2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)陣圖（一）

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1、2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)陣圖（一） 　　在神奇的數(shù)學(xué)王國中，有一類非常有趣的數(shù)學(xué)問題，它變化多端，引人入勝，奇妙無窮。它就是數(shù)陣，一座真正的數(shù)字迷宮，它對(duì)喜歡探究數(shù)字規(guī)律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來研究它的變化，就連大數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)它都有著濃厚的興趣。 　　那么，到底什么是數(shù)陣呢？我們先觀察下面兩個(gè)圖： 　　左上圖中有3個(gè)大圓，每個(gè)圓周上都有四個(gè)數(shù)字，有意思的是，每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)字之和都等于13。右上圖就更有意思了，1～9九個(gè)數(shù)字被排成三行三列，每行的三個(gè)數(shù)字之和與每列的三個(gè)數(shù)字之和，以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15，不信你就算

2、算。 　　上面兩個(gè)圖就是數(shù)陣圖。準(zhǔn)確地說，數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求排列而成的某種圖形，有時(shí)簡(jiǎn)稱數(shù)陣。要排出這樣巧妙的數(shù)陣圖，可不是一件容易的事情。我們還是先從幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子開始。 例1 把1～5這五個(gè)數(shù)分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數(shù)之和與豎列三數(shù)之和都等于9。 　　同學(xué)們可能會(huì)覺得這道題太容易了，七拼八湊就寫出了右上圖的答案，可是卻搞不清其中的道理。下面我們就一起來分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出復(fù)雜巧妙的數(shù)陣問題。 分析與解：中間方格中的數(shù)很特殊，橫行的三個(gè)數(shù)有它，豎列的三個(gè)數(shù)也有它，我們把它叫做“重疊數(shù)”。也就是說，橫行的三個(gè)數(shù)之和加上豎列的三個(gè)數(shù)之和

3、，只有重疊數(shù)被加了兩次，即重疊了一次，其余各數(shù)均被加了一次。因?yàn)闄M行的三個(gè)數(shù)之和與豎列的三個(gè)數(shù)之和都等于9，所以 　　(1+2+3+4+5)+重疊數(shù)=9+9， 　　重疊數(shù)=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 　　重疊數(shù)求出來了，其余各數(shù)就好填了(見右上圖)。 例2 把1～5這五個(gè)數(shù)填入下頁左上圖中的○里(已填入5)，使兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等。 分析與解：與例1不同之處是已知“重疊數(shù)”為5，而不知道兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和都等于什么數(shù)。所 　　以，必須先求出這個(gè)“和”。根據(jù)例1的分析知，兩條直線上的三個(gè)數(shù)相加，只有重疊數(shù)被加了兩遍，其余各數(shù)均被加了一遍，所以兩條直線上的三個(gè)數(shù)

4、之和都等于 　　[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。 　　因此，兩條直線上另兩個(gè)數(shù)(非“重疊數(shù)”)的和等于10-5=5。在剩下的四個(gè)數(shù)1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上圖的填法。 例3 把1～5這五個(gè)數(shù)填入右圖中的○里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等。 分析與解：例1是知道每條直線上的三數(shù)之和，不知道重疊數(shù)；例2是知道重疊數(shù)，不知道兩條直線上的三個(gè)數(shù)之和；本例是這兩樣什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， 　　(1+2+3+4+5)+重疊數(shù) 　　=每條直線上三數(shù)之和×2， 　　所以，每條直線上三數(shù)之和等于(15+重疊數(shù))÷2。 　　因?yàn)槊織l

5、直線上的三數(shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)只可能是1，3或5。 　　若“重疊數(shù)”=1，則兩條直線上三數(shù)之和為 　　(15+1)÷2=8。 　　填法見左下圖； 　　若“重疊數(shù)”=3，則兩條直線上三數(shù)之和為 　　(15+3)÷2=9。 　　填法見下中圖； 　　若“重疊數(shù)”=5，則兩條直線上三數(shù)之和為 　　(15+5)÷2=10。 　　填法見右下圖。 　　由以上幾例看出，求出重疊數(shù)是解決數(shù)陣問題的關(guān)鍵。為了進(jìn)一步學(xué)會(huì)掌握這種解題方法，我們?cè)倏磧衫? 例4 將1～7這七個(gè)自然數(shù)填入左下圖的七個(gè)○內(nèi)，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于10。 　 分析與解：與例1類似，知道每條邊上的三數(shù)

