(0,m+1), ∴△OCD是等腰直角三角形, ∴∠OCD=45°. (2)解法一:當m=3,1

13、1

14、,舍去). 當x=2時,有OPOC=OMOP=PMCP成立. 故點M的坐標為2,32. (3)不能.理由如下:由題意可得,m=5時,Mx,5x, 設四邊形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積為S.易求直線OP的解析式為y=15x,直線OQ的解析式為y=5x. 分以下三種情況討論: ①當0

15、2≤4. 此時同樣不可能有S=4.1. 解法二:S=5-12x·x5-12·5x·1x=5-x210-52x2, 令S=5-x210-52x2=4.1,化簡得,x4-9x2+25=0. 令x2=t,得t2-9t+25=0. 由于Δ=81-100=-19<0,因此該方程無解. 所以此時同樣不可能有S=4.1. 綜上所述,矩形OAMB與△OPQ重疊部分的面積不可能等于4.1. 5.解析　(1)由題可得-b2a=52,c=5,a+b+c=1, 解得a=1,b=-5,c=5, ∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-5x+5. (2)作AM⊥x軸,BN⊥x軸,垂足分別為M,N, 設

16、對稱軸與x軸交于Q點, 則AFFB=MQQN=34. ∵MQ=OQ-OM=32, ∴QN=2, ∴B92,114, ∴k+m=1,92k+m=114, 解得k=12,m=12, ∴直線l的解析式為y=12x+12,則D0,12. 易知直線BC的解析式為y=-12x+5. ∵S△BCD=S△BCG, ∴①DG1∥BC(G1在BC下方),直線DG1的解析式為y=-12x+12, ∴-12x+12=x2-5x+5,即2x2-9x+9=0, ∴x1=32,x2=3, ∵x>52, ∴x=3, ∴G1(3,-1). ②G在BC上方時,直線G2G3與DG1關(guān)于直線BC對稱.

17、 ∴直線G2G3的解析式為y=-12x+192, ∴-12x+192=x2-5x+5, ∴2x2-9x-9=0. ∴x1=9+3174,x2=9-3174, ∵x>52, ∴x=9+3174, ∴G29+3174,67-3178. 綜上所述,點G的坐標為(3,-1)或9+3174,67-3178. (3)由題意可知,k+m=1. ∴m=1-k, ∴y=kx+1-k, ∴kx+1-k=x2-5x+5, 即x2-(k+5)x+k+4=0, ∴x1=1,x2=k+4, ∴B(k+4,k2+3k+1). 取AB的中點O', ∵P點有且只有一個, ∴以AB為直徑的圓與x軸只有一個交點, 即該圓與x軸相切,且P為切點, 連接O'P,AP,BP. ∴O'P⊥x軸, ∴P為MN的中點, ∴Pk+52,0. 作AM⊥x軸,BN⊥x軸,垂足分別為M,N, ∵△AMP∽△PNB, ∴AMPM=PNBN, ∴AM·BN=PN·PM, ∴1×(k2+3k+1)=k+4-k+52k+52-1,即3k2+6k-5=0,Δ=96>0, ∵k>0, ∴k=-6+466=-1+263. 12