6、之和，但不知道重疊數(shù)。因?yàn)橛?條邊，所以中間的重疊數(shù)重疊了兩次。于是得到 　　(1+2+…+7)+重疊數(shù)×2=10×3。 　　由此得出重疊數(shù)為 　　[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。 　　剩下的六個(gè)數(shù)中，兩兩之和等于9的有2，7；3，6；4，5?？傻糜疑蠄D的填法。 　　如果把例4中“每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于10”改為“每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等”，其他不變，那么仿照例3，重疊數(shù)可能等于幾？怎樣填？ 例5 將 10～20填入左下圖的○內(nèi)，其中15已填好，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和都相等。 解：與例2類似，中間○內(nèi)的15是重疊數(shù)，并且重疊了四次，所以每條邊上的三個(gè)數(shù)字之

7、和等于 　　[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。 　　剩下的十個(gè)數(shù)中，兩兩之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上圖的填法。 例1～5都具有中心數(shù)是重疊數(shù)，并且每邊的數(shù)字之和都相等的性質(zhì)，這樣的數(shù)陣圖稱為輻射型。例4的圖中有三條邊，每邊有三個(gè)數(shù)，稱為輻射型3—3圖；例5有五條邊每邊有三個(gè)數(shù)，稱為輻射型5—3圖。 　　一般地，有m條邊，每邊有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為輻射型m－n圖。 　　輻射型數(shù)陣圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是“直線條數(shù)”-1，即m-1。對(duì)于輻射型數(shù)陣圖，有 　　已知各數(shù)之和+重疊數(shù)×重

8、疊次數(shù) 　　=直線上各數(shù)之和×直線條數(shù)。 　　由此得到： (1)若已知每條直線上各數(shù)之和，則重疊數(shù)等于 　　(直線上各數(shù)之和×直線條數(shù)-已知各數(shù)之和)÷重疊次數(shù)。 　　如例1、例4。 (2)若已知重疊數(shù)，則直線上各數(shù)之和等于(已知各數(shù)之和+重疊數(shù)×重疊次數(shù))÷直線條數(shù)。如例2、例5。 (3)若重疊數(shù)與每條直線上的各數(shù)之和都不知道，則要從重疊數(shù)的可能取值分析討論，如例3。 ? 練習(xí) 　　1.將1～7這七個(gè)數(shù)分別填入左下圖中的○里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和都等于12。 　　如果每條直線上的三個(gè)數(shù)之和等于10，那么又該如何填？ 　　2.將1～9這九個(gè)數(shù)分別填入右上圖中的

9、○里(其中9已填好)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。 　　如果中心數(shù)是5，那么又該如何填？ 　　3.將1～9這九個(gè)數(shù)分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個(gè)數(shù)之和相等。(至少找出兩種本質(zhì)上不同的填法) 　　4.將3～9這七個(gè)數(shù)分別填入左下圖的○里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和等于20。 　　5.將1～11這十一個(gè)數(shù)分別填入右上圖的○里，使每條直線上的三個(gè)數(shù)之和相等，并且盡可能大。 　　6.將1～7這七個(gè)數(shù)分別填入下圖的○里，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓圈上的三個(gè)數(shù)之和都相等。 附送： 2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)陣圖（二） 　　上一講我們講了

10、僅有一個(gè)“重疊數(shù)”的輻射型數(shù)陣圖的填數(shù)問題，這一講我們講有多個(gè)“重疊數(shù)”的封閉型數(shù)陣圖。 例1 將1～8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。 分析與解：中間兩個(gè)數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次，所以兩個(gè)重疊數(shù)之和為 　　21×2-(1+2+…+8)=6。 　　在已知的八個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)之和為6的只有1與5，2與4。每個(gè)大圓上另外三個(gè)數(shù)之和為21-6=15。 　　如果兩個(gè)重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個(gè)數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有 　　2+6+7=15和3+4+8=15， 　　故有左下圖的填法。 　 　　如果兩個(gè)重疊數(shù)為2

11、與4，那么同理可得上頁右下圖的填法。 例2 將1～6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○內(nèi)，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。 分析與解：本題有三個(gè)重疊數(shù)，即三角形三個(gè)頂點(diǎn)○內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù)，并且各重疊一次。所以三個(gè)重疊數(shù)之和等于 　　11×3-(1+2+…+6)=12。 　　1～6中三個(gè)數(shù)之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。 　　如果三個(gè)重疊數(shù)是1，5，6，那么根據(jù)每條邊上的三個(gè)數(shù)之和等于11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn)，所填數(shù)不是1～6，不合題意。 　　同理，三個(gè)重疊數(shù)也不能是3，4，5。 　　經(jīng)試驗(yàn)，當(dāng)重疊數(shù)是2，4，6時(shí)，可以得到符合題意的填法

12、(見右上圖)。 例3 將1～6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○中，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等。 分析與解：與例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因?yàn)槿齻€(gè)重疊數(shù)都重疊了一次，由(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和×3，得到每邊的三數(shù)之和等于 　　[(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和]÷3 　　=(21+重疊數(shù)之和)÷3 　　=7+重疊數(shù)之和÷3。 　　因?yàn)槊窟叺娜龜?shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)。考慮到重疊數(shù)是1～6中的數(shù)，所以三個(gè)重疊數(shù)之和只能是6，9，12或15，對(duì)應(yīng)的每條邊上的三數(shù)之和就是9，10，11或12。 　　與例2的方法類似，可得下圖的四

13、種填法： 　　每邊三數(shù)之和=9 每邊三數(shù)之和=10 每邊三數(shù)之和=11 每邊三數(shù)之和=12 例4將2～9這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○里，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于18。 分析與解：四個(gè)角上的數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。所以四個(gè)重疊數(shù)之和等于 　　18×4-(2+3+…+9)=28。 　　而在已知的八個(gè)數(shù)中，四數(shù)之和為28的只有： 　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。 　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八個(gè)數(shù)之一，所以，8和9只能填對(duì)角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法： 　　“試填”的結(jié)果，只有右上圖的填法符合題意。 　　以上例題都是封閉型

14、數(shù)陣圖。 　　一般地，在m邊形中，每條邊上有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。 　　與“輻射型m-n圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。 　　對(duì)于封閉型數(shù)陣圖，因?yàn)橹丿B數(shù)只重疊一次，所以 　　已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和 　　=每邊各數(shù)之和×邊數(shù)。 　　由這個(gè)關(guān)系式，就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。 　　前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖，雖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復(fù)雜些，但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進(jìn)行分析，就能解決很多數(shù)陣問題。 例5把1～7分別填入左下圖中的七個(gè)空塊里，使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)之和都等于13。

15、 分析與解：這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù)，記為a)；有重疊1次的(三個(gè)數(shù)，分別記為b，c，d)。根據(jù)題意應(yīng)有 　　(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3， 　　即 a+a+b+c+d=11。 　　因?yàn)?+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。 ? 練習(xí) 　　1.把1～8填入下頁左上圖的八個(gè)○里，使每個(gè)圓圈上的五個(gè)數(shù)之和都等于20。 　　2.把1～6這六個(gè)數(shù)填入右上圖的○里，使每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)之和都相等。 　　3.將1～8填入左下圖的八個(gè)○中，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。 　　4.將1～8填入右上圖的八個(gè)○中，使得每條直線上的四個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都相等。 　　5.將1～7填入右圖的七個(gè)○，使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。 　　6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個(gè)空塊中，使得每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都等于34。